初中数学精品说题稿：反比例函数背景下的轴对称问题

反比例函数背景下的轴对称问题
各位评委，老师，大家早上好：
我今天说题的题目是《反比例函数背景下的轴对称问题》，下面，我将从“说题目，说学生，说教学，说反思”四个方面来诠释我对本节课的理解。

一、说题目
1、原题再现：如图，矩形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC 上，且∠AOD=30°，四边形OA'B'D 与四边形OABD 关于
直线OD 对称（点A'和A ，点B'和B 分别对应）若AB=1，反比例函数)0(≠=k x k y 的图像恰好经过点A'，B 。

此题源于2017年温州数学中考15题。

2、本题重点：反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形。

本题是在动中折叠的背景下，融合了反比例函数，综合性较强，灵活度较高。

3、思想方法：从考查的内容看，知识的落点不仅仅体现在求解k 值上，而是通过添加辅助线，培养学生由形想数，将线段长及线段之间的数量关系转化为点的坐标间关系的能力。

感受数形结合、转化等思想方法，进一步体会轴对称、反比例函数中的“不变性”。

二、说学生
1、学生起点：学生已经掌握了反比例函数、轴对称以及解直角三角形等有关知识，能结合图形的变化综合运用所学知识，也已具备了一些通过求点的坐标从而求出反比例函数的解题经验。

但在此阶段，九年级的学生对所掌握的相关知识、技巧或许有些遗忘，需要老师唤醒他们的记忆。

2、学生难点：学生在以下两个可能存在困难，利用线段的和、差、倍、分表示线段的长度；根据三角函数、反比例函数找到等量关系。

三、说教学
（一）简化导入课题
如图，四边形OABC 是矩形，AB=1，∠AOB=30°，△A'OB 与△AOB 关于直线OB 对称（点A'与A 对应）。

1、问：根据以上信息，你能得出哪些结论？
y x
2、问：以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立平面直角坐标系。

点A'的坐标该如何表示？
课堂互动：学生回答问题，教师总结知识、方法。

预设1：（由轴对称得出的结论）线段相等、角相等、三角形全等、等腰三角形。

（由解直角三角形得出的结论）线段的具体长度。

预设2：学生容易想到过点A’作x轴的垂线段，而且有了上题的铺垫，学生易得OA’的长度，从而求出A’的坐标。

设计意图：通过一个开放性的问题，让学生回顾了轴对称及解直角三角形等相关知识，也回忆了求点坐标需作辅助线的解题经验。

低起点，开放性，激发学生参与热情。

而直角坐标系的引入，将几何与代数问题巧妙地结合在了一起，为原题的呈现埋下伏笔。

（二）改编引入原题
解决原题是本节课的重点，而题目本身的难度并不是很大，那么如何更大地去发挥它的作用呢？我们采用以下方式进行教学：
1、弱化条件，将题目变为开放性问题。

如图，矩形OABC的边OA,OC分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，AB=1。

点D在边BC上（不包括两个端点），且∠AOD=30°，四边形OA'B'D与四边形OABD 关于直线OD对称（点A'和A，点B'和B分别对应）。

y
x
问：点A'的坐标该如何表示？
预设：因为缺乏条件，学生无法准确地表示点A'的坐标。

此时，学生的思维产生了冲击，那么教师就可自然地提问：请你补充一个条件，并求出点A'的坐标。

设计意图：1、培养学生的质疑精神。

2、感受出题过程，进行深度学习，培养了学生的创新思维，也为原题的解决提供了思路。

2、教师投影学生的答案，并进行生生评价，尤其针对“OA=√3”。

预设：1、从数的角度：DB=0.5……；OA=2…√3…；2、从形的角度：H 为A ’O 的中点； A ’D 平分∠HDB ’…… 3、变化条件，呈现原题：中考命题老师也给这道题目补充了一个条件：“反
比例函数)0(≠=k x
k y 的图像恰好经过点A'，B ”，你能求出点A'的坐标？k 的值吗？
4、解题策略分析，学生可能会出现以下几种想法：
通过前面的铺垫，
想法一：设OA=x ，由轴对称可知OA ’=OA=x ，易得B(x,1), A ’ (x 2,
√3x 2)，再利用反比例函数的乘积不变性列出方程：x=x 2∙√3x 2
，从而解出题目。

