量子力学——有限深方形阱

也不是离散量。代入方程 (1) ：
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三、散射态
解答形式与阱内区域的解答形式相同：
其中，C1 、D1 、 C3、D3 ，都是常数。
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四、自由粒子
在物理学里，自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里，一 个自由粒子所感受到外来的合力是 0 。 假若，一个粒子 x 的能量大于在任何地点 E＞V(x) 的位势， ，不会 被位势束缚，则称此粒子为自由粒子。 更强版的定义，还要求位势为常数 V(x)=V0。 假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数； 在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由 粒子或半自由粒子的能量大于位势， E＞V(x) ，不会被位势束缚， 能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于V0 的任意值。 在这里，我们只研究强版定义的自由粒子。
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4.3 相对论性的自由粒子
相对论性的自由粒子的量子行为，需要用特别 的方程专门描述： 克莱因-高登方程描述中性的 (neutral) ，自旋 为零的，相对论性的自由粒子的量子行为。 狄拉克方程描述相对论性的电子（自旋为 的量子行为。 ）
1.
2.
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所以，波数是离散的，必须遵守方程： 这也造成了离散的能量。
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三、散射态
假若，一个粒子的能量大于位势， E＞V0 ，则这粒子不会被束缚于位势阱内。 因此，在这里，粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射（scattering）行为。称这 粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。 更强版的定义还要求位势为常数。 假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；而在区域与区域之 间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。 自由粒子和半自由粒子的能量大于位势， E＞V0 ，不会被束缚于位势阱内，能量不是 离散能量谱的特殊值，而是≧V0的任意值。 波数 ，用方程表达为
代入方程 (1) ： 一般解是指数函数。所以，阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是
其中，F ，G ，H ，I 都是常数。 从正确的边界条件，我们可以找到常数 A，B ，F ，G ，H ，I 的值
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2.1 束缚态的波函数
薛定谔方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的 边界条件。 总结前面导引出的结果，波函数 的形式为： （阱外区域）， （阱内区域）， （阱外区域）。 ：阱左边， ：阱内， ：阱右边，
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4.1 经典自由粒子
经典自由粒子 经典自由粒子的特点是它移动的速度 V 是不变的。它的动量 P 是 P=mV 其中， m是粒子的质量。 能量 E是 E= mV
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4.2 非相对论的自由粒子
(1)
一个非相对论性的自由粒子的薛定谔方程为
其中， 是约化普朗克常数，
所以，波数是离散的，必须遵守方程： 这也造成了离散的能量。
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2.3 偶的波函数
假若，波函数
是奇函数，则
由于整个波函数 必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导 数值都必须相配：
将波函数的公式代入： (7) (8)
方程 (8) 除以方程 (7) ，可以得到： 从方程 (3) 与 (4) ，可以求得常数 与波数 的关系：
量子力学
有限深方形阱
目录
一、 一维阱定义
1.1 阱内区域 1.2 阱外区域
二、 束缚态
2.1 束缚态的波函数 2.2 奇的波函数 2.3 偶的波函数
三、散射态 四、自由粒子
4.1 经典自由粒子 4.2 非相对论性的自由粒子 4.3 相对论性的自由粒子
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序
在量子力学里，有限深方形阱，又称为有限深位势阱，是无限深方形阱的延伸。有 限深方形阱是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为有限值的位势阱。关于一个或多个 粒子，在这种位势作用中的量子行为的问题，称为有限深位势阱问题。与无限深方 形阱问题不同的是，在阱外找到粒子的几率大于 0 。
其中，
是约化普朗克常数， m 是粒子质量，x 是粒子位置，V(x) 是位势，E是能量。
Hale Waihona Puke 返回目录4/121.1阱内区域
在阱内，位势
，方程简化为：
(2)
设定波数 为
(3)
代入方程 (2) ：
这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 与余弦函数的线性组合：
是正弦函数
其中， A与 B都是复值常数，由边界条件而决定。
在经典力学里，假若，粒子的能量小于阱壁的位势，则粒子只能移动于阱内，无法 存在于阱外。截然不同地，在量子力学里，虽然粒子的能量小于阱壁的位势，在阱 外找到粒子的几率大于 0 。
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一、一维阱定义
一维有限深方形阱的阱宽为L ，左边阱壁与右边阱壁的位置分别为 与 。阱内位势为 0 。 在阱壁，位势突然升高为 V0。阱外位势保持为V0 。 这一维阱将整个一维空间分为三个区域：阱左边，阱内，与阱右边。在每一 个区域内，对应着不同的位势，描述粒子的量子行为的波函数 也不同，标 记为： 阱左边， （阱外区域）， 阱内， （阱内区域）， 阱右边， （阱外区域）。 这些波函数，都必须满足，一维不相依于时间的薛定谔方程： (1)
其中，积分的区域是所有的 k-空间。 为了简化计算，只思考一维空间， 其中，因子 是由傅里叶转换的常规而设定，振幅 是线性叠加的系
数函数。 逆反过来，A(k) 系数函数可以表达为
其中，
是波函数在时间 t = 0 的函数形式。 ，借由傅里叶转换，我们可 。
所以，知道波函数在时间 t = 0 的形式 以推演出波函数在任何时间的形式
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4.2 非相对论的自由粒子 (2)
动量的期望值是
能量的期望值是
代入波矢量 k 与角频率 ω 的关系方程，可以得到熟悉的能量与动量的关系方程：
波的群速度
定义为 其中， 是粒子的经典速度
波的相速度
定义为
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4.2 非相对论的自由粒子 (3)
在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子 的波函数可以表示为一个波包的函数：
是粒子的波函数， 是粒子的位置，t 是时间。
这薛定谔方程的解答是一个平面波： ，
其中，k 是波矢量，ω是角频率。
代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：
由于粒子存在的几率必须等于 1 ，波函数
必须先归一化，然后才能够表
达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由 粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。
我们可以观察到，当 x 趋向负无穷，包含 F 的项目趋向无穷。类似地，当 x 趋向无 穷，包含 I 的项目趋向无穷。可是，波函数在任何 x 都必须是有限值。因此，我们必须 设定 。阱外区域的波函数变为: 在阱左边，随着 x 越小，波函数 在阱右边，随着 x 越大，波函数 归一化。 由于有限深方形阱对称于 波函数不是奇函数就是偶函数。 呈指数递减。 呈指数递减。这是合理的。这样，波函数才能够 。我们可以利用这对称性来省略计算步骤。
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2.2 奇的波函数
假若，波函数
是奇函数，则
由于整个波函数 必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导 数值都必须相配：
将波函数的公式代入： (5) (6)
方程 (6) 除以方程 (5) ，可以得到： 从方程 (3) 与 (4) ，可以求得常数 与波数 的关系：
量子力学量子力学有限深方形阱有限深方形阱212目录一一维阱定义11阱内区域12阱外区域二束缚态21束缚态的波函数22奇的波函数23偶的波函数三散射态四自由粒子自由粒子41经典自由粒子经典自由粒子42非相对论性的自由粒子非相对论性的自由粒子43相对论性的自由粒子相对论性的自由粒子312序?在量子力学里有限深方形阱又称为有限深位势阱是无限深方形阱的延伸
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1.2 阱外区域
在阱外，位势
，薛定谔方程为：
视能量是否大于位势而定，有两种不同的解答：
一种是自由粒子解答 另一种是束缚粒子解答
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二、束缚态
假若，粒子的能量小于位势：E＜V0 ，则这粒子束缚于位势阱内．称这粒子的 量子态为束缚态（bound state）。设定 (4)