线代09 10 2学期 a
09-10线性代数下A卷
系别_______ ____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 理 工 科 专业 线性代数 课2009——2010学年度第二学期期末考试试卷(A 卷)填空题(每题2分,共20分)1.四阶行列式中的一项34124321a a a a 应取的符号是_______。
2.排列138492576的逆序数是_____________。
3. 设A 为3阶方阵,若3A =,则3________A -=。
4.设12113215631A λ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且A 的秩等于2,则λ=________。
5.设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集的秩S R =________。
6.三阶方阵A 的特征值为6,1,9-,则A 的行列式等于____________。
7.矩阵方程组AX B =有解的充分必要条件是_________________。
8.设向量(1,2,1)T a =-,则||||a =________。
9.若n 阶矩阵A 与B 相似,则存在可逆矩阵P ,使得__________________成立。
10.矩阵500031021A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1A -= 。
判断题(每题2分,共20分)( ) 1、如果行列式等于零,则行列式中必有两行完全相同。
( ) 2.若,A B 为同阶可逆矩阵,则111()A B A B ---+=+。
( ) 3.设A 的秩等于r ,则A 的r 阶子式全不等于零。
( ) 4.A 为m n ⨯矩阵,若线性方程组Ax b =有无穷多解,则0Ax =有非零解。
( ) 5.若向量组中有一部分线性无关,则该向量组必线性无关。
( ) 6.设A 为m n ⨯矩阵,若0Ax =只有零解,则A 的列向量组线性无关。
2009-2010第二学期线性代数期末B卷答案
第 1 页 共 5 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试试题答案《 线 性 代 数 》(B 卷)班级 学号 姓名 总分一、填空题(共9题10空,每空3分,共30分)请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.()734=A , ()111=B ,则A B T = 。
⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛734734734 2.设21,αα是n 维向量,令1212ααβ-=,212ααβ+=,213ααβ-=,则向量组321,,βββ的线性相关性是 。
答案 线性相关3.已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型,则参数λ的取值范围为答案 <<-λ315315 4. 设3351110243152113------=D ,D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ,则3231A A += 答案 245.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式48|2|-=A ,则λ= . 答案λ=-1.6.已知()1,1,1,2,()a a ,,1,2,()a ,1,2,3,()1,2,3,4线性相关,并且1≠a ,a = .--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 5 页答案 1/27.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似,则_________,==y x 。
答案 1,0==y x8.要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=43211211t A 的秩最小,则__________=t 。
华南农业大学09年高等代数(下)(A)卷参考答案
2009—2010学年第二学期高等代数II 参考答案一、选择题1. (D)2. (D)3. (A)4. (C) 5 (C)二、填空题1. 5;2. (2,0)x y +;3. 0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 4. 2; 5. (2,2,2) 三、判断题1. √2. ×3. √4. × 5 √四、解答题1. 解:因为()()12341234100 0110 0,,,,,,11 1 01 1 1 1ααααεεεε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2分 所以,()()112341234100 0110 0,,,,,,11 1 01 1 1 1εεεεαααα-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3分()1234100 0110 0,,,01 1 0 0 0 1 1αααα⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭6分 故从基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为100 0110 001 1 0 0 0 1 1A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭7分 设ζ在基1234,,,αααα下的坐标为1234(,,,)x x x x ,则有()123412,,,34ζεεεε⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8分()123412,,,34A αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭9分 故12341100 0112110 021301 1 0314 0 0 1 141x x A x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 10分 故ζ在基1234,,,αααα下的坐标为(1,1,1,1)。
11分2. 解:由于123123 1 2 2(,,)(,,) 2 1 22 2 1σεεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则σ在基123,,εεε下的矩阵为1 2 22 1 22 2 1A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1分设1(0)ασ-∈,其中112233x x x αεεε=++, 则 2分1123230()(,,)x x x σασεεε⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭3分 1123231 2 2(,,) 2 1 22 2 1x xx εεε⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分 故 1231 2 202 1 202 2 10x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分 又因为 1 2 22 1 2502 2 1=≠, 6分故 11231 2 2002 1 2002 2 100x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7分由于 123(,,)V L σσεσεσε= 8分由于||50A =≠,故dim()()3V R A σ==。
09-10高数(二)期终考试A卷答案
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《高等数学(工)2》期(终)试卷A 答案及评分标准一、单项选择题(本大题共7小题,每小题2分,共14分) 1、D ;2、A ;3、C ;4、A ;5、B ;6、C ;7、B 。
