半导体物理-2
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k
三种近似求解方法
z Kroning-Penney方势阱近似
V
V (x)=V 0, -c < x < 0
V (x)=0, 0 < x < b
a
cba
z 紧束缚近似
V0 x
⎡ ⎢− ⎣
h2 2me
d2 dx2
⎤ +V (x)⎥Φ(x)
⎦
=
EΦ(x)
∑ V (x) =
U0 (x − sa),
s = 0,±1,±2,L
2a
2a
布里渊区 布里渊区边界：能量不连续
许可带
禁带
布里渊区 面积相同
K的可能值 0 a 2a 3a 4a
Na 晶体长度L=Na
根据周期性边界条件: Φ(x) = Φ(x + Na)
Φ ( x) = exp( i2πkx)u( x) u(x) = u(x + Na)
Φ(
x
+
Na)
=
exp[i2π
r k(x
W ( x − sa ) = ∑ U 0 ( x − ta ) t≠s
V(x) =U0(x − sa) +W(x − sa) W ( x − sa ) << U 0 ( x − sa )
∑ z 自由电子近似 V (x) =V (x + sa) = V0 + Vn exp(i2πnx/ a) n≠0
V(x) =V0 +V'(x) V0 >> V ' ( x)
rj
+
r k)
r b3
=
1 Ω
( ar 1 × ar 2 ) =
1 a
r (i
+
r j
−
r k)
体 心
r b1
=
b 2
(
−
r i
+
r j
+
r k)
立 方
r b2
=
b
r (i
−
2
r j
+
r k)
r b3
=
b ( ir + 2
rj
−
r k)
b
b= 2
a
Γ: (0,0,0)布里渊区中心 L: (1/2,1/2,1/2)布里渊区边与<111>轴的交点 X: (1,0,0)布里渊区边与<100>轴的交点 K: (3/4,3/4,0)布里渊区边与<110>轴的交点
,1
金刚石结构是两个面心立方沿对角线位移1/4套构而成
布拉伐格子
晶体结构
晶胞：能反映晶格对称性的基本单元
基矢用 a，b，c 表示
原胞：晶格的最小重复单元
基矢用a1，a2，a3表示
以格点为顶点，以三个独立方向上的周 期为边长构成的平行六面体。
面心立方体晶胞
晶胞基矢量 原胞基矢量
k
j i
ar
=
r ai
r b
z 倒格子与正格子之间的关系
倒格矢
Kv h a=3 a1
r h1b1
+h
a2
2
v b2
+
r h3b3
ar i
r ⋅bj
=
δ ij
rr Rn ⋅ K h = m
Ω⋅Ω* =1
Ω*
=
r b1
r ⋅ (b2
r × b3 )
r Rn
r ⋅ Kh
=
(n1ar1
+ n2ar2
+
n3ar3
)
⋅
r (h1b1
r + h2b2
Hˆ = Tˆe + TˆA + Vˆee + VˆeA + VˆAA
Ψ
=
Ψ
(
rr1
,
rr2
,
L
,
r R1
,
r R
2
,
L
)
系统的简化： •价电子近似 •绝热近似
•单电子近似
Hˆ Ψ
= =
Tˆe Ψ
+ ( rr1
V, ˆrree2
+ VˆeA ,L )
Hˆ =Tˆe +Vˆ(rr) Ψ = Ψ(rr)
形成能带
bc
能量在Ｋ空间呈周期性 自由电子
ϕ(x) = Aei2πkx, E = h2k2 2me
V0
许可带
E
E (k ) = E (−k )
E(k) = E(k + m ) a
-3 -2 -1 0 1 2 3
m = 0,±1,±2,L
k (1/2a )
基本单元 第一布里渊区 − 1 < k < 1
* 晶面指数(hkl)： h、k、l是晶面与三晶轴的截距r、s、t的倒
数的互质整数，也称为密勒指数。
z
1:1 : 1 = 6:2:3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
13 2
（623）面
y x
相同指数的晶向与与晶面互相垂直.如[1,0,0] ⊥(1,0,0); [1,1,0]⊥(1,0,0)
习题 一、已知硅的晶格常数为0.543nm，计算：
+
r h3b3 )
=
n1h1
+
n2h2
+ n3h3
=
m
z 能量在倒格子空间中的周期性
一维： E (k )
=
E (k
+
n )
a
三维：
r E(k )
=
r E(k
+
v Kh
)
第一布里渊区 第一布里渊区
− 1 ≤k≤ 1
2a
2a
?
