人教A版高中数学必修一课时作业1.1.3.3集合习题课(含答案)

第一章 1.1 1.1.3 第三课时
A级基础巩固
一、选择题
1．(2016·天津卷)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝
导学号69174171(D)
A．{1}B．{4} C．{1,3}D．{1,4}
[解析]由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．
2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于导学号69174172(B) A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}
[解析]画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B．
3．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为导学号69174173(D)
A．3B．4 C．5D．6
[解析]S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D．
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁
B)等于导学号69174174(A)
U
A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|3≤x＜4}D．{x|－1≤x≤3}
[解析]方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C．
方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A．
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝导学号69174175(B)
A．0B．1 C．2D．3
[解析]∵(A∪B)⊆(A∩B)，∴(A∪B)＝(A∩B)，
∴A＝B，∴a＝1.
6．(2016·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，
a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为导学号 69174176( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 因为集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以A ∪B ＝{1,2,4}，所以∁U (A ∪B )＝{3,5}． 二、填空题
7．U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝__0__.导学号 69174177 [解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程
x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.
8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为__(4,7)__.导学号 69174178
[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}． 三、解答题
9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求：导学号 69174179 (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B ) [解析] 如图所示，可得
A ∩
B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}． ∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得
(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．
(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．
[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁U B )∩A ＝{4}，求A ∪B .导学号 69174180
[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A .
∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6， ∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．
B 级 素养提升
一、选择题
1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有导学号 69174181( A ) A ．A ⊆C
B ．
C ⊆A
C ．A ≠C
D ．A ＝∅
[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .
2．图中阴影部分所表示的集合是导学号 69174182( A )
A ．
B ∩(∁U (A ∪
C )) B ．(A ∪B )∪(B ∪C ) C ．(A ∪C )∩(∁U B )
D ．[∁U (A ∩C )]∪B
[解析] 阴影部分位于集合B 内，且位于集合A 、C 的外部，故可表示为B ∩(∁U (A ∪C ))，故选A ．
3．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝导学号 69174183( B )
A ．(X ∪Y )∩∁U Z
B ．(X ∩Y )∪∁U Z
C ．(∁U X ∪∁U Y )∩Z
D ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z
[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )
(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B ．
4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且B ∩(∁U A )≠∅，则导学号 69174184( C )
A ．k ＜0
B ．k ＜2
C ．0＜k ＜2
D ．－1＜k ＜2
[解析] ∵U ＝R ，A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， ∴∁U A ＝{x |1＜x ＜3}． ∵B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，
∴当B ∩(∁U A )＝∅时，有k ＋1≤1或k ≥3(不合题意，舍去)，如图所示，
∴k ≤0，∴当B ∩(∁U A )≠∅时，0＜k ＜2，故选C ． 二、填空题
5．已知集合A 含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为__0或1__.导学号 69174185
[解析] ∵－3∈A ，
∴a －3＝－3或2a －1＝－3或a 2－4＝－3.
若a －3＝－3，则a ＝0，此时集合A 含有三个元素－3，－1，－4，符合题意． 若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3与集合A 含有三个元素矛盾．
若a 2－4＝－3，则a ＝1或a ＝－1(舍去)，
∴当a ＝1时，集合A 含有三个元素－2,1，－3，符合题意． 综上可知，a ＝0或a ＝1.
6．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1
3≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，
如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是__1
12
__.导学号 69174186
[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为1
3的线段，
a ，
b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b 各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝1
12
.
三、解答题
7．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}.导学号 69174187 (1)求A ∩B ；
(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．
(2)∵C ＝{x |x ＞－a
2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，
∴－a
2<2，
∴a ＞－4.
C 级 能力拔高
1．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2－ax ＋2＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值集合.导学号 69174188
[解析] A ＝{1,2}．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . ①若1∈B ，则2×1－a ×1＋2＝0，得a ＝4. 当a ＝4时，B ＝{1}⊆A ，符合题意． ②若2∈B ，则2×22－2a ＋2＝0，得a ＝5， 此时B ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{2，1
2}A ，
∴a ＝5不符合题意．
③若B ＝∅，则a 2－16<0，得－4<a <4，此时B ⊆A . 综上可知，实数a 的取值集合为{a |－4<a ≤4}．
[点评] (1)当已知B ⊆A 时，首先要考虑B ＝∅的情况，切不可遗漏； (2)本题也可按B ＝∅，或B ＝{1}，或B ＝{2}，或B ＝{1,2}进行分类求解．
2．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.导学号 69174189
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；
(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，
由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A . 又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，
A －
B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A ， 故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}， B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．。