二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)1、0,⎛- ⎝;2、-0.2;3、34π;4、1xe y +;5、43120x y z -+-=;6、0。
三、计算题(本大题共10小题,每小题6分,共60分) 1、求原点)0,0,0(O 在直线L :471352-=-=+z y x 上的投影。
解:过点)0,0,0(O 作垂直于已知直线的平面π:045=++z y x ……………………(2分) 将直线的参数方程25-=t x ,3+=t y ,74+=t z 代入平面方程得0)74(4)3()25(5=++++-t t t ,解得21-=t ,………………………………………(4分)直线与平面的交点⎪⎭⎫⎝⎛-5,25,29即为原点在直线上的投影点,……………………………(6分) 2、设(,)z z x y =是由方程x z xyz =所确定的隐函数,求dz 。
解:设(,,)xF x y z z xyz =-,…………………………….…………………..……….(1分)ln x x F z z yz =-,y F xz =-, 1x z F xz xy -=-,1ln xx z yz z z xxzxy-∂-=∂-,…..………..(3分)1x z xz yxzxy-∂=∂-,…..………..………..………..………..………..………..………..……(5分)11ln xx x yz z z xz dz dx dy xzxyxzxy---=+--…………………………….…………………...……(6分)3、设(,)(,)z f x y g u v =+,22u x y =-,v xy =,其中,f g 具有一阶连续偏导数,求,z zx y∂∂∂∂。
2009-2010(2)AD
=
e3 (3 − 3 ) 。 2
3.交换积分次序 ∫ dy ∫ 2
0
4
1
( y − 4)
− 4− y
f ( x, y )dx =
∫
0
−2
dx ∫
4− x 2
2x+4
f ( x, y )dy 。
4.第二类曲线积分 ∫ Pdx + Qdy + Rdz 化成第一类曲线积分是 ∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )ds 。
装 订 线 内 不 准 答 题
吉林工程技术师范学院教务处印制
5.计算曲面积分 ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy, 其中Σ为半球面z =
Σ
R 2 − x 2 − y 2的上侧。
解:
6.计算曲线积分 ∫ ( e x sin y − 2 y ) dx + ( e x cos y − 2 ) dy , 其中 L 为上半圆周 ( x − a) 2 + y 2 = a 2 ( y ≥ 0) 沿逆时针方向;
装 订 线 内 不 准 答 题
吉林工程技术师范学院教务处印制
2π 2 4(−1) n a0 = , an = , n = 1,2,3,L 3 n2
F ( x) =
由收敛定理,
π2
3
+∑
4(−1) n cos nx n2 n =1 。
∞
x2 =
即
π2
3
+∑
4(−1) n cos nx ( −π ≤ x ≤ π ) 。 n2 n =1
π
(A)
4
(B) −
π
(C)
09-10线代答案A12
6分
1 当 λ3 = 2 时,解方程组 ( A − 2 E ) x = 0 ,得基础解系 α 3 = 1 1
解特征方程 A − λE = (λ + 1) ( 2 − λ ) = 0 ,
2
1分
得特征值为 λ1 = λ 2 = −1, λ3 = 2
3分
− 1 − 1 当 λ1 = λ 2 = −1 时,解方程组 ( A + λE ) x = 0 ,得基础解系 α 1 = 1 , α 2 = 0 ,正交化 0 1 − 1 1 1 的 β 1 = 1 , β 2 = − 1 2 0 − 2
本题得分
七、 ( 本 题 9 分 )
求过三点: O (0,0,0), A(1,2,3), B ( 4,5,6) 的平面方程及三角形 OAB 的面积。 解: OA = { ,2,3}, OB = {4,5,6} , 1 取所求平面的法向量 n = OA × OB = {− 3,6,−3} 1分 3分
平面 O (0,0,0) 点,故所求平面方程为: − 3 x + 6 y − 3 z = 0 即: x − 2 y + z = 0 5分 9分
S ∆OAB =
1 3 OA × OB = 6 2 2
本题得分
八、 ( 本 题 9 分 ) 求一个正交变换将二次型:
f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3 化为标准形。
0 1 1 解:二次型的矩阵为 A = 1 0 1 1 1 0
2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷(A 卷)院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分; 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷;4、请在试卷上答题,在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题(本题共20分,每小题4分)1.设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 .2.设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =.3.设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + . 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ .5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = .装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则,诚 信 考 试,绝 不 作 弊二、选择题(本题共20分,每小题4分)6.已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有( ).(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7.设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +,则(,)f x y 在(0,0)处( ).(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8.二重积分221d x y x y +( ).(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129.设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310. 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为( ). (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分,每小题8分)11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12.设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13.设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14.利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15.设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16.计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部.四、(本题共12分,每小题6分)17.已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18.求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