z 布里渊区的构成
r k
布里渊区边界方程
一维 : 三维:
k 2 = (k − n )2
a
k
2
=
r (k
−
r Kh
)2
k= n 2a
r K
h
⋅
r (k
−
1 2
r K
h
)
=
0
1
r Kh
2
r k
−
1 2
r Kh
r Kh
一维
二维
三维
-2/a -1/a 0 1/a 2/a
z 布里渊区的特点 * 每个布里渊区只包含一个倒格点 * 每个布里渊区都具有相同的体积 * 布里渊区的体积应等于倒格子原胞的体积
1 .晶体硅的原子密度 2. (100)面的原子面密度 3. (110)面的面间距 4. 两个最近邻硅原子的距离
二、已知面心立方晶胞的边长为a，计算: 1. 晶胞中所含格点数 2. 原胞的体积 3. (111)面和（100）面之间的夹角 4. (111)面上的原子面密度
晶体中的电子能量状态
Hˆ Ψ = E Ψ
l1 :l2 :l3 = m: n: p
* 晶列指数[mnp]:晶向矢量在三晶轴上投影的互质整数
<100>代同表类了晶[10向0]、记[为Ī00<]、mn[0p1>0]、[0Ī0]、[001]、[00Ī]
<111>对角线的8个晶向；
<110>代表12个面对角线的晶向
* 晶面：晶格中的所有格点全部位于一系列相互平行 等距的平面上，这样的平面系称为晶面。
振幅被调制的平面波
一维方程求解
⎢⎡− ⎣
h2 2me
d2 dx 2
+
V
(
⎤ x)⎥
Φ(
x)
⎦
=
EΦ(x)
V (x) = 0 自由电子
−
h2 2me
d2 dx 2
Φ(x) =
EΦ(x)
Φ ( x) = A exp( i2πkx )
E
E = h2k 2 2me
k
=
1 λ
-3 -2 -1 0 1 2 3
+
Na
)]u
(
x
+
Na)
=
exp(i
2π
r kx)
exp(i2π
kNa)u(
x)
= Φ(x) exp(i2π kNa)
kNa = n ⇒ k = n = n Na L
n为正整数
每个k的可能值在所占的线度为 1/L 在一个布里渊区中的不同k的状态数= 1 / a = 1 / a = N
1/ L 1/ Na
⎢⎡− ⎣
h2 2me
∂2 ∂r 2
+
V
(rr
⎤ )⎥
Ψ
(rr
)
⎦
=
EΨ (rr)
一维方程求解
⎢⎡− ⎣
h2 2me
d2 dx 2
+
V
(
⎤ x)⎥
Φ(
x)
⎦
=
EΦ(x)
a
周期性势场 V ( x ) = V ( x + na )
Block波 Φ ( x) = exp( i2πkx )u ( x) u(x) = u(x + na)
a2
av1 Rn
=
3 ar1
+
2 ar2
+
0 ar3
则这两点上晶体的微观物理性质完全一样。
z 晶列、晶向、晶面 * 晶列：晶格中的所有格点全部位于一系列相互平行的 直线上，这些直线系称为晶列。
* 晶向：表示晶列的方向
从一个格点O沿某个晶列到另一格点P作位移矢量
r R
=
l1ar
+
r l2b
+
l3cr
rr r b1 , b2 , b3
Ω = av1 ⋅(ar2 ×ar3)
|
r b1
|=
|
ar 2 × Ω
ar 3
|
=
|
av1
|
⋅
| |
aarr22
× ×
aarr33
| | cos
θ
=
1 d1
|
r b2
|=
1 d2
r | b3
|=
1 d3
正格矢
v Rn
=
n 1 ar1
+
n 2 ar 2
+
n 3 av 3
z三维Bloch波
一维：Φ(x) = exp(i2πkx)u(x), u(x) = u(x + na)
0 a 2a 3a 4a x 正格点的矢量: Rn=na
0
三维： Φ
rr
(
rr
1/a
)=
2/a
exp( i
2πk3r/⋅arr
)u
:实空间的矢量
4(r/ra),
k u
(倒rr)格= u点(rr的+矢Rrn量) :
z 金刚石结构的第一布里渊区
面 心 立 方
a
ar1
=
a 2
( rj
+
r k)
ar 2
=
a 2
r (i
+
r k)
ar 3
=
a 2
r (i
+
r j)
r b1
