西安铁一中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》基础卷(培优练)

一、选择题
1．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18
B ．12
C ．9
D ．7D 解析：D
【分析】
将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．
【详解】
解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，
∴x 2﹣2x ＝1，
∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．
2．下列运算正确的是（ ）
A ．()23636a =
B ．()()2
2356a a a a --=-+ C ．842x x x ÷=
D ．326326x x x ⋅= B
解析：B
【分析】 分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘方法则，多项式乘以多项式法则以及单项式乘以单项式法则逐一判断即可．
【详解】
解：A. ()23633a a =，故本选项不符合题意；
B ．()()22356a a a a --=-+，正确，故本选项符合题意；
C ．844x x x ÷=，故本选项不合题意；
D ．325326x x x ⋅=，故本选项不合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘除运算，熟记相关的运算法则是解答本题的关键．
3．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（ ）
A ．()21a a b a ab a +-=+-
B ．()2
211a a a a --=-- C ．()()22492323a b a b a b -+=-++ D ．1212x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
C 解析：C
【分析】
将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断．
【详解】
A 、()2
1a a b a ab a +-=+-这是整式乘法计算，故该项不符合题意； B 、()2
211a a a a --=--，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意； C 、()()22
492323a b a b a b -+=-++，故该项符合题意； D 、1212x x x ⎛⎫+=+
⎪⎝⎭，等式右侧是乘积，但1x
不是整式，故该项不符合题意； 故选：C ．
【点睛】 此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键．
4．代数式2346x x -+的值为3，则2463x x -
+的值为（ ） A ．7
B ．18
C ．5
D ．9C 解析：C
【分析】
由代数式3x 2−4x ＋6的值为3，变形得出x 2−
43x ＝−1，再整体代入x 2−43x ＋6计算即可． 【详解】
∵代数式3x 2−4x ＋6的值为3，
∴3x 2−4x ＋6＝3，
∴3x 2−4x ＝−3，
∴x 2−
43x ＝−1， ∴x 2−43
x ＋6＝−1＋6＝5． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，熟练掌握相关运算法则并运用整体思想是解题的关键． 5．下列计算中能用平方差公式的是（ ）．
A ．()()a b a b -+-
B ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
2x x
D ．()()21x x -+ B 解析：B
【分析】
根据平方差公式()()22a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可． 【详解】
A 选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；
B 选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；
C 选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；
D 选项：有一项2-与1不同，故不能用平方差公式．
故选：B ．
【点睛】
此题考查平方差的基本特征：()()22
a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同，难度一般．
6．下列有四个结论，其中正确的是（ ）
①若1(1)1x x +-=，则x 只能是2；
②若()2(1)1x x ax -++的运算结果中不含2x 项，则1a =
③若10,16a b ab +==，则6a b -=
④若4,8x y a b ==，则232x y -可表示为
a b A ．①②③④
B ．②③④
C ．①③④
D ．②④D 解析：D
【分析】
根据零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式及同底数幂的除法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
解：①若（x-1）x+1=1，则x=-1或x=2，故本选项错误；
②（x-1）（x 2+ax+1）的运算结果中x 2项的系数为a-1，∵不含x 2项，则a=1，故本选项正确；
③∵（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=102-4×16=36，∴6a b -=±，故本选项错误；
④∵4x =a ，∴22x =a ，∵8y =b ，∴23y =b ，
∴22x-3y =22x ÷23y a b =
；故本选项正确； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．下列运算正确的是（ ）
A ．3515x x x ⋅=
B ．()3412x x -=
C ．()32
628y y = D ．623x x x ÷= C
解析：C
【分析】
根据整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则进行计算并判断．
A 、358⋅=x x x ，故该项错误；
B 、()
34
12x x -=-，故该项错误； C 、()32628y y =，故该项正确； D 、624x x x ÷=，故该项错误； 故选：C ．
【点睛】 本题考查了整式的计算，熟记整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则是解题的关键．
8．下列计算正确的是（ ）
A ．(ab 3)2＝a 2b 6
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－2b 2
D ．5a －2a ＝3A
解析：A
【分析】
根据整式的积的乘方计算法则，同底数幂相乘法则，平方差公式，合并同类项依次进行计算并判断．
【详解】
A 、(ab 3)2＝a 2b 6，故正确；
B 、a 2·a 3＝a 5，故错误；
C 、(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，故错误；
D 、5a －2a=3a ，故错误；
故选：A ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的积的乘方计算法则，同底数幂相乘法则，平方差公式，合并同类项是解题的关键．
9．若|a |=13，b|=7，且a +b>0，则a -b 的值是( )．
A ．6或20
B ．20 或-20
C ．6或-6
D ．-6或20A 解析：A
【分析】
先求出a b ，的值，根据条件+a b >0，确定=13a ，b=7±，分类代入-a b 求值即可．
【详解】
|a |=13，=13a ±，|b|=7，b=7±，
∵+a b >0，
∴=13a ，b=7±，
当=13a ，b=7时，=1376a b --=，
当=13a ，7b =-时，=13+720a b -=，
则6a b -=或20．
故选择：A ．
本题考查条件限定求值问题，会根据限定条件求出字母的值，掌握分类思想求代数式的值是解题关键．
10．a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示，则下列代数式中值为正的是（ ）
A ．()()1a c b --
B ．()11c a b c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
D ．()1ac bc - C 解析：C
【分析】
现根据各数在数轴上的位置确定其取值范围，然后可确定答案．
【详解】
解：由图知：0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴()100a a c b ⎛⎫+
>-> ⎪⎝⎭，， ()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭值为正，C 正确； 而()110c a b c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭
，()()10a c b --<，()10ac bc -<；A 、B 、D 错误. 故选：C.