09-10第一学期3学分(A卷)参考答案
⎛2 5 4 5 5⎞ 解方程组 ( A − E ) x = 0 求得 λ = 1 的一个特征向量为 ξ1 = ( 2, 4,5 ) ,单位化得 p1 = ⎜ ⎜ 15 , 15 , 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
T
T
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 2 ξ1 = p1 − p3 = ( p1 + p2 ) − ( p2 + p3 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 0 1 ξ 2 = p2 − p4 = ( p2 + p3 ) − ( p3 + p4 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠
T T
为 A 相应于 λ2 的两个线性无关的特征向量,证明向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关。 (1)解:由 b1 , b2 ," , bn 由 a1 , a2 ," , an 的线性表出关系式可知 B = AK ,其中
T (kB) = A(kB) − ( kB)T A = kAB − kBT A = kT ( B) 故 T 是 V 上的一个线性变换。
(2). T ( E11 ) = ⎜
⎛ 0 −2 ⎞ ⎛0 1⎞ ⎟ = −2 E12 − 2 E21 , T ( E12 ) = ⎜ ⎟ = E12 − E21 − 4 E22 ⎝ −2 0 ⎠ ⎝ −1 − 4 ⎠
A = ( a1
a2
a3 " an ) , B = ( b1
0910高等数学A(二)答案
0910高等数学A(二)答案第一篇:0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准(含参考答案)A卷课程名称:高等数学A(二)任课教师:张苏梅等一、填空题(每小题3分,共18分)1.yzez-xy;2.y=2x3-x2;3.2xdx+2ydy;π∞(-1)n(2x)2n4.0;5.2;6..12(1-n∑=0(2n)!),(-∞,+∞)二、选择题(每小题3分,共18分)C;D;C;B;A;B.三、计算题(每小题8分,共32分)1.解:∂z∂x=1ycosxy;.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解:⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解:dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解:⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题(每小题8分,共16分)1.解:由椭球的对称性,不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点,内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0),其体积为:V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ(x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得(x,y,z)=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解:Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、(8分)解:因为limana=limn=1,所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时,级数均发散,故级数的收敛域为(-1,1).....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、(8分)解:① 设u=x2+y2,则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理,2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp,du则原方程化为:dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得:p=CC,即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得:C1=0.函数f(u)的表达式为:f(u)=ln|u|.......8分第二篇:1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准(含参考答案)A卷课程名称:高等数学B(二)任课教师:一、填空题(每小题2分,共10分)1、2dx+dy,2、-5,3、1,4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题(每小题2分,共10分)1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题(每小题8分,共40分)1、解:令F=x2+y2+z2-2z,则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解:⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解:⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解:ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解:收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=(x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题(每小11分,共33分)ϖ1、解:交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解:令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解:旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D:x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题(每小题7分,共7分)ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证:x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇:专升本高等数学(二)成人高考(专升本)高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念(对极限定义等形式的描述不作要求)。
09-10线代(A)参考答案-黄加增
