第1章 《勾股定理》回顾与思考
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•②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的 三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的 面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
•③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数 学模型解决现实世界的实际问题．
★【基础必杀题】满分：75 分 一、选择题
►答案见：D2
(★)分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，
设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∴152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. ∴AD＝12.
BD∴＝S△AxB， C＝12则BC·ACDD＝＝ 12×1144×－12＝x8. 4. 勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
第一章 勾股定理
《勾股定理》回顾与思考
本 章知 识 架 构
直角三角形
勾股定理
勾股定理 的逆定理
验证方法 已知两边求
第ห้องสมุดไป่ตู้边
判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直
一 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方.
勾股定理的应用条件
为( D )
A．600 m
B．800 m
C．1 000 m
D．1 300 m
(★)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 点 A，B 都是格点，则 AB 的长为( A ) A．5 B．6 C．7 D．25
(★)如图，长方体的高为 9 m，底面是边长为 6 m 的正方形，
一只蚂蚁从顶点 A 开始，爬向顶点 B，那么它爬行的最短路程
三 勾股逆定理与勾股数 勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股定理与勾股逆定理的比较
勾股定理
勾股逆定理
区 以“一个三角形是 直角三角形”为条
件，得出三角形三 别 边有a2+b2=c2关系
(★)已知直角三角形的两直角边之比是 3∶4，周长是 36，则斜
边长是( C )
A．5
B．10
C．15
D．20
(★)放学以后，小明和小华从学校分手，分别沿着西南方向和
东南方向回家，若小明和小华行走的速度都是 50 m/min，小明
用 10 min 到家，小华用 24 min 到家，则小明和小华家的距离
为( C )
A．10 m
B．12 m
C．15 m
D．20 m
二、填空题 (★)在△ABC 中，AB＝3，BC＝5，AC＝4，则∠A＝ 9900 °. 60 (★)直角三角形的两直角边分别为 5，12，则斜边上的高为 13 .
(★)如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，
式成立.
一个三角形的三边a 、b、c满足a2+b2=c2 为条件,得出这个三
角形是直角三角形
的结论.
联
都与三角形三边有关
系
都与直角三角形有关
四 勾股逆定理的应用
•（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直 角三角形．
•（2）常见的类型：
•①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图 形的面积和有关线段的长度．
点偏离欲到达的 B 点 200 m，结果他在水中实际
解：该在河Rt流△A的BC宽中度，．
AB2＋BC2＝AC2， ∴AB2＝AC2－BC2 ＝5202－2002＝230 400(m2)． ∴AB＝480 m. ∴该河流的宽度为 480 m.
(★★)一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 AB＝3， BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13.假如这是一块钢板，你能 帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 解：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5， ∴AB2＋BC2＝32＋42＝25＝AC2. ∴∠B＝90°. ∴S△ABC＝12×3×4＝6.
∵E 为 BC 边的中点， ∴EC＝12BC＝4 cm. 在 Rt△ECN 中，由勾股定理可知 EN2＝EC2＋CN2，即(8－x)2＝16＋x2. 整理，得 16x＝48.解得 x＝3. ∴线段 CN 的长为 3 cm.
★【学霸笔记】满分：10 分
►答案见：D2
(★★★)在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC
5，12；③1，2，3；④9，40，41；⑤3.5，4.5，5.5.其中能构
成直角三角形的有( B )
A．2 组
B．3 组
C．4 组
D．5 组
(★)在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，下 列说法错误的是( B ) A．若∠C－∠B＝∠A, 则△ABC 是直角三角形 B．若 c2＝b2－a2，则∠C＝90° C．若(c＋a)(c－a)＝b2，则△ABC 是直角三角形 D．若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形
＝4 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 3
上，且与 AE 重合，则 CD＝
2 cm.
(★★)如图，将边长为 8 cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落 在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN.求线段 CN 的长． 解：设 CN＝x cm， 则 DN＝(8－x)cm. 由折叠的性质知， EN＝DN＝(8－x)cm.
师傅计算一下这块钢板的面积吗？
∵AC＝5，CD＝12，AD＝13， ∴AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2. ∴∠ACD＝90°.∴S△ACD＝12×5×12＝30. ∴这块钢板的面积＝S△ACD＋S△ABC＝30＋6＝36.
★【高分突破】满分：10 分
►答案见：D2
(★★)如图，一个直角三角形纸片，两直角边 AC＝3 cm，BC
OA＝2，则 OD2＝ 77
.
(★)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，则 BD＝ 44 .
三、解答题 (★)如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地 C 点偏离欲到达的 B 点 200 m，结果他在水中实际游了 520 m．求 该河流的宽度．
的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
作AD⊥BC于点D， 根据勾股定理，利用 利用勾股定理求
设BD＝x，用含x → AD作为“桥梁”，建 → 出AD的长，再
的代数式表示CD 立方程模型求出x
计算三角形的面积
(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
在直角三角形中才可以运用 已知Rt∆ABC的两直角边分别是3和4，则它 的斜边是 5 .
二 直角三角形性质
• （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角 三角形． •（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它 除了具有一般三角形的性质外，具有一些特 殊的性质： •性质1：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方（勾股定理）． •性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． •性质3：直角三角形的两直角边的乘积等于 斜边与斜边上高的乘积．
D2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
(2)填空：在△DEF 中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF 的面积是 24 .
★【易错遴选题】满分：5 分
►答案见：D2
(★★)直角三角形的两边长为 6 和 8，则斜边长为 1100或或28 7.
