专题11直线与圆的位置关系(6个知识点7种题型3种中考考法)(原卷版)

专题11直线与圆的位置关系（6个知识点7种题
型3种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】脉络梳理法
知识点1：直线和圆的位置关系
知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点）
知识点3：切线的判定（难点）
知识点4：切线的性质（重点）
知识点5：三角形的内切圆
知识点6：切线长定理（难点）
【方法二】实例探索法
题型1：直线与圆的位置关系的应用
题型2：利用切线的性质和勾股定理解决问题
题型3：切线的判定和性质的综合应用
题型4：三角形的内切圆的应用
题型5：切线长定理的应用
题型6：与切线性质有关的动态问题
题型7：圆的切线与一次函数综合应用
【方法三】仿真实战法
考法1：直线与圆的位置关系
考法2：切线的判定
考法3：切线的性质
【方法四】成果评定法
【学习目标】
1.了解直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系。

2.掌握切线的概念，会描述切线与过切点的半径之间的关系，能判断一条直线是否为圆的切线，会用三角尺画过圆上一点的切线。

3.知道三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念，会作知识三角形的内切圆。

4.知道切线长的概念，会证明并掌握切线长定理，并运用切线长定理解决相关问题。

【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：直线和圆的位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点）
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
要点诠释：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【例1】（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
知识点3：切线的判定（难点）
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
要点诠释：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.【例2】．（2023•沛县模拟）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【变式】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC 上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
知识点4：切线的性质（重点）
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
【例3】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）
A．25°B．40°C．50°D．65°
知识点5：三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
【例4】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）
A．3步B．5步C．6步D．8步
知识点6：切线长定理（难点）
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两
个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
【例5】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．
【方法二】实例探索法
题型1：直线与圆的位置关系的应用
1．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm．
（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？
（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移xcm，求x的取值范围
2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且直线l与O相切，若d，r分别是方程240
-+=的两个根，求c的值．
x x c
题型2：利用切线的性质和勾股定理解决问题
3．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此
时点A的坐标是（）
A．（7+2π，9）B．（7+2.5π，9）C．（7+2π，8）D．（7+2.5π，8）
4．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．
5．（2023•崇川区校级三模）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．
题型3：切线的判定和性质的综合应用
6．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P．
（1）证明：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．
7．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）如图①，△OPC的最大面积是；
（2）如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
题型4：三角形的内切圆的应用
8．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为．9．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为．
10．（2022秋•江阴市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是°．
11．（2023•沭阳县一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于．
12．（2022春•定远县校级月考）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．
题型5：切线长定理的应用
13．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
14．（2021秋•泰州月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC ＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
题型6：与切线性质有关的动态问题
15．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O 的半径为1，则AE 的长为 ．
16．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，8cm AB =，24cm AD =，26cm BC =，AB 为O 的直径，动点P 从点A 开始，沿边AD 向点D 以1cm/s 的速度运动，点Q 从点C 开始，沿边CB 向点B 以3cm /s 的速度运动，点P 、Q 分别从点A 、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形?
（2）当t 为何值时，直线PQ 与O 相切?
题型7：圆的切线与一次函数综合应用
（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结P A 、PB ．
（1）求圆心C 到直线AB 的距离；
（2）求⊙P AB 面积的最大值．
【方法三】仿真实战法
考法1：直线与圆的位置关系
21．（2023•宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）
A．2B．5C．6D．8
考法2：切线的判定
22．（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
考法3：切线的性质
23．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD 的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝°．
24．（2022•连云港）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝°．
25．（2022•泰州）如图，P A与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．
【方法四】成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•惠山区校级月考）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B 与AC边的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
2．（2021•永定区模拟）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交P A于F，交PB于点G，若P A＝8cm，则△PFG的周长是（）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
3．（2022秋•亭湖区校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．平行
4．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，P A．若∠P＝36°，且P A与⊙O相切，则此时∠B等于（）
A．27°B．32°C．36°D．54°
5．（2018秋•亭湖区校级月考）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB的度数为（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
6．（2022•宿豫区校级开学）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC 等于（）
A．125°B．120°C．115°D．110°
7．（2022秋•浦口区校级月考）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）
A．点B在⊙A内B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切D．直线BC与⊙A相离
8．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切
9．（2022秋•盐都区月考）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）
A．100°B．160°C．80°D．130°
10．（2022秋•宝应县月考）如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在BC边的点F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O 与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）
A．∠BAE＝2∠DAE B．四边形EFGH是菱形
C．AD＝3CE D．GH⊥AO
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝30°，点P在正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是．
12．（2022秋•宿豫区校级月考）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD ＝2，则AC的长是．
13．（2017秋•射阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．
14．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC ＝14，则BD长为．
15．（2022•宿豫区校级开学）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是．
16．（2022秋•玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是．
17．（2022秋•淮阴区月考）如图，P A切⊙O于点A，PC过点O且交⊙O于点B、C，若P A＝6，PB＝4，则⊙O的半径为．
18．（2022秋•江阴市校级月考）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是．
三．解答题（共8小题）
19．（2021秋•泰州月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
20．（2022•宿豫区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，直线BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线．（1）若BD＝2，则CD＝；
（2）若∠BDC＝130°，求∠A．
21．（2022秋•灌南县校级月考）如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD．（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）直线AB与CD交于点F，且DF＝4，AF＝2，求⊙O的半径．
22．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
23．（2022秋•姑苏区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC到D，连接AD，使AD∥OC．AB交OC于E．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径．
24．（2022•宿豫区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．
25．（2021秋•梁溪区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
26．（2022秋•江都区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D 作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．。