福建农林大学东方学院考试试卷(A )2009 ——2010 学年第二学期课程名称: 线性代数 考试时间专业 年级 班 学号 姓名一、填空题(每小题3分,共15分)1、矩阵21002n-⎛⎫ ⎪⎝⎭=21002n ⎛⎫⎪⎝⎭. 2、已知向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)k ααα'''===---线性相关,则k = 2 .3、设123012001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭则()1A -*=123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4、设12,ηη为非齐次线性方程组Ax B =的两个解,则12ηη-是0Ax =的解.5、矩阵104021413A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭对应的二次型是22212313232382f x x x x x x x =+++-.二、单项选择题(选择正确答案的字母填入括号) (每小题2分,共10分)1 、设4阶行列式D 的第i 行第j 列的元素为ij a , 则D 的展开式中, 下列各项符号为负的是( C ). A . 44332211a a a a ; B . 44312312a a a a ; C . 42341321a a a a ;D . 44322113a a a a .2、 已知向量组4321,,,αααα是线性无关,则 ( A )A .14433221αααααααα-+,+,+,线性无关;B .14433221αααααααα-,-,-,-线性无关;C .14433221αααααααα++,+,+,线性无关;D . 14433221αααααααα-,-,+,+线性无关. 3、已知A , B 均为n 阶矩阵,则必有( D ). A . 2222)(B AB A B A ++=+ B . B A AB ''=')(C.. =AB 0时,=A 0或=B 0 D . 若AY AX =且0≠A ,则Y X =4、设n 阶矩阵A 满足A A =2, 则A 的特征值为( D ). A .0;B .1;C .1±;D . 0或1.5、如果⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解,则( B )A .0=kB .2=kC .1-=kD .2-=k三、计算题(每小题10分,共20分)1、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-.解:111100111100x x x D y y y +--=+--101000011000x x y y-=-=22001100x x y x y y-=- 2、101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,用初等变换求1A -.解:()101100101100,210010012210325001022301A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭5110011011002201221001051100272171001122⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎪⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭15112251171122A -⎛⎫-- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四、解答题(每小题10分,共20分):1、已知矩阵方程01022010X X ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求矩阵X .解:0102010220102010X X X E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11022110X -⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 102111021X --⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,又111112121----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭则102110211421021102111X ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==45(1,1,2,0),(2,1,5,6)αα=-=求向量组的秩及其一个极大无关组.解:用这些向量作为列向量得矩阵A ,并对其施行初等行变换1234103121031210312130110330301101(,,,)2172501101000114214060224200000A αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪''''==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此:(1)其向量组的秩为3;(2)124,,ααα是向量组12345,,,,ααααα的一个最大线性无关组五、应用题(本题13+12=25分)1、设方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问当λ 取何值时, (1)方程组有唯一解;(2)方程组无解;(3)方程组有无穷多解,求其通解解:系数行列式为3212222202(5)2(4)22222254254245011r r r r λλλλλλλλλλ+--------⨯-----=------- 22(1)(10)λλ=---,(1)因此当1,10λλ≠≠时,方程组有唯一解; (2)当10λ=时,51151112128221222225420999099924511018184500063A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组无解;(3)当1λ=时,122112212442000024420000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭通解为:12123122010001x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中12,k k 为任意实数。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ,其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ,其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4.设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解,则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分,7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号:
注:1、考生必须在答题纸的指定位置答题,主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名:
班级:
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
成都信息工程学院 09-10学年线性代数试题A答案[1][1]
2009——2010学年第一学期课程名称:线性代数与空间解析几何 使用班级:08级全校理工各专业 一.解: 12111111111110111101111101111011(1)1110111101111101111nir r n n n An n n +--∑-==-----(6分)1111110100000100(1)(1)(1)0001001n n n ---=-=------(4分)二.(10分)解:由2,AX A X =+得 (2)A I X A -=而101211010012A I -=-=-≠,所以2A I -可逆,1(2)X A I A -=- ---(4分) 101301101301(2)1101100112110121401214A I A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100522010432001223--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 故522432223X --⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭——(6分) 三、(10分) 解: 所求平面过点1M ,可设它的方程为(4)(1)(2)0A x B y C z -+-+-= -----(3分)因为该平面与已知平面垂直且与12M M平行,所以有62307430A B C A B C -+=⎧⎨-+-=⎩ 求得33,510A CB C=-=-, -----(5分)故,所求平面方程为631070x y z +--= ————(2分) 四.