=
1 Ω
( ar 2 × ar 3 ) =
1 a
( − ir +
rj
+
r k)
r b2
=
1 Ω
( ar 3 × ar 1 ) =
1 a
( ir −
半导体的晶体结构
z 晶体的基本特点 * 组成晶体的原子按一定的方式有规则的排列而成
非晶
* 固定的熔点
温
度
硅的溶点:1420℃
锗的熔点: 941℃
* 单晶具有方向性
各向异性
A
多晶
单晶
D
B C
时间
晶体中的能带
＋4
＋4
＋4
价
电 子
＋4
＋4
共
＋4
价 键
＋4
＋4
＋4
SP3轨道杂化
,1
,1
,1
金刚石结构
,1
=
arj
cr
=
r ak
ar1
=
a 2
( rj +
r k)
ar 2
=
a 2
( ir +
r k)
ar 3
=
a 2
( ir +
rj )
* 格矢：晶格中所有格点的径向矢量
r Rn
=
n1ar1
+
n2 ar2
+
n3 ar3
Rn
晶体中任意一点r和另一点r1若满足：
rr1 = rr + ( n1ar1 + n 2 ar2 + n3 ar3 )
三维周期性势场中运动的电子能量状态
z 三维周期性势场
x
0 a 2a 3a 4a
一维: V (x) = V (x + na)
Rn
三维：V
( rr )
=
V
(rr
+
r Rn
)
v Rn
=
n1ar1
+
n2 ar2
+
n3 av3
ar1 , ar2 , av3 晶体原胞基矢
a2
av1 Rn
=
3 ar1
+
2 ar2
实空间的基量 ar1 , ar 2 ,
Kh=h/a=hb
av 3
r k
:倒空间的矢量
倒空间的基量
rr r b1 , b 2 , b3
?
z 倒格子空间
正格子基矢
r b1
=
ar 2 × ar3 Ω
,
ar1 , ar 2 , av3
r b2
=
ar3 × ar1 Ω
,
倒格子基矢
r b3
=
ar1 × ar 2 Ω
三种近似求解方法
z Kroning-Penney方势阱近似
V
V (x)=V 0, -c < x < 0
V (x)=0, 0 < x < b
a
cba
z 紧束缚近似
V0 x
⎡ ⎢− ⎣
h2 2me
d2 dx2
⎤ +V (x)⎥Φ(x)
⎦
=
EΦ(x)
∑ V (x) =
U0 (x − sa),
s = 0,±1,±2,L
2a
2a
布里渊区 布里渊区边界：能量不连续
许可带
禁带
布里渊区 面积相同
K的可能值 0 a 2a 3a 4a
Na 晶体长度L=Na
根据周期性边界条件: Φ(x) = Φ(x + Na)
Φ ( x) = exp( i2πkx)u( x) u(x) = u(x + Na)
Φ(
x
+
Na)
=
exp[i2π
r k(x
W ( x − sa ) = ∑ U 0 ( x − ta ) t≠s
V(x) =U0(x − sa) +W(x − sa) W ( x − sa ) << U 0 ( x − sa )
∑ z 自由电子近似 V (x) =V (x + sa) = V0 + Vn exp(i2πnx/ a) n≠0
V(x) =V0 +V'(x) V0 >> V ' ( x)
rj
+
r k)
r b3
=
1 Ω
( ar 1 × ar 2 ) =
1 a
r (i
+
r j
−
r k)
体 心
r b1
=
b 2
(
−
r i
+
r j
+
r k)
立 方
r b2
=
b
r (i
−
2
r j
+
r k)
r b3
=
b ( ir + 2
rj
−
r k)
b
b= 2
a
Γ: (0,0,0)布里渊区中心 L: (1/2,1/2,1/2)布里渊区边与<111>轴的交点 X: (1,0,0)布里渊区边与<100>轴的交点 K: (3/4,3/4,0)布里渊区边与<110>轴的交点
,1
金刚石结构是两个面心立方沿对角线位移1/4套构而成
布拉伐格子
晶体结构
晶胞：能反映晶格对称性的基本单元
基矢用 a，b，c 表示
原胞：晶格的最小重复单元
基矢用a1，a2，a3表示
以格点为顶点，以三个独立方向上的周 期为边长构成的平行六面体。