（又或者直接根据反比例函数图象上点的特征写出B(k,1)，后面类似。

）
想法二：过点D 作y 轴的垂线段于点E ，再利用三角函数列出方程，从而解出题目。

想法三：连接AD ，看出∠ADO=90°，得出DB=√3
3，从而解出题目；老师提供思路，帮助学生严格证明。

总结方法：
1、乘积不变性。

2、三角函数。

3、证直角。

前面两种解法比较一般，是通法，最后一种比较特殊，在这道题目中刚好适用。

y x y x E y
x E
设计意图：做到了把课堂还给学生，问题的设计来自学生，问题的解决依靠学生，课堂的走向根据学生掌握情况来定，让教师成为组织者，让学生的学习真正发生。

（三）变式升华原题
前面我们已知坐标求反比例函数，研究中考命题者的思路，也可以已知函数求坐标。

因此，我们进行了这样的变式：
变式：如图，在原题的基础上，保持反比例函数x y 334=不变，将点D 变为边BC 上的一个动点（不包括两个端点）。

问：当BD 的长在什么范围时，线段A'B'与反比例函数x y 334=
的图像有交点？
分析：此题由静变动，由求值变为求范围，在难度上有了一定的提升，学生对这样的动点题目可能存在疑惑，是这节课的难点。

因此，我们采用了以下教学方式来帮助学生突破难点。

1、可先引导学生什么时候刚好有交点？通过几何画板进行动态演示。

2、此时，学生易明确目的：分析临界情况，当点A ’刚好在反比例函数图象上时，此时BD 最短；当点B ’刚好在反比例函数图象上时，此时BD 最长，在这个范围内，线段与图象有交点。

3、有了方向之后，部分学生可能直接通过设点的坐标，再利用勾股定理列出方程，从而解得题目。

但有些学生会先观察图象，直观感受两种极限情况分别是在∠AOD=30°和45°的时候存在，再去说明其中的缘由。

4、当点A ’落在反比例函数图象上时，正是原题中的情况，此时∠AOD=30°，易得到BD 的长；而当点B ’ 落在反比例函数图象上时，可引导学生综合利用反比例函数关于直线y=x 成轴对称，以及题目本身的轴对称性得知此时OD 所在的直线为y=x ，进而得到BD 的长度。

设计意图：1、深入挖掘原题的潜在价值，将条件和结论互换，体现了逆向思维。

2、本题在原有知识基础上引入了假设法、“反比例函数图象关于直线y=x 对称”这个知识点，让整节课变得更加饱满，达到了做一题，通一类的目的。

而在此基础上，将点D 变为边AB ，边BC 上的一个动点。

问：当A'在反比例函数x
y 334=图像上时，∠AOD 的大小是多少？ 这个变式将题目变得更丰富了，向学生渗透了分类讨论的思想。

如果课堂时y x
间充裕，可在课堂上让学生自己去解决。

若时间不够，则可作为课后作业，达到检验课堂学习效率的效果。

设计意图：再次挖掘原题内涵，使本题变得更丰富，并渗透分类讨论的思想。

四、说感悟
1、通过对一道中考题的解答，变式探究，带动了图形变换与函数的复习。

知识的利用起到了一题多思的作用，让复习课的学习效率得到了提高。

2、本节课从活动导入到拓展，把知识考查具体化，降低学习难度，从直观感知到理性分析，符合学生的思维特征。

通过学生自主学习合作学习，获得知识，形成技能，发展思维。

3、把学生当成课堂的主要资源，问题的设计来自学生，问题的解决依靠学生，课堂的走向根据学生掌握情况来定.做到以生为本，学为中心。

4、与温州市中考难度提高背景对接，适时提高学生思维度的训练水平，适时提高学生综合问题的能力，重视解题方法的指导及总结，重视数学思想方法的渗透.一题一课，一课一提升。