谢谢您的观看与聆听
•③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数 学模型解决现实世界的实际问题．
★【基础必杀题】满分：75 分 一、选择题
►答案见：D2
(★)分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，
设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∴152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. ∴AD＝12.
BD∴＝S△AxB， C＝12则BC·ACDD＝＝ 12×1144×－12＝x8. 4. 勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
第一章 勾股定理
《勾股定理》回顾与思考
本 章知 识 架 构
直角三角形
勾股定理
勾股定理 的逆定理
验证方法 已知两边求
第ห้องสมุดไป่ตู้边
判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直
一 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方.
勾股定理的应用条件
为( D )
A．600 m
B．800 m
C．1 000 m
D．1 300 m
(★)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 点 A，B 都是格点，则 AB 的长为( A ) A．5 B．6 C．7 D．25
(★)如图，长方体的高为 9 m，底面是边长为 6 m 的正方形，
一只蚂蚁从顶点 A 开始，爬向顶点 B，那么它爬行的最短路程
三 勾股逆定理与勾股数 勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股定理与勾股逆定理的比较
勾股定理
勾股逆定理
区 以“一个三角形是 直角三角形”为条
件，得出三角形三 别 边有a2+b2=c2关系
(★)已知直角三角形的两直角边之比是 3∶4，周长是 36，则斜
边长是( C )
A．5
B．10
C．15
D．20
(★)放学以后，小明和小华从学校分手，分别沿着西南方向和
东南方向回家，若小明和小华行走的速度都是 50 m/min，小明
用 10 min 到家，小华用 24 min 到家，则小明和小华家的距离
为( C )
A．10 m
B．12 m
C．15 m
D．20 m
二、填空题 (★)在△ABC 中，AB＝3，BC＝5，AC＝4，则∠A＝ 9900 °. 60 (★)直角三角形的两直角边分别为 5，12，则斜边上的高为 13 .
(★)如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，
式成立.
一个三角形的三边a 、b、c满足a2+b2=c2 为条件,得出这个三
角形是直角三角形
的结论.
联
都与三角形三边有关
系
都与直角三角形有关
四 勾股逆定理的应用
•（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直 角三角形．
•（2）常见的类型：
•①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图 形的面积和有关线段的长度．
点偏离欲到达的 B 点 200 m，结果他在水中实际
解：该在河Rt流△A的BC宽中度，．
AB2＋BC2＝AC2， ∴AB2＝AC2－BC2 ＝5202－2002＝230 400(m2)． ∴AB＝480 m. ∴该河流的宽度为 480 m.
(★★)一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 AB＝3， BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13.假如这是一块钢板，你能 帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 解：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5， ∴AB2＋BC2＝32＋42＝25＝AC2. ∴∠B＝90°. ∴S△ABC＝12×3×4＝6.
∵E 为 BC 边的中点， ∴EC＝12BC＝4 cm. 在 Rt△ECN 中，由勾股定理可知 EN2＝EC2＋CN2，即(8－x)2＝16＋x2. 整理，得 16x＝48.解得 x＝3. ∴线段 CN 的长为 3 cm.
★【学霸笔记】满分：10 分
►答案见：D2
(★★★)在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC
5，12；③1，2，3；④9，40，41；⑤3.5，4.5，5.5.其中能构
成直角三角形的有( B )
A．2 组
B．3 组
C．4 组
D．5 组
(★)在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，下 列说法错误的是( B ) A．若∠C－∠B＝∠A, 则△ABC 是直角三角形 B．若 c2＝b2－a2，则∠C＝90° C．若(c＋a)(c－a)＝b2，则△ABC 是直角三角形 D．若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形
＝4 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 3
上，且与 AE 重合，则 CD＝
2 cm.
(★★)如图，将边长为 8 cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落 在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN.求线段 CN 的长． 解：设 CN＝x cm， 则 DN＝(8－x)cm. 由折叠的性质知， EN＝DN＝(8－x)cm.
师傅计算一下这块钢板的面积吗？
∵AC＝5，CD＝12，AD＝13， ∴AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2. ∴∠ACD＝90°.∴S△ACD＝12×5×12＝30. ∴这块钢板的面积＝S△ACD＋S△ABC＝30＋6＝36.
★【高分突破】满分：10 分
►答案见：D2
(★★)如图，一个直角三角形纸片，两直角边 AC＝3 cm，BC
OA＝2，则 OD2＝ 77
.
(★)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，则 BD＝ 44 .
三、解答题 (★)如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地 C 点偏离欲到达的 B 点 200 m，结果他在水中实际游了 520 m．求 该河流的宽度．
的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
作AD⊥BC于点D， 根据勾股定理，利用 利用勾股定理求
设BD＝x，用含x → AD作为“桥梁”，建 → 出AD的长，再
的代数式表示CD 立方程模型求出x
计算三角形的面积
(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
在直角三角形中才可以运用 已知Rt∆ABC的两直角边分别是3和4，则它 的斜边是 5 .
二 直角三角形性质
• （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角 三角形． •（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它 除了具有一般三角形的性质外，具有一些特 殊的性质： •性质1：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方（勾股定理）． •性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． •性质3：直角三角形的两直角边的乘积等于 斜边与斜边上高的乘积．
D2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
(2)填空：在△DEF 中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF 的面积是 24 .
★【易错遴选题】满分：5 分
►答案见：D2
(★★)直角三角形的两边长为 6 和 8，则斜边长为 1100或或28 7.
谢谢您的观看与聆听