(江苏专用)高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理名师课件 理

r
x 2

(1)
r
a
r
C5r
x
5 2
r
,
令52－r＝32，则 r＝1，
3
T2＝－aC15 x 2，
∴－aC15＝30，∴a＝－6.
解析答案
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3.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是___1_5____. 解析 设展开式中的常数项是第r＋1项， 则 Tr＋1＝C6r·(4x)6－r·(－2－x)r＝Cr6·(－1)r·212x－2rx·2－rx ＝Cr6·(－1)r·212x－3rx， ∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4， ∴T5＝C46·(－1)4＝15.
易错分析 解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而
导致计算错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数 绝对值的区别与联系.
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.通项 Tr＋1＝Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项， 这里 r＝0,1，…，n. 2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 C0n， C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系 数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也 与 a，b 的值有关.
第十章 计数原理
§10.3 二项式定理
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)
二项展开式 的通项公式
n＋1 n＋3
n1
n1
奇数时，第 2 项和 2 项的二项式系数最大，最大值为Cn2 和Cn2 .
(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n ， C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝ 2n－1 .
答案
知识拓展
二项展开式形式上的特点 (1)项数为 r＋1 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按 降幂 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母 b按 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从 C0n ，C1n，一直到 Cnn－1， Cnn .
所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)(2014·课 标 全 国 Ⅰ)(x － y)(x ＋ y)8 的 展 开 式 中 x2y7 的 系 数 为 __－__2_0___.(用数字填写答案) 解析 x2y7＝x·(xy7)，其系数为 C78， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68， ∴x2y7 的系数为 C78－C68＝8－28＝－20.
方法与技巧
3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意， 给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法. 4.运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再 求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之 间的大小关系.
失误与防范
1.项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0. 2.求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”. 3.关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问 题的两种算法. 4.展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的， 在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细 心，以防出错.
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题型分类 深度剖析
题型一 二项展开式 命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例 1 (1)(2015·广东)在( x－1)4 的展开式中，x 的系数为____6____.
4r
解析 由题意可知 Tr＋1＝Cr4( x)4－r(－1)r ＝C4r (－1)r x 2 ， 4－r
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解析答案
3.已知 C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则 C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn ＝____6_3___. 解析 逆用二项式定理得 C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝ 3n＝729，即 3n＝36，所以 n＝6， 所以 C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝26－C0n＝64－1＝63.
解析 设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.
②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，
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易错警示系列
易错警示系列 15.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误
典例 (14分)(1)已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3的项的系数是20， 求a的值； (2)设(5x－ x)n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N， 若 M－N＝240，求展开式中二项式系数最大的项.
思维升华
解析答案
(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位) 解 1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.
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解析答案
跟踪训练3
1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1100除以 88 的余 数是____1____. 解析 1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1100 ＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10 ＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
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练出高分
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1.(2014·四川改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为___1_5____. 解析 因为(1＋x)6 的展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr6xr， x(1＋x)6 的展开式中含 x3 的项为 C26x3＝15x3， 所以系数为15.
解析答案
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3 在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
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解析答案
跟踪训练2
解析答案
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4.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为____4____. 解析 ∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)， ∴x4的系数为4a－1＝15， ∴a＝4.
答案
2
考点自测
1.(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是_(_－__1_)m_－__1C__mn _－_1__. 解析 (x－y)n 展开式中第 m 项的系数为 Cmn －1(－1)m－1.
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解析答案
2.(2－ x)8 的展开式中，不含 x4 的项的系数的和为__0___. 解析 由通项公式，可得展开式中含 x4 的项为 T8＋1＝C8828－8(－1)8x4＝x4， 故含x4的项的系数为1.令x＝1， 得展开式的系数的和S＝1， 故展开式中不含x4的项的系数的和为1－1＝0.
已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n (m，n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取最小值时n的值；
解 由已知得 C1m＋2C1n＝11，∴m＋2n＝11， x2 的系数为 C2m＋22C2n＝mm2－1＋2n(n－1) ＝m2－2 m＋(11－m)11－2 m－1＝m－2412＋31561. ∵m∈N*， ∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此)x2－x235 展开式中的常数项为___4_0____. 解析 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－x23r＝Cr5(－2)rx10－5r. 令10－5r＝0，则r＝2.
∴常数项为 T3＝C25(－2)2＝40.
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解析答案
5.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是__1_6_8____. 解析 ∵(1＋x)8 的通项为 Cr8xr，(1＋y)4 的通项为 Ct4yt， ∴(1＋x)8(1＋y)4 的通项为 Cr8Ct4xryt， 令 r＝2，t＝2，得 x2y2 的系数为 C28C24＝168.
解析答案
(2)(2014·课 标 全 国 Ⅱ)(x ＋ a)10 的 展 开 式 中 ， x7 的 系 数 为 15 ， 则 a ＝ 1
____2____. 解析 设通项为 Tr＋1＝C1r0x10－rar， 令10－r＝7，∴r＝3， ∴x7 的系数为 C310a3＝15， ∴a3＝18，∴a＝12.
解析答案
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2.(2015·湖南改编)已知
x－
a
5
x
的展开式中含
x
3 2
的项的系数为
30，则
a＝___－__6___.
解析

x－
a
5
x
的展开式通项
Tr
1

5r
C5r x 2 (1)r ar
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Crnan－rbr 是二项展开式的第 r 项.( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( √ ) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( × ) ( 5 ) 若 ( 3 x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0 ， 则 a7＋a6＋…＋a1 的 值 为 128.( × )
二项式系数
Tr＋1＝ Crnan－rbr ，它表示第 r＋1 项 二项展开式中各项的系数 Crn (r∈{0,1,2，…，n})
答案
2.二项式系数的性质
(1)0≤r≤n 时，Crn与 Cnn－r的关系是 Crn＝Cnn－r .
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当 n 为偶数时，第
n2＋1
n
项的二项式系数最大，最大值为Cn2；当 n 为
解析答案
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和. 解 由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3. 设这时f(x)的展开式为 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
解析答案
题型三 二项式定理的应用
例4 (1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值； 解 原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋Cnn－252＋Cnn－15＋Cnn)＋5n－a ＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋Cnn－252)＋25n＋4－a， 显然正整数a的最小值为4.
令 2 ＝1 解得 r＝2， 所以展开式中 x 的系数为 C24(－1)2＝6.
解析答案
(2)(2015·课 标 全 国 Ⅰ 改 编 )(x2 ＋ x ＋ y)5 的 展 开 式 中 ， x5y2 的 系 数 为 ________.
解析答案
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2 (2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数 之和为32，则a＝____3___.