(10分) 解:1234132013201043(,,,)1441012101211210121000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4分) 1.()2R A =,向量组1234,,,αααα线性相关. --------(3分) 2. 12,αα为极大无关组, 31241242,3αααααα=-+=-+ ————(3分) 五.(10分)解: 1. 设ξ是属于特征值0λ的特征向量,即02121153111211a bλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----(2分) 即0001,2,.1a b λλλ-=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩解得 01,3,0.a b λ=-=-= -----(3分) 2. 3212533(1)12I Aλλλλλ---=-+-=++ -----(3分)因此特征值为1231,λλλ===-又因为312()5232101R I A R --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭因此属于1的特征向量只有1个,因此,A 不能对角化 . -----(2 分)六.(10分)解: 331024113137()313401241598000B A b ⎛⎫---⎛⎫ ⎪⎪⎪==--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ -----(4分) 由于()()2R A R B ==,方程组有解,对应方程组为;132333243724x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令30x =,得特解102334740x x x η⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ -(2分)对应齐次方程组为;12223232x x x x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 令31x =,得基础解系12332321x x x ξ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭(2分)故,方程组的通解为:3342734201k η⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∀∈ ————(2分)七.(10分)解: 240031(4)(2)013I A λλλλλλ--=--=----故得特征值1232,4λλλ=== -----(3分)当12λ=时,由 123200001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得基础解系 1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,单位化得10e ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ - ⎝-----(2分)当234λλ==时,由 123000001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得基础解系 23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,23,ξξ刚好正交, 单位化得23010,0e e ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝ , -----(2分)于是得正交阵01000C ⎛⎫⎪=⎝有 1244T C AC C AC -⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭-----(3分) 八.(10分)解: 作变换:11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ -----(3分)则 2212312123123(,,)()()f x x x y y y y y y y y =-+-++22222121313232()y y y y y y y y =-+=+-- -----(3分)令 1122233z y y z y z y=+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故标准形为222123123(,,)f x x x z z z =-- -----(4分)九.(10分)解: 由方程组消去y ,得到曲线Γ在xoz 面上的投影曲线方程为:2240z x y ⎧+=⎨=⎩曲线Γ在母线平行于z 轴的柱面上,故曲线Γ在xo y 面上的投影曲线方程为: 2220x y x z ⎧+-=⎨=⎩十.(8分)解: 由于 1223312,2,32a αααααα+++ 线性相关,所以有不全为零的123,,x x x ,使 112223331(2)(2)(32)0x x a x αααααα+++++=即 131122233(2)(22)(3)0x x x x ax x ααα+++++= -----(4分) 因为 123,,ααα线性无关,故有1312232022030x x x x ax x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于不全为零,从而齐次方程组有非零解,系数行列式必为零.即 1023220640,23a a a=+==------(6分)。
浙工大09-10(II)线性代数期末卷-参考答案
2
对应的最简方程为 ⎨
பைடு நூலகம்
x1 = 1 ⎩ x2 − x3 = −1 ⎧
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 通解为 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 1⎟ + t ⎜ 1 ⎟, t ∈ R . ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎜ (1)求 A 的特征值和对应的特征向量; 4. (14 分)设 A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , ⎜1 1 2⎟ ⎠ ⎝
四、证明题(略)
4
T T T T
(1)求 p 的值使该向量组线性无关; (2)求 p 的值使该向量组线性相关,并在此时求出它的秩和一个极大无关组,同时将其余 向量用该极大无关组线性表示出来。
1
解: (1)令 A = (α1
α 2 α3
⎛1 −1 3 ⎜ ⎜0 − 2 −1 α4 ) → ⎜ 0 0 −7 ⎜ ⎜0 0 0 ⎝
浙 江 工 业 大 学 线 性 代 数 期 末 试 卷 参 考 答 案
( 2009 ~ 2010 第 二 学 期 )
一、选择题(每题 2 分,共 10 分) : 1. B; 2. D; 3. C; 4. A; 5. D
二、填空题(每空 3 分,共 30 分) 2. B(B − E )
−1
1.
5,
0;
2
λ
−1
− 0.8 − 1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ~ 1 2⎟ , A = ( A, β ) → ⎜ − 0.8 − 1 ⎜ 0 0 0 9⎟ ⎝ ⎠
此时,方程组无解。 (3)当 λ = 1 时,增广矩阵为
⎛2 1 −1 1 ⎞ ⎛1 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~ 2 ⎟ → ⎜ 0 1 − 1 − 1⎟ , A = ( A, β ) = ⎜ 1 − 1 1 ⎜ 4 5 − 5 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
MK_09-10(2)高数A(二)、B(二)试卷