【点睛】
此题主要考查由取值范围确定代数式正负问题，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断其正负．
二、填空题
11．如果210x x m -+是一个完全平方式，那么m 的值是__________．25【分析】利用完全平方公式的结构特征即可求出m 的值【详解】解：∵x2-10x+m 是一个完全平方式∴m==25故答案为：25【点睛】此题考查了完全平方式熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
解析：25
【分析】
利用完全平方公式的结构特征，即可求出m 的值．
【详解】
解：∵x 2-10x +m 是一个完全平方式，
∴m=210(
)2
-=25． 故答案为：25．
【点睛】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()3
5f x mx nx =++，当3x =时，多项
式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想
解析：4
【分析】
由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．
【详解】
解：∵()36f =，
∴27356m n ++=，即2731m n +=，
∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．
故答案是：4．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．
13．已知2m a =，5n a =，则2m n a -=___________．【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可【详解】∵（am ）2÷an ＝22÷5＝4÷5＝故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的除法熟记幂的运算法则是解答本题的关键 解析：45 【分析】
根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可．
【详解】
∵2m a =，5n a =，
2m n a -=（a m ）2÷a n ＝22÷5＝4÷5＝
45． 故答案为：
45
． 【点睛】 本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 14．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第n 个图形需要的黑色棋子的个数是
______．（n 为正整数）
【分析】根据题意分析可得第
一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4
第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5依此类推可得第n 个图形需要黑色棋子的个数为计算可得答案
解析：()2n n +
【分析】
根据题意分析可得第一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3，第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4，第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5，依此类推可得第n 个图形需要黑色棋子的个数为()()()122n n n ++-+，计算可得答案．
【详解】
解：观察图形可得：
第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3-3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4-4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5-5个，
按照这样的规律下去：则第n 个图形需要黑色棋子的个数是
()()()()1222n n n n n ++-+=+，
∴当n=6时，()26848n n +=⨯=；
故答案为48；()2n n +．
【点睛】
本题主要考查图形规律及整式乘法的应用，关键是根据图形得到一般规律，然后问题可求解．
15．已知228a ab +=-，2214b ab +=，则2262a ab b ++=________．20【分析】将变形为然后利用整体思想代入求解【详解】解：∵∴原式=故答案为：20【点睛】本题考查代数式求值掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键
解析：20
【分析】
将2262a ab b ++变形为22
22(2)a ab b ab +++，然后利用整体思想代入求解．
【详解】
解：2222226222+422(+2)a ab b a ab b ab a ab b ab ++=++=++
∵228a ab +=-，2214b ab +=
∴原式=821420-+⨯=
故答案为：20．
【点睛】
本题考查代数式求值，掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关
键．
16．若2249x mxy y -+是一个完全平方式，则m =______【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值【详解】∵是一个完全平方式∴故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用明确完全平方公式的基本形式是解题的关键
解析：12±
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．
【详解】
∵2249x mxy y -+是一个完全平方式，
∴22312m =±⨯⨯=±．
故答案为：12±．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键． 17．计算：32(2)a b -＝________．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘
解析：624a b
【分析】
积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．
【详解】
32(2)a b -=624a b ，
故答案为：624a b ．
【点睛】
此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
18．若210x x --=，则3225x x -+的值为________．【分析】首先将已知条件变形为再把要求的式子变形然后整体代入即可求解【详解】解：∵即∴故答案为：4【点睛】此题主要考查了代数式求值把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键
解析：【分析】
首先将已知条件210x x --=变形为21x x -=，21x x -=，再把要求的式子变形，然后整体代入即可求解．
【详解】
解：∵210x x --=，即21x x -=，21x x -=，
∴()
323222514x x x x x -+=---+
()()2214x x x x =---+
4x x =-+
4=．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键． 19．分解因式3225a ab -=____．a （a+5b ）（a-5b ）【分析】首先提取公因式a 进而利用平方差公式分解因式得出答案【详解】解：a3-25ab2=a （a2-25b2）=a （a+5b ）（a-5b ）故答案为：a （a+5b ）（a-5b ）
解析：a （a+5b ）（a-5b ）
【分析】
