【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示课后强化作业 北师大版

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基础达标检测
一、选择题
1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案]C
[解析]本题考查了代入法求函数解析式．
f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件，故选C.代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．
2．(文)(2013·某某高考)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞) [答案]C
[解析]本题考查函数的定义域．
⎭
⎪⎬⎪
⎫x －2>0x －2≠1⇒x >2且x ≠3，故选C. (理)已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2B ．π C.πD ．不确定 [答案]B
[解析]f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.
3．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( ) A ．y ＝|x |
x 与y ＝1
B ．y ＝x
x
与y ＝x 0
C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1(x >1)
1－x (x <1)
D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1
[答案]B
[解析]当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x ≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x ≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x <0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．
(理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝log a a x ，g (x )＝a log a x (a >0，a ≠1) B ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3
x 3
C ．f (x )＝2x －1(x ∈R )，g (x )＝2x －1(x ∈Z )
D ．f (x )＝x 2－4x －2，g (t )＝t 2－4
t －2
[答案]D
[解析]选项A 、B 、C 中函数的定义域不同．
4．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ，x ≤0
x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )
A. －4或－2
B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 [答案]B
[解析]本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4或2，选B.
5．(2013·全国大纲)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1
2)
C ．(－1,0)
D ．(1
2，1)
[答案]B
[解析]本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0) ∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－1
2
.
6．在给定的映射f ：(x ，y )→(2x ＋y ，xy )(x ，y ∈R )作用下，点(16，－1
6)的原像是( )
A ．(16，－1
36
)
B ．(13，－12)或(－14，23)
C ．(136，－16
)
D ．(12，－13)或(－23，14)
[答案]B
[解析]由已知得：⎩⎨⎧
2x ＋y ＝1
6xy ＝－1
6解方程组得
⎩⎨⎧ x ＝1
3
y ＝－12
或⎩⎨⎧
x ＝－1
4y ＝2
3
故选B.
二、填空题
7．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案](0，6]
[解析]本题考查函数定义域的求法，此题应该让被开方数大于或等于零． 由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤1
2，∴log 6x ≤log 6 6.
∴0<x ≤6，∴函数的定义域为(0，6]．
求函数的定义域要根据函数的解析式的不同表达形式分别对待，另外此题易错点为对数的真数x >0.
8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.
[答案]f (x )＝⎩⎨⎧
3
2
x ，0≤x ≤13－3
2x ，1≤x ≤2
[解析]由图像知每段为线段．
设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，(1，32)和(1，3
2
)，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32，
b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－32
，b ＝3.
9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出
x 1 2 3 f (x )
1
3
2
x 1 2 3 g (x )
3
2
1
则f [g (1)]的值为________________． [答案]2 2
[解析]f [g (1)]＝f (3)＝2.
x 1 2 3 f [g (x )] 2 3 1 g [f (x )]
3
1
2
故f [g (x )]>g [f (x )]的解为x 三、解答题
10．已知扇形周长为10cm ，求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系S ＝f (r )，并确定其定义域．
[解析]设弧长为l ，则l ＝10－2r ，
所以S ＝1
2
lr ＝(5－r )r ＝－r 2＋5r .
由⎩⎨⎧
r >0，l >0，l <2πr
得5π＋1
<r <5. ∴S ＝f (r )＝－r 2＋5r ，其定义域为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π＋1，5. 能力强化训练
一、选择题
1．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))＝( )
A.1
5B ．3 C.23D.139 [答案]D
[解析]本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝2
3，
f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝13
9
.
(理)若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≤1
lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0 [答案]B
[解析]本题考查了分段函数与函数值的求解．
f (10)＝lg10＝1，f (1)＝1＋1＝2，故选B ，分段函数是由于定义域的不同引起函数的表达式不同，它是一个函数，解分段函数问题要注意函数的定义域与解析式的对应．
2．(改编题)设f (x )＝1＋x
1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2015(x )＝( )
A.1＋x 1－x
B.x －1x ＋1 C ．x D ．－1
x
[答案]B
[解析]由已知条件得到
f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1(x )1－f 1(x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x
1－x ＝－1
x ，
f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2(x )1－f 2(x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1
x ＋1，
f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3(x )
1－f 3(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1
x ＋1＝x ，
f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x
1－x
，
易知f n (x )是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3， 所以f 2015(x )＝f 3(x )＝x －1
x ＋1
. 二、填空题
3．(2013·某某高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
[答案]－x (x ＋1)2
[解析]本题主要考查了求函数解析式． ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1 ∴f (x )＝f (x ＋1)2＝1
2(x ＋1)[1－(x ＋1)]
＝－(x ＋1)
2
·x .
4．(文)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：
①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；
③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案]②③④
[解析]该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．
由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，
故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．
(理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：
①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；
②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案]②③
[解析]当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.
三、解答题
5．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝
log 1
2
(x 2－1)； (3)y ＝lg ⎝⎛⎭
⎫1－1x . [解析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧
25－x 2≥0，
cos x >0，
得
⎩⎪⎨⎪⎧
－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).
∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π
2，5. (2)由log 1
2(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1，
∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.
∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2}． (3)由1－1
x >0，得x >1或x <0，
∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．
6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．
(1)求f (x )和g (x )的解析式；
(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，某某数λ的取值X 围． [解析](1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1， 即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x . ∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .
(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1
λ＋1，
则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1
λ＋1≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值X围是(－∞，0]．。