《平面与平面平行的性质》 讲义

《平面与平面平行的性质》讲义
一、引入
在我们的空间几何世界中，平面与平面的关系是一个重要的研究对象。

当两个平面平行时，会呈现出一系列独特而有趣的性质。

今天，就让我们一起来深入探讨平面与平面平行的性质。

二、平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行。

想象一下，两个无限延展的平面，就像两块平滑的玻璃，彼此之间没有任何交集，它们就是平行的关系。

三、平面与平面平行的判定定理
判定两个平面平行，我们有以下几个重要的定理：
1、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

这就好比在一个平面内有两条相交的“轨道”，它们都指向另一个平面的方向，于是我们可以断定这两个平面是平行的。

2、如果两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

可以想象这条直线像一根笔直的旗杆，两个平面都与它垂直，就像两面旗帜顺着旗杆展开，它们必然是平行的。

3、如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

四、平面与平面平行的性质定理
1、两个平行平面，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

例如，有两个平行的桌面，其中一个桌面上的铅笔，必然与另一个
桌面没有交点，也就是平行于另一个桌面。

2、夹在两个平行平面间的平行线段相等。

假设在两个平行平面之间有两根平行的木条，它们的长度是相等的。

3、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

就像在空间中，一个点周围，只有一个特定的平面能与给定的平面
保持平行关系。

五、性质定理的应用
在解决实际问题中，平面与平面平行的性质有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，要确保不同楼层的地板是平行的，我们可以
利用这些性质来进行测量和计算。

在机械制造中，为了保证零件的精度和配合，也需要考虑平面平行
的性质。

六、典型例题
例 1：已知平面α∥平面β，直线 a 在平面α内，直线 b 在平面β内，求证：a∥b。

证明：因为平面α∥平面β，直线 a 在平面α内，所以 a 与平面β
没有公共点。

又因为直线 b 在平面β内，所以 a∥b。

例 2：在棱长为 a 的正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，平面
A₁BD∥平面 B₁D₁C，求证：A₁B∥平面 B₁D₁C。

证明：因为平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C，且 A₁B 在平面 A₁BD 内，同时 A₁B 不在平面 B₁D₁C 内，所以 A₁B∥平面 B₁D₁C。

七、练习题
1、已知平面α∥平面β，直线m 在平面α内，直线n 在平面β内，且 m∥n，求证：平面α∥平面β。

2、在三棱柱 ABC A₁B₁C₁中，平面 ABC∥平面 A₁B₁C₁，
AA₁＝ BB₁＝ CC₁＝ a，求证：AA₁，BB₁，CC₁互相平行且相等。

八、总结
平面与平面平行的性质是空间几何中的重要内容，它不仅帮助我们
更好地理解空间中的平面关系，还为解决实际问题提供了有力的工具。

通过深入学习和掌握这些性质，我们能够在空间几何的世界中更加游
刃有余。

希望同学们在今后的学习中，能够灵活运用这些性质，解决更多的
几何问题。