安徽大学2009—2010学年第二学期院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学A (二)、B (二)》考试试卷(A 卷)(闭卷 时间120分钟)题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人一、填空题(本大题共五小题,每小题2分,共10分)得分1.点(2到平面的距离为 ,1,1)10x y z +−+=.2.极限222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠ .3.交换积分次序 /2sin 0 0d (,)d xx f x y y π=∫∫.4.设()f x 是周期为2的函数,它在区间(1,1]−上的定义为 则32,10,(),01,x f x x x −<≤⎧=⎨<≤⎩()f x 的Fourier 级数在1x =处收敛于.5.函数u x 在点处沿方向的方向导数为 yz =(1,1,1)(2,2,1).得分二、选择题(本大题共五小题,每小题2分,共10分)6. 二元函数(,)f x y =(0处 ( ) ,0)A. 连续,但偏导数不存在; B .不连续,且偏导数不存在;C .不连续,但偏导数存在;D .连续,且偏导数存在.7.设第二类曲面积分1d d SI xyz z x =∫∫,22d d SI xy z z x =∫∫,其中为的上半部分,方向取上侧.若为在第一卦限部分,且与方向一致,则 ( )S 2221x y z ++=1S S S A .; B. 120I I ==10I =,1222d S d I xy z z x =∫∫;C. 112d S d I xyz z x =∫∫,1222d S d I xy z z x =∫∫; D. 112d S d I xyz z x =∫∫,.20I =8. 设为中开区域,且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω3\ΩΩ的曲面,函数在Ω内连续可导.若曲线积分只依赖于曲线,,P Q R d d d LP x Q y R z ++∫L 的端点,而与积分路径无关,则下述命题不正确的是 ( )A .对Ω内任意光滑闭曲线,曲线积分C d d d CP x Q y R z 0++=∫v ;B. 存在Ω上某个三元函数,使得(,,)u x y z d d d d u P x Q y R z =++;C. 等式,,P Q R P Q Ry x x z z y∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂在开区域Ω内恒成立; D. 等式0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂在开区域Ω内恒成立. 9. 设函数(,)f x y 在开区域内有二阶连续偏导数, 且D 0000(,)(,)0x y f x y f x y ==.则下列为(,)f x y 在点00(,)x y 处取极小值的充分条件的是 ( )A. ; 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−><><B. ; 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−C. ; 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−D. . 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−10. 设函数具有二阶连续偏导数,则(,,)u f x y z =div f =grad ( )A. xx yy zz f f f ++;B. x y z f f f ++;C. (,,)x y z f f f ;D. (,,)xx yy zz f f f .三、计算题(本大题共五小题,其中第11、12、13题每小题10分,第14、15题每小题12分,共54分)得分11. 设平面:通过曲面Π0x ay z b +−+=2z x y 2=+在点处的法线(1,1,2)L ,求的值. ,a b12. 计算第二类曲线积分22d d Ly x x yx y −+∫v ,其中L 为正方形边界||,取顺时针方向.||1x y +=院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13.计算第一类曲面积分222d z S x y z Σ++∫∫,其中Σ为圆柱面222x y R +=)(0R >介于平面与0z =z h =()之间的部分. 0h >.14.将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数,并求级数0(1)21nn n ∞=−+∑的和.15.设函数()f u 具有二阶连续导数,且.(sin )x z f e y =(1) 求2222,.z z x y∂∂∂∂(2)若函数满足方程(sin )xz f e y =22222x z ze z x y∂∂+=∂∂,求函数().f u四、应用题(本大题共两小题,其中第16题10分,第17题6分,共16分)得分------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段,一段围成一个圆,另一段围成一个长方形.求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法.17. 已知一条非均匀金属线L 放置于平面上,刚好为抛物线Oxy 2y x =对应于01x ≤≤的那一段,且它在点(,)x y 处的线密度为(,)x y x ρ=,求该金属丝的质量.院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线得分 五、证明题(本大题共两小题,其中第18题6分,第19题4分,共10分)18.证明级数11(1)ln n n n n ∞=+−∑条件收敛.19.设空间闭区域可表示为{(Ω,,)|01,1,}x y z x x y x z y ≤≤≤≤≤≤.若()f t 在[0上连续,且.试证明:,1](,,)()()()F x y z f x f y f z =1301(,,)d d d [()d ]6F x y z x y z f t t Ω=∫∫∫∫.。
2009-2010-1线性代数A卷参考答案
当 a -2, b -1 时, r(A) r(A) =2 < 3,方程组有无穷多组解, 其通解为 (3,1,0)T k(2,1,1)T , k 为任意常数。…………………10 分
广东工业大学试卷参考答案及评分标准,共 3 页,第 1 页
六、解:设有 x0 , x1, x2 ,, xk 使得
x0 x1( 1) x2 ( 2 ) xk ( k ) 0 ,
(1)
(x0 x1 x2 xk ) x11 x22 xkk 0 ,
若 x0 x1 x2 xk 0 ,则 可由1, 2 ,, k 线性表示,
x1 x2 xk 0 , x0 (x1 x2 xk ) 0 ,
因此向量组 , 1, 2 ,, k 线性无关.…………………………………10 分
4 6 0
七、解:由 A E 3 5 0 12 2,
011
2 0 1
1 0 0
令
P
1,2 ,3
1
0
1
,则有:
P1 AP
0
1
0
……2
广东工业大学试卷参考答案及评分标准,共 3 页,第 2 页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准,共 3 页,第 3 页
(2)………4 分
是 Ax 0 的解,与已知矛盾.故必有 x0 x1 x2 xk 0 ,
从而 x11 x22 xkk 0 ,………………………………………………………7 分
由1, 2 ,, k 是 Ax 0 的一个基础解系知1, 2 ,, k 线性无关,
2009-2010-2线代试卷(A)参考答案与评分标准
若进一步把Q化为正交矩阵也对,酌情给分.
(2)因为 ,所以
, 均为非齐次方程组 的解,(7分)
下面证明它们是线性无关的.
初等列变换不会改变矩阵的秩,所以 = =n-r+1,
得出 , 是非齐次方程组 的(n-r+1)个线性无关的解.(10分)
六、(10分)对方程组 , ,
(1)当 时,由克拉默法则,方程组有唯一解;(3分)
(2)当 时, ,方程组有基,(6分)
为求 用这组基表示,继续化为行最简型.
