高三数学二轮复习 138直线与方程、圆与方程课件 理 人教版

类型二 两条直线的位置关系与点到直线的距离 【例 2】 (全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1：x－y ＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 所截得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答 案的序号)
(2)代数法：用“待定系数法”求圆的方程，其一般 步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)； ②利用条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；③ 解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
类型四 直线与圆、圆与圆的位置关系 【例 4】 (2011·江西)若曲线 C1：x2＋y2－2x＝0 与 曲线 C2：y(y－mx－m)＝0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是( )
时，应该根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆 的方程有两类办法：①几何法，即通过研究圆的性质进而 求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系 数法求解．
注：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆⇔A＝ C≠0 且 B＝0 且 D2＋E2－4AF>0.
8．点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法) (1)点与圆的位置关系：(d 表示点到圆心的距离) ①d＝R⇔点在圆上；②d<R⇔点在圆内；③d>R⇔点 在圆外． (2)直线与圆的位置关系：(d 表示圆心到直线的距离) ①d＝R⇔直线与圆相切；②d<R⇔直线与圆相交；③ d>R⇔直线与圆相离．
(1)求证 P(1,1)到线段 l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离 d(P，l)；
(2)设 l 是长为 2 的线段，求点的集合 D＝{P|d(P，l)≤1} 所表示的图形面积；
(3)写出到两条线段 l1，l2 距离相等的点的集合 Ω＝ {P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中 l1＝AB，l2＝CD，A，B，C， D 是下列三组点中的一组．
A2＋B2 式，同时此公式对于直线与坐标轴垂直或平行的情况都适 用．
(2)两条平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 之间的距离是 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
7．圆的方程：(1)标准方程：①(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②x2＋y2＝r2.
(2) 一 般方 程： x2＋ y2 ＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0(D2＋ E2 － 4F>0)，解决与圆的方程有关的问题时，数形结合是常用 的方法，结合圆所具有的平面几何性质可以使解题过程简 化．待定系数法是求圆的方程常用的方法，在求圆的方程
考情分析
• 函数知识的综合应用，故对圆的两类方 程及直线与圆的位置关系的考查将是今 后一段时间平面解析几何的命题方向．
要点串讲
1. 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 的 大 小 反 映 了 直 线 的 倾 斜 程 度．任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于 90°的直线 才有斜率；根据定义可知直线的倾斜角 α 的取值范围是[0°， 180°)．已知倾斜角 α，则斜率 k＝不tan存α在α≠α9＝0°90° ；直线 的斜率也可以用一直线上的两点坐标来表示，即 k＝yx22－－yx11 (x1≠x2)．
①A(1,3)、B(1,0)、C(－1,3)，D(－1,0) ②A(1,3)、B(1,0)、C(－1,3)、D(－1，－2) ③A(0,1)、B(0,0)、C(0,0)、D(2,0)
解：(1)设 Q(x，x－3)是线段 l：x－y－3＝0(3≤x≤5ห้องสมุดไป่ตู้ 上一点，则
|PQ|＝ x－12＋x－42＝
(3≤x≤5)，当 x＝3 时， d(P，l)＝|PQ|min＝ 5.
2x－52 2＋92
(2)设线段 l 的端点分别为 A，B，以直线 AB 为 x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系，则 A(－1,0)，B(1,0)， 点集 D 由如上曲线围成
l1：y＝1(|x|≤1)，l2：y＝－1(|x|≤1)， C1：(x＋1)2＋y2＝1(x≤－1)，C2：(x－1)2＋y2＝1(x≥1) 其面积为 S＝4＋π.
[点评] 由直线的斜率求其倾斜角的范围问题，一般 是：先求出直线的斜率 k 的取值范围，再利用三角函数的 单调性，借助函数的图象，数形结合，确定倾斜角的范 围．在这里要特别注意：正切函数在[0，π)上并不是单调 的函数，这一点是最容易被忽略的．反过来，已知直线的 倾斜角的范围求其斜率范围的问题，也同样要注意这一 点．另外，还要特别关注这一点：当直线的倾斜角为π2时， 直线斜率是不存在的．
5．若点 P(a，b)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称 点为 Q(x0，y0)，则 l 是线段 PQ 的垂直平分线．即
yxA00x－－0＋2ba＝a＋BABy0＋2 b＋C＝0
.当 l 与坐标轴垂直时，可以
结合图象进行特殊考虑．
6．(1)点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离：d ＝|Ax0＋By0＋C|，注意使用此公式前必须将直线化成一般
[答案] ①⑤
[点评] 一条直线被两条平行线所截得的线段和这 两条平行线间的垂线段可以放到一个直角三角形中，这时 这个直角三角形是完全已知的，可以通过这个直角三角形 和已知直线的倾斜角解决这类问题．数形结合是解决解析 几何问题的有效手段．
【探究 1】 (2011·上海)已知平面上的线段 l 及点 P， 任取 l 上一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离，记作 d(P，l)．
解法二：设所求圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圆心为－D2 ，－E2 ，半径为12 D2＋E2－4F. 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0. 由圆与 x 轴相切，得 Δ＝0，即 D2＝4F.④ 又圆心－D2 ，－E2到直线 x－y＝0 的距离为 －D2 ＋E2 ，
2
由已知，得－D2 ＋E2 2＋( 7)2＝r2， 2
(3)圆与圆的位置关系：(d 表示圆心距，R，r 表示两 圆半径，且 R>r)
①d>R＋r⇔两圆相离；②d＝R＋r⇔两圆外切；③R －r<d<R＋r⇔两圆相交；④d＝R－r⇔两圆内切；⑤0<d<R －r⇔两圆内含．
9．研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆 心到直线、圆心到圆心的距离与圆的半径的大小关系这一 关键点．在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分 利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中 计算，往往能事半功倍.