首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：a 3-25ab 2
=a （a 2-25b 2）
=a （a+5b ）（a-5b ）．
故答案为：a （a+5b ）（a-5b ）．
【点睛】
本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 20．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m 的值在将m 代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1
【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出
解析：1
【分析】
根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在将m 代入代数式计算即可．
【详解】
原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．
根据题意可知210m -=且10m +≠，
所以1m =． 所以2008200811111m m --=--=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．
三、解答题
21．计算：4a 2·（－b ）－8ab ·（b －12
a ）． 解析：28a
b -
【分析】
整式的混合运算，先算乘除，然后再算加减，有小括号先算小括号里面的．
【详解】
解：4a 2·（－b ）－8ab ·（b －
12
a ） =222484--+a
b ab a b
=28ab -．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘单项式以及单项式乘多项式的计算法则正确计算是解题关键．
22．阅读下面材料，完成任务．
多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．
∴26445123215÷= ∴()
()32223133x x x x x +-÷-=++ 请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）
（1）计算：()
()3223102x x x x +--÷- （2）若关于x 的多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除，且a ，b 均为自然数，求满足以上条件的a ，b 的值．
解析：（1）()
()3222310245x x x x x x +--÷-=++；（2）0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =
【分析】
（1）直接利用竖式计算即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．
【详解】
解：（1）列竖式如下：
()
()3
222310245x
x x x x x +--÷-=++
（2）列竖式如下：
∵多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除 ∴余式()420b a +-= ∵a ，b 均为自然数
∴0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b = 【点睛】
此题考查利用竖式计算整式的除法，解题时要注意同类项的对应． 23．因式分解：（1）222x - （2）32244x x y xy -+ 解析：（1）2(1)(1)x x +-；（2）2
(2)-x x y ． 【分析】
（1）首先提公因式2，再利用平方差公式进行分解即可； （2）首先提公因式x ，再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】
（1）原式(
)
2
21x =-
2(1)(1)x x =+-．
（2）原式(
)22
44x x xy y
=-+
2(2)x x y =-．
【点睛】
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 24．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为,b 宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．
()1观察图②，请你写出代数式()222,,a b a b ab ++之间的等量关系是 ；
()2根据()1中的等量关系，解决下列问题；
①已知224,10a b a b +=+=，求ab 的值；
②已知()()22
2020201852x x -+-=，求2019x -的值．
解析：（1）()2
222a b a b ab +=++；（2）①3ab =；②20195x -=±. 【分析】
(1)整体看是一个边长为（a+b ）的正方形，局部看它有一个边长为a ，b 的正方形，两个长为b ，宽为a 的矩形组成，根据图形的面积相等即可确定它们之间的关系；
(2)①公式变形为ab=222()()
2
a b a b +-+计算即可；
②把x-2020变形成(x-2019)-1, 把x-2018变形成(x-2019)+1，用整体思想展开公式计算即可. 【详解】
()()
2
2212a b a b ab +=++；
理由如下：
图②是边长为()a b +的正方形，
()2
S a b ∴=+
图②可看成1个边长为a 的正方形，1个边长为b 的正方形以及2个长为,b 宽为a 的长方形的组合图形，
222,S a b ab ∴=++
()2
22 2a b a b ab ∴+=++．
()24a b +=①
，
()2
16,a b +∴=
即22216a b ab ++=． 又
2210,a b +=
3ab ∴=；
②设2019,x a -=
则20201,20181x a x a -=--=+，
()()
22
2020201852x x -+-=，
()()2
2
1152a a ∴-++=， 22212152,a a a a ∴-++++= 22252,a ∴+= 2250,a ∴= 225,a ∴=
即()2
201925,x -=
20195x ∴-=±． 【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，公式的应用，以及公式的整体思想代换应用，熟练掌握公式的几何意义和公式的变形是解题的关键. 25．材料：
数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因2
()0a b -≥，将左边展开得到
2220a ab b -+≥，移项可得222a b ab +≥．（当且仅当a b =时，取“=”）
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m ，n ，都存
在m n +≥m n =时，取“=”）并进一步发现，两个非负数m ，n 的和一定存在着个最小值． 根据材料，解答下列问题：
（1）2
2
(3)(4)x y +≥________（0x >，0y >）；2
21x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
________（0x >）；
（2）求3
12(0)4x x x
+
>的最小值； （3）已知2x >，当x 为何值时，代数式4
3201036
x x ++-有最小值？并求出这个最小值．
解析：（1）24xy ，2；（2）6；（3）8
3
x =，最小值为2020 【分析】
（1）根据阅读材料可得结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论； （3）把已知代数式变形为4
(36)201636
x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法即可得出结论． 【详解】
