湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 选修2-1 2-2-2 椭圆及其简单几何性质(1)

5
3∠.椭A4P圆O=9xa022 ° ,by求22 椭(5圆1a>的b>离0心)的率右的顶取点值是2范A围(a.,0),其上存在一点P,使
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【解题探究】1.利用公式求离心率的关键是什么? 2.椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示?
3.求离心率的取值范围的关键是什么? 探究提示:
∴e= c m 解 4得m1=,
16 ,
a m2
3
∴a= 4 c3=, 2 3 , ∴椭圆的3长轴的长3和短轴的长分别为 8,4,3
焦点坐标为F1( 0, )2,F2(3 ),顶点0,坐2 标3 为 3
A1( 0, 4),A32 (
),B01(3,-42,03),B2(2,0).3
3
3
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心率、焦点和顶点坐标.
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【解析】椭圆的方程可化为 x2 y2 1, 25 16
∵16> 2,5∴焦点在y轴上,并且长半4 轴长a=4,短半轴长b=
5,
4
2
半焦距 c a2 b2 16 25 39 , 42
∴长轴长2a=8,短轴长2b=5,焦距2c= . 39
【拓展提升】椭圆离心率及范围的求法 椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量,它是椭圆的半焦距和长半轴
长的比值.由于a,b,c的关系,这个比值可以通过三个量中的任意两个量来
刻画.在解决问题的过程中我们更多地用a,c描述,因此,求e的值或范 围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下:
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∴离心率 e c 2 2 2 . a4 2
2.选B.因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以
|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|, |BF1|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2, 所以离心率e= 5 .
【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤
(1)化标准:把椭圆方程化成标准形式.
(2)定位置:根据标准方程分母大小确定焦点位置. (3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值. (4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.
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【变式训练】求椭圆64x2+25y2=400的长轴长、短轴长、焦距、离
5
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3.设P(x,y),由∠APO=90°知:P点在以OA为直径的圆上.
圆的方程是:(x- )2+ay2=( )2⇒ya2=ax-x2
①
2
2
又P点在椭圆上,故:
x2 a2
y2 b2
1
②
把①代入②得:
x2 a2
axb⇒2 x(2a2-1b2)x2-a3x+a2b2=0.
∴e= c 4 ∴mm=31,,∴b= ,c=1, a22
3
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2 ,焦点坐标为 3
F1(-1,0),F2(1,0),顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),
B1(0,- ),B32(0, ). 3
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(2)当m>4时,a= ,mb=2,∴c= , m 4
长轴|A1A2|=_2_a_; 短轴|B1B2|=_2_b_
c e=_a__∈_(_0_,_1_)_
长轴|A1A2|=_2_a_; 短轴|B1B2|=_2_b_
c e=_a__∈_(_0_,_1_)_
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判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点.( ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c.( ) (3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆.( ) 提示:(1)错误.只有椭圆方程是标准方程时,此说法才正确,而此处并未说 明是标准方程,故不正确. (2)正确.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c. (3)错误.离心率e越接近于1,即c越大,这时b越小,椭圆越扁.
2.题2中椭圆的焦点的位置是确定的吗? 探究提示:
1.方程不能确定.离心率的值只决定扁平程度,不能确定椭圆的方程. 2.题中给出的条件只是定量条件,并不能确定焦点位置,所以解题时 应分情况讨论.
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【解析】1.选D.由条件知2c=6且 解c得c=33,,a=5, a5
1.利用公式求离心率的关键是准确确定a和c的值. 2.长轴的顶点到相应焦点的距离为a-c,到另一侧焦点的距离为a+c.
3.求离心率的取值范围的关键是建立a,b,c的齐次不等关系式.
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【解析】1.选D.方程
x 2中,ay22=116,c2=16-8=8, 16 8
离心率e= c ,焦39点坐标为(0,- ),(0, ), 39
39
顶点坐标为a(- ,058),( ,0),(0,5-4),(0,4).
2
2
2
2
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类型 二 利用几何性质求标准方程
【典型例题】
1.(2013·宜春高二检测)焦距为6,离心率e= ,焦点在3 x轴上
5
的椭圆的标准方程是( )
A. x2 y2 1 B.
x2 y2 1
45
16 25

x2
y2
D.
1
x2 y2 1
2.(25013·大4 理高二检测)已知椭圆的2长5轴长16是短轴长的2倍,
且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.
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【解题探究】1.如果只给离心率的值,方程能够确定吗?
C. 3
D. 2
3
2
3
2
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2.(2012·江西高考)椭圆
x2 a2
by(a22 >b1>0)的左、右顶点
分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|
成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. 1
B. 5 C.
D1 . -2
从而b2=a2-c2=16.又∵椭圆焦点在x轴上,所以椭圆的标准
方程为 x2 y2 1. 25 16
2.若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程为
∵椭圆过点A(2,0),∴ =1,a4=2.
xa(22a>bby>22 0),1
∵2a=2×2b,∴b=1,∴方程为a2 +y2x=21.