, (8分)
(10分)
五、(10分)
证明:(1)因为 是对应齐次方程组的一个基础解系,所以 线性无关;(2分)
假设 , 线性相关,则 一定可以用 线性表示,从这与 是非齐次线性方程组 的一个解矛盾,矛盾说明 , 线性无关.(5分)
,(c为常数) (7分)
(3)当 时, , ,出现矛盾方程,无解. (10分)
七、(14分)
(1)增广矩阵
因为线性方程组 有解但不唯一,所以 ,从而
4+2a=0,-2-a=0,推出a=-2. (4分)
(2) ,
推出 . (9分)
.其对应的特征向量
其对应的特征向量
其对应的特征向量 (12分)
线性无关,它们组成的矩阵Q可逆,且 为对角阵
东北大学线代习题
东 北 大 学 考 试 试 卷(A 卷)2009 — 2010学年 第二学期 课程名称:线性代数 (共2页)一、(15分) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3142240122221043A ,求矩阵A 第四行元素余子式之和。
解44434241MMMM+++=44434241A A A A +-+-3分1111240122221043----=10分=0 15分二、 (20分)已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 122α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=023b α与向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211β,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3122β,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6713β有相同的秩,且向量3α可由向量组321,,βββ线性表示,求参数b a ,的值。
解 由于3α可由向量组321,,βββ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=06337122121),,,(3321b αβββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----633045502121~b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-60021102121~b 5分所以,6-=b。
且321,,βββ的秩为2。
10分所以,向量组321,,ααα的秩为2,于是028402611221|,,,|321=-=--=a aααα 15分所以,6,7-==b a。
20分三、(15分) 设n 阶方阵A 的各行元素之和为零,A 的伴随矩阵0*≠A ,求齐次线性方程组0=Ax 的通解。
解 由于0*≠A ,所以,存在代数余子式0≠ij A ,于是1)(-≥n A R , 5分又由于A 的各行元素之和为零,所以0||=A ,因此,1)(-=n A R 。
8分 所以,0=Ax的解空间是一维的。
10分又由于A 的各行元素之和为零,则0)1,...,1,1(=TA .因此,向量T)1,...,1,1(=α是0=Ax的基础解系, 12分方程组的通解为:Rk k x∈=,α。
15分四、(20分) 已知二次型2123222132122),,(x x x ax x x x x f -++=可以经过正交变换Qyx =化成标准形232232122),,(y y x x x f +=,求数a 和正交矩阵Q 。
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姓名:
学号:
我
密封线内不要答题
9.下述说法正确的是_____.
┃
(A) A 与 AT 有相同的特征值和相同的特征向量;
┃ ┃
(B) A 与 AT 有相同的特征多项式;
┃
(C)设 q1, q2 为 A 的两个特征向量,则 k1q1 + k2q2 ( k1 , k2 不全为零)也是 A
┃ ┃
的特征向量;
┃
(D)齐次线性方程 ( A − λ E) x = 0 的每一个解向量都是对应于特征值 λ 的特征向量.
┃ ┃
10.下述说法正确的是_____.
┃
(A) n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值;
┃ ┃
(B) n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量;
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(A) ⎜ 0 0 1⎟ ;(B) ⎜ 0 1 0⎟ ;(C) ⎜ 0 1 0⎟ ;(D) ⎜ 0 1 0⎟ .
⎜ ⎝
1
0
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
2
0
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
0
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
0
2 ⎟⎠
4.已知向量组 α1 , α2 , α3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是
.
(A) α1 , α1 − 2α2 ,3α3 ;
1.排列 217986534 的逆序数为
.
┃
2x 3 1 2
┃ ┃ ┃
x 2.设 f (x) =
x0
1 ,则 x4 的系数为
2 1x 4
.
┃
┃
x 2 1 4x
┃
3.若 4 阶行列式 D 的第一行元素分别为1 , 2 , 3 , 4 ,而它们的余子式依次为 −1 , 2 , − 2 , 1,则
封
D=
.
2.设 A,B 为 n 阶方阵,则必有
.
(A) | A + B |=| A | + | B | ; (C) ( A + B)−1 = A−1 + B −1 ;
(B) AB = BA ; (D) | AB |= | BA |.
3.下列矩阵中,
是初等矩阵.
⎛0 1 0⎞
⎛0 0 1⎞
⎛1 0 2⎞
⎛0 0 1⎞
┃
(C) n 阶非负方阵 A 的特征值非负;(D) n 阶负方阵 A 的特征值负.
┃ ┃
得分 评卷人
密
(本题 45 分)三、计算题
┃
┃
3 −5 2 1
┃
┃ ┃ ┃
1000
1.(5 分)设 D = −1 3
1
3 , D 中元素 aij 的余子式和代数余子式依
┃
2 − 4 −1 −3
┃
┃
次记作 Mij 和 Aij ,求 A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M21 + M31 + M 41 .
┃ ┃
积[q1 , q2 ] = _______.
┃ ┃
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎟
┃
10.若矩阵 A = ⎜ 0 0 1⎟ 与 B = ⎜ 0 x 0 ⎟ 相似,则 x = ______.
┃ ┃
⎜ ⎝
0
1
0
⎟ ⎠
⎜⎝0 0 −1⎟⎠
┃
┃
┃
《线性代数》试卷 第 1 页 ( 共 6 页 )
得分 评卷人
⎪⎩7x1 − 7x2 + 3x3 + x4 = 0
并写出通解.
《线性代数》试卷 第 4 页 ( 共 6 页 )
学院名称
专业班级:
姓名:
学号:
我
密封线内不要答题
┃
┃
┃ ┃ ┃
5.(10
分)设
A
=
⎛ ⎜⎜ ⎝
1 2
− 1⎞
4
⎟⎟ ⎠
,问
┃ ┃
(1)是否存在可逆矩阵,使 A 对角化?(2)是否存在正交矩阵,使 A 对角化?
