高三数学一轮复习精品教案2：两直线的位置关系教学设计

第二节 两条直线的位置关系
考纲传真
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平
行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐
标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，
会求两条平行直线间的距离.
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：
①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0的解． 3．几种距离
(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）
2． (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
．
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝
|C 1－C 2|A 2＋B 2
．
1．(人教A 版教材习题改编)过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0
『解析』 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行， ∴所求直线的斜率为1
2，又直线过(1，0)点，
则直线方程为x －2y －1＝0. 『答案』 A
2．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋1
『解析』 由题意知|a －2＋3|
2＝1，∴|a ＋1|＝2，
又a ＞0，∴a ＝2－1. 『答案』 C
3．(2013·深圳模拟)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )
A ．－7
B ．－1
C ．－1或－7 D.13
3
『解析』 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m
4，
l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为8
5＋m
.
又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－2
5＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，解得m ＝－1或－7.
m ＝－1时，5－3m 4＝8
5＋m ＝2，l 1与l 2重合，故舍去；
m ＝－7时，5－3m 4＝132≠8
5＋m ＝－4，符合题意，故选A.
『答案』 A
4．(2013·金华调研)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．
『解析』 ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×(－2
m )＝－1，∴m ＝1. 『答案』 1
5．若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值为________．
『解析』 由题意得，63＝a －2≠c
－1，∴a ＝－4，c ≠－2.
则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2＝0.
∴21313＝|c 2＋1|
13，
解得c ＝2或－6. 『答案』 2或－6
两条直线的平行与垂直
(1)a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1
『思路点拨』 (1)根据两直线垂直的充要条件，先求a 值，再判断；(2)根据两直线平行或重合的充要条件，求出a 值再检验．
『尝试解答』 (1)由a (a －2)＝－1得a 2－2a ＋1＝0， ∴a ＝1，
故a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的充要条件． (2)由3a －(a －2)a 2＝0得a (a 2－2a －3)＝0，
∴a ＝－1或0或3.检验当a ＝0或－1时两直线平行， 当a ＝3时两直线重合．
『答案』 (1)C (2)D ,
1．解答本题(2)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a 值后，应代入原
直线方程检验出两直线平行时的a 值．
2．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. (2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
(3)若l 3∥l 1，则l 3可设为A 1x ＋B 1y ＋m ＝0(m ≠C 1)． (4)若l 3⊥l 1，则l 3可设为B 1x －A 1y ＋n ＝0.
已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直
线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )
A ．－10
B ．－2
C ．0
D ．8 『解析』 ∵直线l 2的斜率为－2， 又l 1∥l 2，则4－m
m ＋2＝－2，得m ＝－8，
因为l 2⊥l 3，则－1n ＝1
2得n ＝－2，
∴m ＋n ＝－10. 『答案』 A
两直线的交点与距离
(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：
3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．
(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．
『思路点拨』 (1)可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．
(2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解．②结合图形分析l ⊥OP 时满足条件．
『尝试解答』 (1)法一 先解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，
5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1，2)，
再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－5
3，
于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－5
3
(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.
法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ
＝－53，解得λ＝15，
代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝3
4.
此时l 的方程为3x －4y －10＝0.
综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.
②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．
由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1
k OP
＝2.
由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.
∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|
5
＝ 5.,
运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；
(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.
已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间
的距离为5，求直线l 1的方程．
『解』 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n
－1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.
(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0. ∴
|n ＋2|
16＋64
＝5，解得n ＝－22或n ＝18.
所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.
(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成4x －8y －2＝0. ∴|－n ＋2|
16＋64
＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.
对称问题
已知点A 的坐标为(－4，4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．
『思路点拨』 (1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．
『尝试解答』 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋4＝13，
3×x －42＋y ＋4
2－2＝0，解得x ＝2，y ＝6， ∴A ′点的坐标为(2，6)．
(2)法一 在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4，4)的对称点(－8－x ，8－y )必在直线l 上，
∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0， 所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.
法二 由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0， 由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，
解得c ＝18或c ＝－2(舍)，
所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.,
1．本题考查是点关于线对称及线关于点对称的问题．
2．在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )
A ．x －2y ＋3＝0
B ．x －2y －3＝0
C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
『解析』 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0x －x 0＝－（y －y 0）得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，
由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 『答案』 A
一条规律
一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.
两点注意
1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 三种对称
1.点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)．
2．设点P (x 0
，y 0
)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y
0x ′－x 0·k ＝－1，
y ′＋y 0
2＝k ·x ′＋x
2
＋b ，可求出x ′，y ′.
3．直线关于直线的对称．可化归为点关于直线的对称．
从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几乎每年都有涉及，其中有关直线和导数的交汇创新，是近年命题的热点．
创新探究之十 以点到直线距离为载体的新定义题
(2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线
l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________．
『解析』 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－（－4）|2－r ＝22－2
＝2，
对于y ＝x 2＋a ，y ′＝2x ＝1， 故切点为(12，1
4
＋a )，
切点(12，14＋a )到直线l ：y ＝x 的距离为|12－14－a |2
＝2，解得a ＝94或－7
4.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋a ， 消去y ，得x 2－x ＋a ＝0.
由Δ＝1－4a ＜0可得a ＞14，故a ＝94.
『答案』 9
4
创新点拨：(1)利用曲线C 到直线l 的距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙地与导数知识交汇．
(2)考查对新定义、新概念的理解和运用，同时考查思维的创新，考查转化和化归能力． 应对措施：(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系．
(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉．
1．(2013·广州模拟)已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
『解析』 设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，且S △ABC ＝2. 则△ABC 中AB 边上的高h 满足方程1
2×22h ＝2，
即h ＝ 2.
由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|
2.
∴t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，
这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． 『答案』 A
2．(2013·潍坊模拟)已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．
『解析』 法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时， 由k 1·k 2＝－1得t ＝－1.
(2)若l 1的斜率不存在，此时 t ＝1. l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－2
5，
显然l 1⊥l 2，符合条件．
若l 2的斜率不存在，此时 t ＝－3
2，易知l 1与l 2不垂直，
综上可知t ＝－1或t ＝1.
法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0， 解之得t ＝1或t ＝－1. 『答案』 －1或1。