面心立方体晶胞
晶胞基矢量 原胞基矢量
k
j i
ar
=
r ai
r b
z 倒格子与正格子之间的关系
倒格矢
Kv h a=3 a1
r h1b1
+h
a2
2
v b2
+
r h3b3
ar i
r ⋅bj
=
δ ij
rr Rn ⋅ K h = m
Ω⋅Ω* =1
Ω*
=
r b1
r ⋅ (b2
r × b3 )
r Rn
r ⋅ Kh
=
(n1ar1
+ n2ar2
+
n3ar3
)
⋅
r (h1b1
r + h2b2
Hˆ = Tˆe + TˆA + Vˆee + VˆeA + VˆAA
Ψ
=
Ψ
(
rr1
,
rr2
,
L
,
r R1
,
r R
2
,
L
)
系统的简化： •价电子近似 •绝热近似
•单电子近似
Hˆ Ψ
= =
Tˆe Ψ
+ ( rr1
V, ˆrree2
+ VˆeA ,L )
Hˆ =Tˆe +Vˆ(rr) Ψ = Ψ(rr)
形成能带
bc
能量在Ｋ空间呈周期性 自由电子
ϕ(x) = Aei2πkx, E = h2k2 2me
V0
许可带
E
E (k ) = E (−k )
E(k) = E(k + m ) a
-3 -2 -1 0 1 2 3
m = 0,±1,±2,L
k (1/2a )
基本单元 第一布里渊区 − 1 < k < 1
* 晶面指数(hkl)： h、k、l是晶面与三晶轴的截距r、s、t的倒
数的互质整数，也称为密勒指数。
z
1:1 : 1 = 6:2:3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
13 2
（623）面
y x
相同指数的晶向与与晶面互相垂直.如[1,0,0] ⊥(1,0,0); [1,1,0]⊥(1,0,0)
习题 一、已知硅的晶格常数为0.543nm，计算：
+
r h3b3 )
=
n1h1
+
n2h2
+ n3h3
=
m
z 能量在倒格子空间中的周期性
一维： E (k )
=
E (k
+
n )
a
三维：
r E(k )
=
r E(k
+
v Kh
)
第一布里渊区 第一布里渊区
− 1 ≤k≤ 1
2a
2a
?
z 布里渊区的构成
r k
布里渊区边界方程
一维 : 三维:
k 2 = (k − n )2
a
k
2
=
r (k
−
r Kh
)2
k= n 2a
r K
h
⋅
r (k
−
1 2
r K
h
)
=
0
1
r Kh
2
r k
−
1 2
r Kh
r Kh
一维
二维
三维
-2/a -1/a 0 1/a 2/a
z 布里渊区的特点 * 每个布里渊区只包含一个倒格点 * 每个布里渊区都具有相同的体积 * 布里渊区的体积应等于倒格子原胞的体积
1 .晶体硅的原子密度 2. (100)面的原子面密度 3. (110)面的面间距 4. 两个最近邻硅原子的距离
二、已知面心立方晶胞的边长为a，计算: 1. 晶胞中所含格点数 2. 原胞的体积 3. (111)面和（100）面之间的夹角 4. (111)面上的原子面密度
晶体中的电子能量状态
Hˆ Ψ = E Ψ
l1 :l2 :l3 = m: n: p
* 晶列指数[mnp]:晶向矢量在三晶轴上投影的互质整数
<100>代同表类了晶[10向0]、记[为Ī00<]、mn[0p1>0]、[0Ī0]、[001]、[00Ī]
<111>对角线的8个晶向；
<110>代表12个面对角线的晶向
* 晶面：晶格中的所有格点全部位于一系列相互平行 等距的平面上，这样的平面系称为晶面。
振幅被调制的平面波
一维方程求解
⎢⎡− ⎣
h2 2me
d2 dx 2
+
V
(
⎤ x)⎥
Φ(
x)
⎦
=
EΦ(x)
V (x) = 0 自由电子
−
h2 2me
d2 dx 2
Φ(x) =
EΦ(x)
Φ ( x) = A exp( i2πkx )
E
E = h2k 2 2me
k
=
1 λ
-3 -2 -1 0 1 2 3
+
Na
)]u
(
x
+
Na)
=
exp(i
2π
r kx)
exp(i2π
kNa)u(
x)
= Φ(x) exp(i2π kNa)