A.－
33，
3 3
B.－
33，0∪0，
3 3
C.－
33，
3 3
D.－∞，－ 33∪ 33，＋∞
[解析] 曲线 C1 是以 C(1,0)为圆心，1 为半径的圆．
高频考点
类型一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】 已知直线 2xsinα＋2y－5＝0，则该直线 的倾斜角的变化范围是______________．
[分析] 解答本题容易出现的错误是认为直线斜率 k ＝tanβ 在[0，π)上是单调函数．当已知直线斜率 k 的取值 范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函 数的单调性．正切函数 k＝tanβ 在[0，π)上并不是单调的 函数，因此当 k 的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有 时却是断开的，如本题就是．
[解析] 由题意，得直线 2xsinα＋2y－5＝0 的斜率为 k＝－sinα.
又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1. 当－1≤k<0 时，倾斜角的变化范围是[34π，π)； 当 0≤k≤1 时，倾斜角的变化范围是[0，π4]． 故直线的倾斜角的变化范围是[0，π4]∪[34π，π)． [答案] [0，π4]∪[34π，π)
3．给定两条直线 l1：y＝k1x＋b1 和 l2：y＝k2x＋b2， 则有下列结论：(1)l1∥l2⇔k1＝k2 且 b1≠b2；(2)l1⊥l2⇔k1·k2 ＝－1.若给定的方程是一般式，即 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：(1)l1∥l2⇔A1B2 －A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0；(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
③选择 A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)． Ω＝{(x，y)|x≤0，y≤0}∪{(x，y)|y＝x,0<x≤1}∪{(x， y)|x2＝2y－1,1<x≤2}∪{(x，y)|4x－2y－3＝0，x>2}，如图 ③.
类型三 求圆的方程 【例 3】 求与 x 轴相切，圆心在直线 3x－y＝0 上， 且被直线 x－y＝0 截得的弦长为 2 7的圆的方程． [分析] 设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系 数法求解，关键是用好所给的三个独立条件． 设圆的方程 → 应用三个条件 → 求参数得圆的方程
2．直线方程的 5 种形式分别为：(1)点斜式：y－y0 ＝k(x－x0)；(2)斜截式：y＝kx＋b；(3)截距式：xa＋yb＝1； (4)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11；(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A， B 不全为 0)．
其中，只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线 方程的不同形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限 性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设 方程一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方 程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．
(3)①选择 A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)，Ω＝ {(x，y)|x＝0}，如图①.
②选择 A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)． Ω＝{(x，y)|x＝0，y≥0}∪{(x，y)|y2＝4x，－2≤y<0} ∪{(x，y)|x＋y＋1＝0，x>1}，如图②.
4．直线系方程：过两直线 l1 和 l2 的交点的直线方程 可设为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包 括直线 l2)；与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线一般可设 为 Ax＋By＋m＝0；与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方 程一般可设为 Bx－Ay＋n＝0.
第一部分 高考专题讲解
专题三 直线、圆、圆锥曲线
第八讲 直线与方程、圆与方程
考情分析
• 本讲主要包括两个方面的内容：一是直 线的基本概念，直线的方程，两直线的 位置关系及点到直线的距离等，高考对 此类问题的考查大多属中、低档题，以 选择题或填空题的形式出现，每年必 考．二是圆的两类方程及直线与圆的位 置关系等，考试大纲对该部分的要求较 高，故要予以足够的重视．新课标高考 考查圆的方程与
[分析] 先求出两平行线间的距离，再根据已知就可 以求出直线 m 与这两条平行线的夹角．
[解析]
两平行线间的距离为
d＝
|3－1| ＝ 1＋1
2，如图
所示，可知直线 m 与 l1、l2 的夹角为 30°，l1、l2 的倾斜角
为 45°，所以直线 m 的倾斜角等于 30°＋45°＝75°或 45°
－30°＝15°.故填①⑤.
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤
又圆心－D2 ，－E2在直线 3x－y＝0 上， ∴3D－E＝0.⑥
联立④⑤⑥，解得 D＝－2，E＝－6，F＝1，或 D＝2，E＝6，F＝1. 故所求圆的方程是 x2＋y2－2x－6y＋1＝0 或 x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
[点评] 求圆的方程有两类方法： (1)几何法：通过研究圆的几何性质、直线和圆、圆 和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心、半径)，进而得 到圆的方程．
[解] 解法一：设所求圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线 x－y＝0 的距离为|a－b|， 2
∴r2＝|a－2b|
2＋(
7)2，即 2r2＝(a－b)2＋14.
①
由于所求的圆与 x 轴相切，∴r2＝b2.
②
又因为所求圆心在直线 3x－y＝0 上，∴3a－b＝0.③
联立①②③，解得 a＝1，b＝3，r2＝9，或 a＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求圆的方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝9，或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.