补充-离散信号的采样与插值

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X
… 0
π

ω

… -π 0
π/L
π

ω’
Y频谱:L=3,在2π里出现3个周期,是基带的谐波镜像, 要用数字低通滤波器滤除。称抗镜像滤波器。
抗镜像低通滤波器(又称内插滤波器)的频谱
G ; | '| / L H(e ) other 0
j '
y0(n)经过它运算把插 0值变成合理值y(n)
9
12
n
低的 fs’
n 3 4
注意序号
m
三 个 采 样 率 序 列 的 频 谱
连续信号 的频谱 以fs采样的序 列频谱
|X(j Ω)| 1/T
fmax |X(ej ω)|

fs
以0.5fs采样的序列频谱, 它等效于M=2倍的抽取
1/2T
M=4倍
2π ω fs1=0.5fs ω j |y1(e )| 2π 4π ω |y2(ej ω)| fs2=0.25fs 2π
1/4T
fs2=fs/M<2fmax


ω
原序列x(n)的 频谱 数字低通滤波 器h(n)频谱
例子
输出序列y(n) 的频谱
1
fmax π |H(ej ω)|
π /M |y (ej ω)|π ω fs2=0.25fs
M=3倍
π ω j 1/3T |y1(e )| 2π 4π
一、离散信号的采样实为序列抽取, 等效于fs的降低M倍。----降采样率
x(n)={1,1.2,1.3,1.1,1.05, … }
高的 fs
012 3 6 M=3情况: y(m)={1,1.1,…} fs 1 1 f s T MT M y(m) x(mM ) 0 1 2
T M T 1
j(
' 2 k ) M
)
' ' 2 ' 4 ' 2 ( M 1) j( ) j( ) j( ) j( ) 1 j ' M M M M Y(e ) [ X (e ) X (e ) X (e ) ... X (e )] M
它是原序列频谱X(ejw),以2π k右移后共 M个叠加,并且ω 轴压缩M倍的结果。依照 π 点等效0.5fs关系:是若X(ejw)的频带 只在(0~π /M)以内,则不会混叠。
3
6
9
12
n
0 0
3 1
6 2
9 3
12 n 4 m
原采样率下每周期含有M-1个0的x1(n)求ZT
X1( z )
n


x1 (n)z n ... x1 (0)z 0 x1 (1)z 1 x1 (2)z 2 ... x1 ( M )z M ...
降低采样率后的序列y(m),没有0,其Y(z).
i
( n) p
i
(n Mi ) a e
k 0 k

M 1
j(
2 k )n M
p(n)
周期序列的级 数表示 01 2 M 1 j ( n)k 1 1 M M=3 情况: (n)e ak p M n 0 M
k )n 1 M 1 j ( 2M x1(n) x(n) e M k 0
M 1 m



y( m ) z m x1 ( m ) z m / M
m

1 [ x( m ) M m

M 1 k 0
e
)
j(
2 k )m M
]z m / M

x( m )[e
j(
2 k) 1/ M m M
z
]
k 0 m
n


x( n)( z L ) n X ( z L )
0 1 2 01 2 3 4 5 6 7 8
3 12
4 16
19 m
n
可用原x(n)的频谱来表示y0(n)的频谱
Y0 (e j ' ) X (e j ' L ); ' 2 f / fs '
频率轴压缩L倍


Yo
1 M
M 1 k 0
X (e
j(
2 k) 1/ M M
z
降采样率到fs’后的序列频谱:Y(z)在单位圆上 2 取值: j( k ) 1 M 1 1/ M M
Y( z )
z e j '

X (e M
k 0
z
)
z e j '
1 M
M 1 k 0
X (e
离散信号的采样 (序列的抽取,减少数据) (整数因子)采样率的转换
采样率的转换问题:多采样率系统 高fs采集的数据----抽取数据(低fs)存储 运算---恢复高fs,插值后输出一个光滑序列
x(n)
M
x1(m)
CPU
L
v(p)
Lfs
fs
y(t)
fs/M W(p) D / A fs
LP . DF
m x( ) ; m 0, L, 2 L, 3 L,... y 0 (m ) L m other 0
m
y0的序列Z变换Y0(z):Y0 ( z) yo(n) T
T’
y0 (m )z m
Y0 ( z)
n


x(n)z nL ; m nL
二、离散信号的插值
就是在样点之间插0,设插L-1个0,则采样 率提高L倍。(设L=4,原来5个点代表5秒,现 在用20个点,采样率升高4倍)。 T L ; m nL T' x(n) T
T’
0 1 2 01 2 3 4 5 6 7 8
3 12
4 16
19 m
n
改造后的频谱与原频谱关系 插0后的序列:
Y( z )
m
0
0


y(m )z m ... y(0)z 0 y(1)z 1 y(2)z 2 y(3) z 3 ...
在m序号里的x1(M)就是y(1), x1(2M)是 y(2) …显然x1的序号n除/M后取整就可等效。
Y( z ) 1 M
避免序列抽取混叠的 数字滤波器应用

ω
x(n), n 0, M , 2 M ,... 抽取过程还可以看成是用周期为 M点的单 x1(n) 0 other 位抽样序列p(n)去乘以x(n) ,得到x1(n), ( n) x( n) ( n Mi ) x1( n) x( n) p 然后再去掉0,成为y(m).
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