若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为4
=1(aya22>bxb>220),
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∵椭圆过点A(2,0),∴
02 a2
4 b2
1,
∴b=2,由2a=2×2b,∴a=4,
∴方程为 y2 x2 1.
16 4 综上所述,椭圆的标准方程为
+y2x=21或
4
=y12. x2 16 4
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【互动探究】1.题1中,把“焦点在x轴上”去掉,结果如何?
【解析】焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,由于a=5,b2=16,
故标准方程为 x2 或y2 1 25 16
y2 x2 1. 25 16
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2.题2中,把“经过点A(2,0)”改为“焦点为(2,0)”,结果如何?
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2.求椭圆标准方程的一般方法及步骤 (1)基本方法:待定系数法. (2)一般步骤:
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类型 三 与离心率有关的问题
【典型例题】
1.(2013·大理高二检测)椭圆
x2 的y离2 心 1率为(
)
16 8
A. 1
B. 1
【解析】∵焦点为(2,0),
∴椭圆的焦点在x轴上且c=2,由条件知2a=2×2b,
∴a=2b.又a2-b2=c2,
∴(2b)2-b2=4,即b2= ,a42= , 16
3
3
∴椭圆的标准方程为 x2 y2 16 4 1.
33
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【拓展提升】 1.根据几何性质求椭圆方程的两个关键
(1)定义法:若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a2,b2, 求出a,c的值,利用公式e= 直接c求解.
a (2)方程法:若椭圆的方程未知,则根据条件建立a,b,c满足的关系式,化 为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最 高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
答案:(1)× (2)√ (3)×
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【知识点拨】
对椭圆几何性质的六点说明
(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置.在a>b>0时,方程
x2 a2
y2 b2
1
的(2)焦椭点圆在的范x轴围上决,方定程了椭圆ay的22 的大焦xb小22点,即在1椭y轴圆上.
条直线x=±a,y=±b围成的矩形内.
2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
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第二页，编辑于星期日：十五点 四十六分。
椭圆的简单几何性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)
y2 a2
x2 b2
1
(a>b>0)
图形
范 围 __-_a_≤_x_≤_a_,_-_b_≤_y_≤_b___ ___-_b_≤_x_≤_b_,-_a_≤_y_≤_a___
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探究提示:
1.题1中的方程不是椭圆的标准形式,标准形式是
x2 y2 1
mn
(m≠n且m>0,n>0).当m>n>0时,焦点在x轴上,当n>m>0时,
焦点在y轴上.
2.首先把此方程化成标准形式,因为不确定焦点的位置,
故需要讨论处理.
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故(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,
x≠a,x≠0⇒
又0<x<a,
x
ab2 a2 b2
.
∴0< ab<2 a⇒2b2<a2⇒a2<2c2⇒e>
2.
又∵0<ae2<1b, 2
2
故所求的椭圆离心率的取值范围是 <e<1.2 2
第三十二页，编辑于星期日：十五点 四十六分。
第三页，编辑于星期日：十五点 四十六分。
标准方程 对称性 焦点 焦距 顶点
轴长
离心率
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)
y2 a2
x2 b2
1
(a>b>0)
对称轴:_坐__标__轴__;对称中心:_(_0_,_0_)_
F1_(_-_c_,0_)_,F2 _(_c_,_0_) |F1F2|=_2_c_
2
2
2
2.设椭圆方程为mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为
的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标.
2 1 ,试求椭圆
2
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【解题探究】1.题1中的方程是标准形式吗?如何在标准形式下区分 焦点所在的坐标轴?
2.题2中的方程首先应如何处理?能判断出焦点的位置吗?
位xa2于2 四by22 1
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(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:
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(4)椭圆是轴对称与中心对称图形,具体如下:
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(5)椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,长轴长是 2a,短轴长是2b. (6)在椭圆中,a,b,c都具有实际的具体意义,其中 a——长半轴长,
A1(_-_a_,_0_)_,A2 _(_a_,_0_); B1 _(_0,_-_b_)_,B2 _(_0_,_b_)
F1 _(_0_,_-c_)_ ,F2 _(_0_,_c_) |F1F2|=_2_c_
A1 (_0_,_-_a_)_,A2 _(_0_,_a_); B1 (_-_b_,_0_)_,B2 _(_b_,_0_)
b——短半轴长,
c——半焦距. 它们之间的关系是a2-b2=c2.
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类型 一 利用标准方程研究几何性质
【典型例题】
1.(2013·北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标
是( )
A.(0,- ),(02, ) B.(-1,20),(1,0)
C.(2 ,0),4(-2 ,0) 4 D.(0,2 ),(0,-2 )
【解析】1.选A.把方程化为标准形式得
∴焦点在x轴上,b2= ,∴b1=± , 8
故椭圆短轴的端点坐标为(0,±
2 4 ). 2 4
x2 1
y2 1
1,
8
第十三页，编辑于星期日：十五点 四十六分。
2.椭圆方程可化为 x2 y2 1. 4m
(1)当0<m<4时,a=2,b= m,c=
4, m