曲面积分中值定理的一个新证明

收稿日期:2006-01-10
作者简介:张晓娇(1984-),女,山东淄博人,大学本科,主要从事数学分析研究.
第21卷第3期
徐州工程学院学报2006年3月V ol.21N o.3Jour nal o f Xuzho u I nstitute of T echno lo gy
M A R.2006曲面积分中值定理的一个新证明
张晓娇,曹　萍
(徐州师范大学数学系,　江苏　徐州　221116)
【摘　要】　对曲面积分中值定理,给出了一个新的证明,并举出相关例子加以应用.
【关键词】　曲面积分;积分中值定理;对称性;曲面面积
【中图分类号】　O172.2　【文献标识码】A 【文章编号】1673-0704(2006)03-0101-03
0　引言
众所周知,在微积分中,中值定理有着重要的应用.随着研究的深入,积分中值定理已被推广于曲面积分中,然而本文的作者却没有发现一个完整详细的证明.因此本文给出了一个规范的证明,并将此定理应用到对称性的证明及对曲面积分的估计值上.同时笔者发现包虎在文献[1]中应用曲线积分中值定理证明对称性时不严密:文[1]在其例1中,仅有曲线关于轴对称,而对f (x ,y )不做要求时,就得出(-N ,G )是C 2的中值点.然而当函数f (x ,y )不是对称函数时,(-N ,G )不一定是C 2的中值点,故对其证明方法加以改进,并应用在本文例1的证明中.
1　主要结论及其证明
引理1　设有光滑曲面
S ∶z =z (x ,y ),(x ,y )∈D ,
f (x ,y ,z )为S 上的连续函数,则
k S f (x ,y ,z )d S =k D f (x ,y ,z (x ,y ))1+f 2x +f 2y d x d y .
引理2　若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续,g (x ,y )在D 上可积且不变号,则存在一点(N ,G )∈D ,使得
k D f (x ,y )g (x ,y )d R =
f (N ,G )k D
g (x ,y )d R .引理3　若空间曲面S 由参量方程x =x (u ,v ),y =y (u ,v ),z =z (u ,v ),(u ,v )∈D 确定,其中D 为可求面积的有界区域,x =x (u ,v ),y =y (u ,v ),z =z (u ,v )在D 上具有连续的一阶偏导数,且5(x ,y )5(u ,v ),5(y ,z )5(u ,v ),5(z ,x )5(u ,v )
中至少有一个不等于零,则曲面S 的面积公式为$S =k D ′
EG -F
2
d u d v .其中:E =x 2u +y 2u +z 2u ,F =x u x v +y u y v +z u z v ,G =x 2v +y 2v +z 2v ;D ′为D 在uv 平面上的像.
定理[1]　若D 为x oy 平面上的有界闭区域,z =z (x ,y )是光滑的曲面S ,函数f (x ,y ,z )在S 上连续,则曲面S 上至少存在一点(N ,G ,F )使・101・
k
S
f(x,y,z)d S=f(N,G,F)$S.其中$S是曲面S的面积
证明:　设曲面S的参数方程为x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)
　其中(u,v)∈D.
则由引理1得
k
S
f(x,y,z)d S=k D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG-F2d u d v.(1)根据引理2存在一点(u0,v0)∈D使得上式为
k
S
f(x,y,z)d S=k D f(x(u0,v0),y(u0,v0),z(u0,v0))EG-F2d u d v.
令F=x(u0,v0),G=y(u0,v0),F=z(u0,v0)及引理1得
k
S
f(x,y,z)d S=f(N,G,F)$S.
从而定理得证.
2　应用
例1:设函数f(x,y,z)在光滑闭曲面S上连续,关于y oz平面对称,那么
(1)若f(x,y,z)是关于x的奇函数,则k S f(x,y,z)d S=0;
(2)若f(x,y,z)是关于x的偶函数,则k S f(x,y,z)d S=2k S1f(x,y,z)d S.
其中S1:x=x(y,z)≥0.
证明:设S1为S在y oz平面的前半部分,即x=x(y,z)≥0,设S2为S在y oz平面的后半部分,即x= x(y,z)<0,则由积分区域的可加性有
k
S
f(x,y,z)d S=k S1f(x,y,z)d S+k S2f(x,y,z)d S.(2)由于f(x,y,z)在光滑闭曲面S上连续,所以f(x,y,z)在S1上连续,根据曲面积分中值定理在S1上至少存在一点(N,G,F)使
k
S
1
f(x,y,z)d S=f(N,G,F)$S1.(3)其中$S1为S1的面积.
(1)当(x,y,z)是关于x奇函数时,有
f(N,G,F)=-f(-N,G,F),
由于S1与S2关于y oz平面对称,所以(-N,G,F)∈S2且
k
S2
f(x,y,z)d S=f(-N,G,F)$S2.(4)因S1与S2关于yoz平面对称,故有$S1=$S2,均记为$S,于是综合(2)、(3)、(4)有如下等式成立
k
S
f(x,y,z)d S=[f(N,G,F)-f(N,G,F)]$S=0$S=0
(2)当f(x,y,z)是关于x的偶函数时,有f(N,G,F)=f(-N,G,F),由于S1与S2关于y0z平面对称,所以(-N,G,F)∈S2且有
k
S
2
f(x,y,z)d S=f(-N,G,F)$S2.(5)因S1与S2关于y oz平面对称,故有$S1=$S2,均记为$S,于是综合(2)、(3)、(5)有如下等式成立・
102
・
k
f(x,y,z)d S=[f(N,G,F)+f(N,G,F)]$S=2f(N,G,F)$S
S
结论得证.
例2　估计积分I=k S ln[1+(x+y+z)2]d S的值.
其中S为球面x2+y2+z2= 1.
解:由条件x2+y2+z2=1知对任意的(x,y,z)∈S,有
0≤(x+y+z)2≤3
由曲面积分中值定理知至少存在一点(x0+y0+z0)使得
I=k S ln[1+(x+y+z)2]d S=ln[1+(x0+y0+z0)2]$S
而
$S=4P12=4P
0=ln(1+0)≤ln[1+(x0+y0+z0)2]≤ln(1+3)=2ln2故
0≤k S ln[1+(x+y+z)2]d S≤4Põ2ln2=8P ln2
即
0≤I≤8P ln2.
注:在此感谢苏简兵副教授对本文的悉心指导.
参　考　文　献
[1]包虎.积分中值定理的推广及其应用[J].内蒙古民族师院学报(自然科学报),1999,(2):185-187.
A New Proving of the Mean Value Theorem of Integral on Surface
ZHAN Xiao-jiao,CAO Ping
(Departmen t of M athematics,Xuz hou Nor mal U nivers ity,Xuzhou,221116,C hina)
【Abstract】　In this paper,a new prov ing o f the mean value theor em o f integral on surface is given, w ith som e application in related cases presented.
【Key words】　sur face integ ral;mean value theorem;symm etry;surface ar ea
・
103
・。