(B) α1 + α2 , α2 − α3 , − α1 − 2α2 + α3 ;
(C) α1 , α1 + α3 ,−α1 + α3 ; (D)α 2 ,α 2 − α 3 ,α 2 + α 3 .
5.若向量组α1,α 2 ,α 3 线性无关,向量组α1 ,α 2 ,α 4 线性相关,则
.
(A)α1 一定可由α ,α 3 ,α 4 线性表示;
(本题 20 分)二、单项选择题
a11 a12 a13 1.若 D = a21 a22 a23 = a ≠ 0 ,则
a31 a32 a33
4a11 5a11 − 2a12 a13
D1 = 4a21 5a21 − 2a22 a23 =
.
4a31 5a31 − 2a32 a33
(A) − 40a ; (B) 40a ; (C) − 8a ; (D) 20a .
学院名称
专业班级:
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我
密封线内不要答题
南阳理工学院 2009- 2010 学年第 二 学期
┃
线性代数 试卷 A 卷
┃
┃
┃
适用对象:计算机科学系 096411、096412
考试方式:闭卷
┃
┃
┃
复核人
┃
┃ ┃
题号
一
二
三
四
总分
┃
┃
得分
┃
┃
┃
密 得分 评卷人 (本题 20 分)一、填空题
┃
┃
┃ ┃
.
┃
7.设 A 是 n 阶方阵,且 R( A) = r < n ,则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中含有 个解向量.
┃
8.若非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解,则其导出组 Ax = 0 的解的情况为
┃ ┃
.
┃
9.设 λ 1, λ 2 分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值, q1, q2 为所对应的特征向量,则 q1与 q2 的内
(C) Ax = 0 仅有零解;
(D) Ax = 0 一定无解.
7.设非齐次线性方程组 Ax = b 中,系数矩阵 A 为 m × n 矩阵,且矩阵 A 的秩
为 R( A) = r ,则
.
(A) r = m 时,方程组 Ax = b 有解;(B) r = n 时,方程组 Ax = b 有唯一解;
(C) m = n 时,方程组 Ax = b 有唯一解;
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
密
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃
封
┃
┃
┃
┃ ┃
得分 评卷人
┃
(本题 15 分)四、证明题
┃
┃
┃ ┃
1.设列矩阵 X = (x1, x2 ,⋯, xn )T 满足 X T X = 1, E 为 n 阶单位矩阵,
┃
线 H = E − 2XX T ,证明 H 是对称矩阵,且 HH T = E .
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃
《线性代数》试卷 第 5 页 ( 共 6 页 )
2.设向量组α , β ,γ 线性无关,试证明向量组α + β , β + γ ,α + γ 线性无关. 3.设矩阵 A 与 B 相似,试证明存在可逆矩阵 C ,使 AC 与 BC 相似.
《线性代数》试卷 第 6 页 ( 共 6 页 )
┃
┃
封
┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃
线
┃
┃
┃
┃
┃
⎛ 2 0 1⎞
┃ ┃
⎜
⎟
2.(10 分)若 f (x) = x 2 − 2x + 2 , A = ⎜ − 3 1 2⎟ ,求 f ( A) .
┃ ┃
⎜⎝ 1 −1 0⎟⎠
┃
┃
┃
┃
┃
┃
《线性代数》试卷 第 3 页 ( 共 6 页 )
3.(10 分)求下列向量组的秩和一个极大线性无关组:
(B)α 2 一定不能由α1 ,α 3 ,α 4 线性表示;
(C)α4 一定可由α1 ,α 2 ,α 3 线性表示;
(D)α 4 一定不能由α1 ,α 2 ,α 3 线性表示.
6.若非齐次线性方程组 Ax = b 中方程个数小于未知量个数, Ax = 0 是它的导
出组,那么
.
(A) Ax = b 必有无穷多解; (B) Ax = 0 必有非零解;
α1 = (1, 2, 1, 2), α2 = (2, 1, −1, 4), α3 = (0, 4, 4, 0), α4 = (−3, 0, − 4, 1), α5 = (5, 1, 1, 5) .
⎧ x1 + x2 − x3 − x4 = 0 4.(10 分)求齐次线性方程组 ⎪⎨2x1 − 5x2 + 3x3 + 2x4 = 0 的一个基础解系,
(D) r < n 时,方程组 Ax = b 有无穷解.
8.设 n 阶方阵 A ,满足 A2 = E ,则_____.
(A)方阵 A 的特征值是1;
(B)方阵 A 的秩是 n ;
(C) | A |= 1;
(D)方阵 A 一定是对称矩阵.
《线性代数》试卷 第 2 页 ( 共 6 页 )