2020届湖北省华中师范大学第一附属中学高三下学期5月押题理科数学试题

2020届湖北省华中师范大学第一附属中学高三下学期5月押题理科
数学试题
一、单选题
1．曲线f(x)=ax 2(a >0)与g(x)=lnx 有两条公切线，则a 的取值范围为（ ）
A ．(0,1e )
B ．(0,12e )
C ．(1e ,+∞)
D ．(12e ,+∞) 2．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足259,,a a a 成等比数列，则
5775S S =（ ） A ．57 B ．79 C ．1011 D ．1123
3．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4．已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()U A B ⋂=（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,0-
C ．{}1x x <
D ．{}
11x x -≤< 5．下列等式中不恒成立的是（ ）
A ．a b b a ⋅=⋅
B ．()a b a b λλ⋅=⋅
C ．222()a b a b ⋅=⋅
D ．22
||()()a b a b a b -=+⋅- 6．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ）
A ．12π
B ．6π
C ．3π
D ．2
π 7．已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的体积之比为（
）
A ．
B ．1:3
C ．1:9
D ．1:27
8．设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为
8
π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2313[()]f a a a -=（ ） A ．0 B ．2116π C ．21
8π D ．21316
π
9．已知α为第三象限角，且tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，则sin α=（ ）
A B C ．D ． 10．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（ ）
A ．600,?72
B ．1200,?90
C ．1200,?300
D ．600,?80
11．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为1，1，则输出的S 是（
）
A ．25
B ．18
C ．11
D ．3
12．设i 是虚数单位，如果复数a i
+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为（ ）
A ．13
B ．1
3- C ．3 D ．－3
二、填空题
13．()()5
212x x -⋅+展开式中，含2x 项的系数为__________.
14．如果规定：z y y x ==,，则 z x = 叫做 z y x ,, 关于相等关系具有传递性，那么空间三直线 c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是 . 15．已知双曲线22
221(0)x y b a a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率为1的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点，若1AF AB =，则双曲线的离心率为__________． 16．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.
三、解答题
17．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l cos()44π
θ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立极坐标
系，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数）. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求4x y --的最小值.
18．已知,(0,)αβπ∈，4cos 5α=，5sin()13
αβ-=. （1）求cos2α的值.
（2）求sin()αβ+的值.
19．已知函数()e (0)ax f x bx a =+<在点()()
0,0f 处的切线方程为51y x =+,且()()1112f f ='+.
(Ⅰ)求函数()y f x =的极值；
(Ⅱ)若()23f x x >+在[]
1,x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值. 20．设函数f （x ）=|x ﹣4|，g （x ）=|2x+1|．
（1）解不等式f （x ）＜g （x ）；
（2）若2f （x ）+g （x ）＞ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．
21．在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点.
（Ⅰ）求证：AO ⊥CD ；
（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；
（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP 平面AOF ？若存在，求出
AP PC
的值；若不存在，请说明理由.
22．已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P （12
）在椭圆上,线段PF 1与y 轴的交点M 满足2PM MF =．
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F 2的直线l 交椭圆于A,B 两点，且222AF F B =，求直线l 方程
23．中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大
量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.
（1）利用分层抽样在[40,45)，[45,50)，[50,55]三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；
（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点
．．．值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：设P(x 1,y 1)是f(x)的切点，Q(x 2,y 2)是g(x)的切点，f′(x)=2ax ，g′(x)=1x
，则直线切线为y −y 1=2ax 1(x −x 1)，y −y 2=1x 2(x −x 2)，即y =2ax 1x −ax 12，y =1
x 2x −1+lnx 2，由题意这两条直线重合，因此{2ax 1=1x 2ax 12=1−lnx 2
，消法x 1得14ax 22+lnx 2−1=0，由题意此方程有两个不等实根，记ℎ(x)=14ax 2+lnx −1，则ℎ′(x)=−12ax 3+1x =
2ax 2−12ax 3，0<x <√12a 时，ℎ′(x)<0，x >√12a 时，ℎ′(x)>0，因此x =√12a 时，ℎ(x)min =ℎ(√12a )=−12+ln√12a ，所以ℎ(x)min =ℎ(√12a )=−12+
ln√12a <0，解得a >12e ．故选D ．
考点：导数的几何意义，导数的综合应用．
【名师点睛】两曲线的公切线问题，分别在两曲线设出切点坐标，如设P(x 1,y 1)是f(x)的切点，Q(x 2,y 2)是g(x)的切点，利用导数的几何意义分别写出切线方程：y −y 1=f′(x 1)(x −x 1)，y −y 2=f′(x 2)(x −x 2)，由这两条直线是同一条直线（即重合）得出x 1,x 2的关系，并求出x 1,x 2．本题中关于x 1,x 2的方程有两解，可转化为一个函数有两个零点，这又可利用导数来研究函数的单调性与极值从而得出结论．
2．C
【解析】
【分析】
设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，
因为2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =，
即2111(4)()(8)a d a d a d +=++，
整理可得18a d =，
故1553741775()782102558311
7()2
a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3．B
【解析】
由抛物线的标准方程可知抛物线的准线方程为1x =-
设点M 的坐标为(),M M M x y ，由题意结合抛物线的定义可得：
()110,9M M x x --=∴=，
则M 到y 轴的距离为9.
本题选择B 选项.
4．B
【解析】
【分析】
按照并集和交集的概念求解即可.
【详解】 由题可知
{}1U B x x =<，则{}()1,0U A B ⋂=-. 故选：B .
【点睛】
本题考查并集和交集的求法，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题. 5．C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。

【详解】 由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得cos ,,cos ,a b a b a b b a b a b a ⋅=⋅⋅=⋅，所
以a b b a ⋅=⋅是正确；
根据向量的数量积的运算律，可得()a b a b λλ⋅=⋅是正确； 由向量的数量积的运算公式，可得22222222()cos ,,a b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=⋅，所以不恒成立； 由2222()()||||a b a b a b a b +⋅-=+=-，所以是正确的。

故选：C 。

【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

6．B
【解析】
将函数()f x 图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后，得到的图象对应的解析式为()g x sin[2()]sin(22)33x x ππϕϕ=-+=-+．由()g x 为奇函数可得2()3k k Z π
ϕπ-+=∈， 故()62k k Z ππϕ=-∈，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为6π．选B ． 7．D
【解析】
【分析】
根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.
【详解】 由题知21112222411943
S R R S R R ππ==⇒=， 则331132241134327
3
R V V R ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.
8．D
【解析】。