数学新导学笔记人教A全国通用版选修23讲义：第一章 计数原理滚动训练二

滚动训练二(§1.1～§1.3)
一、选择题
1．设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫
3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，
则n 的值为( )
A ．8
B ．4
C ．3
D ．2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C
解析 由题意a ＝4n ，b ＝2n ，∵a ＋2b ＝80， ∴4n ＋2×2n －80＝0，
即(2n )2＋2×2n －80＝0，解得n ＝3.
2．已知甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种 考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题 答案 D
解析 由题知共有C 25C 16C 12＋C 15C 13C 2
6＝345(种)选法．
3．3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则不同的坐法种数为( )
A ．54
B ．60
C ．66
D ．72 考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 B
解析 记3位女性为a ，b ，c ，其丈夫依次为A ，B ，C,3位女性都相邻的可能情形有两类：
第一类，男性在两端(如BAabcC )，有2A 33种坐法；第二类，男性在一端(如BCAabc )，有2A 22A 33种坐法，故共有A 33(2A 22＋2)＝36(种)坐法．仅有两位女性相邻的可能情形也有两类：第一
类，这两人在一端(如abBACc )；第二类，这两人两端都有其他人(如AabBCc )，共有2A 23(1＋1)＝24(种)坐法．综上，满足题意的坐法共有36＋24＝60(种)．
4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为( )
A ．C 39C 36A 3
3 B.C 39C 36C 33A 33
C ．C 39C 36C 33
D ．以上都不对
考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 C
解析 分配方案分三步完成：第一步，从9名同学中选3人到数学学习小组，有C 39种方法；第二步，从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C 36种方法；第三步，剩余的3名同
学到化学学习小组，有C 33种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有C 39C 36C 33种．
5.⎝⎛⎭
⎫1＋1
x (1＋x )4的展开式中，含x 2的项的系数为( ) A ．10 B ．6 C ．4 D ．12 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 A
解析 根据乘法公式，得因式1＋1
x 中的1和(1＋x )4展开式中含x 2的项相乘可得含x 2的项；
因式1＋1x 中的1
x 和(1＋x )4展开式中含x 3的项相乘可得含x 2的项．(1＋x )4展开式的通项为T k ＋
1＝C k 4x k (k ＝0,1，…，4)，故⎝⎛⎭⎫1＋1x (1＋x )4展开式中含x 2的项为1·C 24x 2＋1x ·C 34
x 3＝10x 2，即含x 2的项的系数为10.
6．从集合{1,2,3，…，10}中选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( )
A ．10个
B ．16个
C ．20个
D ．32个 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 D
解析 因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集
个数共有C 12C 12C 12C 12C 1
2＝32(个)．
7．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1,2,3,4,5,6,7，所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )
A ．2 680种
B ．4 320种
C ．4 920种
D ．5 140种
考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 B
解析 先将7盆花全排列，共有A 77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A 33A 4
4(种)，故所求摆放方法有A 77－5A 33A 44＝4 320(种)．
8．在(ax ＋1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数和x 5的系数的等比中项，则实数a 的值为( ) A.259 B.45 C.253 D.53 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案 A
解析 ∵(ax ＋1)7的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 7(ax )7－
k ，∴x 3的系数是C 47a 3，x 2的系数是
C 57a 2，x 5的系数是C 27a 5.∵x 3的系数是x 2的系数与x 5的系数的等比中项，∴(C 47a 3)2＝C 57a 2×C 27
a 5，∴a ＝259.
二、填空题
9．不等式A 2n －1－n <7的解集为________． 考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 {3,4}
解析 由不等式A 2n －1－n <7，得(n －1)(n －2)－n <7，整理得n 2－4n －5<0，解得－1<n <5.又因为n －1≥2且n ∈N *，即n ≥3且n ∈N *，所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n <7的解集为
{3,4}．
10．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 128
解析 由已知条件可得a 5＝C 38·(－m )3＝－56m 3＝56，∴m ＝－1， 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28，① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝0，② 由①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝28＋02
＝128.
11．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 017
2
2 017的值为________．
考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －1
解析 (1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 017
22 017
＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017
2
2 017＝－1.
12．将A ，B ，C ，D ，E ，F 6个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答) 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 480
解析 按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘2即可．当C 在左边第1个位置时，有A 55种排法，
当C 在左边第2个位置时有A 24A 33种排法，当C 在左边第3个位置时，有A 23A 33＋A 22A 3
3(种)排法．所以不同的排法共有2(A 55＋A 24A 33＋A 23A 33＋A 22A 33)＝480(种)．
三、解答题
13．学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试，每项考试至少选派1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题
解 可先分组，再分配，分两个步骤完成．先把5名同学分成三组：①一组3人，另两组各
1人，有C 35C 12C 11A 22种方法；②一组1人，另两组各2人，有C 15C 24C 2
2
A 22
种方法．再把三组学生分配
到“华约”“北约”“卓越联盟”参加考试，有A 33种方法．故不同的的选派方法共有⎝⎛⎭⎫C 35C 1
2
C 1
1A 22＋C 1
5C 2
4C 2
2A 22A 3
3＝150(种)． 四、探究与拓展
14．若n ∈N *，n <100，且⎝⎛⎭⎫x 3＋1
x 2n 的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n 的值的和是________．
考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 答案 950
解析 ⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x 3)n －k ·⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝C k n x 3n －5k ，令3n －5k ＝0，得n ＝53k .当k ＝3,6，…，57时，n ＝5,10，…，95，故所有满足条件的n 的值的和是5＋10＋…＋95＝19×(5＋95)
2
＝950. 15．已知(1－2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 2＝60，求： (1)n 的值；
(2)－a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n a n
2n 的值．
考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用
解 (1)因为T 3＝C 2n (－2x )2＝a 2x 2
， 所以a 2＝C 2n (－2)2＝60，
化简可得n (n －1)＝30，且n ∈N *， 解得n ＝6.
(2)T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝a k x k ，所以a k ＝C k 6(－2)k ，
所以(－1)k a k
2k ＝C k 6， －a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n a n 2
n ＝C 16＋C 26＋…＋C 66＝26－1＝63.。