解：（1）∵0x >，0y >
∴22(3)(4)x y +≥23424x y xy ⨯⨯= ∵0x >
∴2
21x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
122x x ⨯⨯= 故答案为：24xy ，2
（2）∵0x >时，12x ，3
4x
均为正数，
∴31264x x +≥= ∴3
124x x
+
的最小值是6 （3）当2x >时，3x ，36x -，4
36
x -均为正数 ∴4
3201036
x x +
+-
4(36)2016201636x x =-+
+≥-
2016=
2020=
当43636
x x -=-时，即84
33x =或（舍去）时，有最小值，
∴当8
3x =
时，代数式43201036
x x +
+-的最小值是2020．
此题主要考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．
26．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④
，读作“3-的圈4次方”；一般地，把
n a
a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（
0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭
⑤
__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________； A ．任何非零数的圈2次方都等于1； B ．对于任何大于等于2的整数c ，；
C ．89=⑨⑧；
D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； （深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方2
11112222222222⎛⎫
→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭
④
乘方幂的形式
（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
(5)-=⑥
___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭
⑨
___________； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________； （3）将
（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________．
解析：【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）4
15⎛⎫- ⎪⎝⎭
，72；（2）2
1n a -⎛⎫
⎪⎝⎭
；（3）4m n a +-
【分析】
初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；
深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案； （2）把幂的形式转换为一般形式即可；
（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．
解：【初步探究】 （1）17
7777
=÷÷=
③
； 111111()()()()()44444464⎛⎫
-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪
⎭
-⎝⑤
； 故答案为：
1
7
；64-； （2）由题意：
A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；
B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；
C 、718
8888888888
=÷÷÷÷÷÷÷÷=
⑨
， 619999999999
=÷÷÷÷÷÷÷=
⑧， ∴89≠⑨⑧，则C 错误；
D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确； 故选：C ． 【深入思考】 （1）4111111
(5)
(5)()()()()()()555555
-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥
；
71122222222222⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪
⎝⎭
⑨
； 故答案为：4
1()5
-；72；
（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则 将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：
2
1n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
；
故答案为：2
1n a -⎛⎫
⎪
⎝⎭
；
（3）
=224m n m n a a a --+-•=；
故答案为：4m n a +-． 【点睛】
本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．
27．把一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m ，n 的代数式表示）． 方法1：______________________________． 方法2：______________________________．
（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式()2m n +，()2
m n -，mn 间的等量关系：________
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数x ，y 满足6xy =，5x y -=，请求出x y +的值．
解析：（1）方法1：()2
4m n mn +-，方法2：()2
m n -；（2）
()
()2
2
4m n m n mn -=+-；（3）7x y +=
【分析】
（1）由题意知，阴影部分为一正方形，其边长正好为m ﹣n ．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得：
（2）大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积． （3）（x +y ）2正好表示大正方形的面积，（x ﹣y ）2正好表示阴影部分小正方形的面积，xy 正好表示一个小长方形的面积．根据（2）中的等式代入计算即可． 【详解】
解：（1）()24m n mn +-；()2
m n -． （2）()()22
4m n m n mn -=+-．
（3）∵()()22
4x y x x y y +=-+，5x y -=，6xy =， ∴()2
254649x y +=+⨯=，
∴7x y +=． 【点睛】
本题考查了完全平方式和整式的混合运算，主要考查学生的理解能力和计算能力． 28．化简：2(3)3(2)m n m m n +-+．
解析：226m n +
【分析】
先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】
解：2
(3)3(2)m n m m n +-+
222
=++--
9636
m mn n m mn
22
=+．
6m n
【点睛】
此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式及单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则是解题的关键．。