kNa = n ⇒ k = n = n Na L
n为正整数
每个k的可能值在所占的线度为 1/L 在一个布里渊区中的不同k的状态数= 1 / a = 1 / a = N
1/ L 1/ Na
⎢⎡− ⎣
h2 2me
∂2 ∂r 2
+
V
(rr
⎤ )⎥
Ψ
(rr
)
⎦
=
EΨ (rr)
一维方程求解
⎢⎡− ⎣
h2 2me
d2 dx 2
+
V
(
⎤ x)⎥
Φ(
x)
⎦
=
EΦ(x)
a
周期性势场 V ( x ) = V ( x + na )
Block波 Φ ( x) = exp( i2πkx )u ( x) u(x) = u(x + na)
a2
av1 Rn
=
3 ar1
+
2 ar2
+
0 ar3
则这两点上晶体的微观物理性质完全一样。
z 晶列、晶向、晶面 * 晶列：晶格中的所有格点全部位于一系列相互平行的 直线上，这些直线系称为晶列。
* 晶向：表示晶列的方向
从一个格点O沿某个晶列到另一格点P作位移矢量
r R
=
l1ar
+
r l2b
+
l3cr
rr r b1 , b2 , b3
Ω = av1 ⋅(ar2 ×ar3)
|
r b1
|=
|
ar 2 × Ω
ar 3
|
=
|
av1
|
⋅
| |
aarr22
× ×
aarr33
| | cos
θ
=
1 d1
|
r b2
|=
1 d2
r | b3
|=
1 d3
正格矢
v Rn
=
n 1 ar1
+
n 2 ar 2
+
n 3 av 3
z三维Bloch波
一维：Φ(x) = exp(i2πkx)u(x), u(x) = u(x + na)
0 a 2a 3a 4a x 正格点的矢量: Rn=na
0
三维： Φ
rr
(
rr
1/a
)=
2/a
exp( i
2πk3r/⋅arr
)u
:实空间的矢量
4(r/ra),
k u
(倒rr)格= u点(rr的+矢Rrn量) :
z 金刚石结构的第一布里渊区
面 心 立 方
a
ar1
=
a 2
( rj
+
r k)
ar 2
=
a 2
r (i
+
r k)
ar 3
=
a 2
r (i
+
r j)
r b1
=
1 Ω
( ar 2 × ar 3 ) =
1 a
( − ir +
rj
+
r k)
r b2
=
1 Ω
( ar 3 × ar 1 ) =
1 a
( ir −
半导体的晶体结构
z 晶体的基本特点 * 组成晶体的原子按一定的方式有规则的排列而成
非晶
* 固定的熔点
温
度
硅的溶点:1420℃
锗的熔点: 941℃
* 单晶具有方向性
各向异性
A
多晶
单晶
D
B C
时间
晶体中的能带
＋4
＋4
＋4
价
电 子
＋4
＋4
共
＋4
价 键
＋4
＋4
＋4
SP3轨道杂化
,1
,1
,1
金刚石结构
,1
=
arj
cr
=
r ak
ar1
=
a 2
( rj +
r k)
ar 2
=
a 2
( ir +
r k)
ar 3
=
a 2
( ir +
rj )
* 格矢：晶格中所有格点的径向矢量
r Rn
=
n1ar1
+
n2 ar2
+
n3 ar3
Rn
晶体中任意一点r和另一点r1若满足：
rr1 = rr + ( n1ar1 + n 2 ar2 + n3 ar3 )
三维周期性势场中运动的电子能量状态
z 三维周期性势场
x
0 a 2a 3a 4a
一维: V (x) = V (x + na)
Rn
三维：V
( rr )
=
V
(rr
+
r Rn
)
v Rn
=
n1ar1
+
n2 ar2
+
n3 av3
ar1 , ar2 , av3 晶体原胞基矢
a2
av1 Rn
=
3 ar1
+
2 ar2
实空间的基量 ar1 , ar 2 ,
Kh=h/a=hb
av 3
r k
:倒空间的矢量
倒空间的基量
rr r b1 , b 2 , b3
?
z 倒格子空间
正格子基矢
r b1
=
ar 2 × ar3 Ω
,
ar1 , ar 2 , av3
r b2
=
ar3 × ar1 Ω
,
倒格子基矢
r b3
=
ar1 × ar 2 Ω