北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理(原卷版)
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专题01勾股定理与折叠问题两种考法全梳理
目录
【方法归纳】 (1)
【考法一、三角形翻折问题】 (1)
【考法二、四边形翻折问题】 (2)
【课后练习】 (4)
【方法归纳】
1.折叠的基本性质:翻折前后对应的边与角相等;
2.对于翻折都不确定的情况,注意分类讨论,避免漏掉解;
3.方程思想:灵活设未知数,通过勾股定理建立方程,解出答案
【考法一、三角形翻折问题】
例.如图,Rt ABC △纸片中,90,6,8C AC BC ∠=︒==,点D 在边BC 上,以AD 为折痕ABD
△折叠得到,AB D AB ''△与边BC 交于点E .若DEB '△为直角三角形,则BD 的长是()
A .2
B .3
C .5
D .2或5
变式1.在△ABC 中,∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点,将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ,连接BE ,则线段BE 的长等于()
A .5
B .7
5C .14
5D .36
5
变式2.如图,在等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒,AB =P 是边BC 上任意一点,连接AP ,将ABP 沿AP 翻折,点B 的对应点为B ',当APB ' 有一边与BC 垂直时,BP 的长为.
变式3.如图,在ABC 中,90C ∠=︒,8BC =,6AC =,点D 为边AC 的中点,点P 为边BC 上任意一点,若将CDP △沿DP 折叠得EDP △,若点E 在ABC 的中位线上,则CP 的长度为.
变式4.在Rt ABC △中,9068C AC BC ∠=︒==,,,将BDE 沿直线DE 折叠,使B 落在AC
的三等分点B '处,求CE 的长.
【考法二、四边形翻折问题】
例.在长方形ABCD 中,5AB =,12BC =,点E 是边AD 上的一个动点,把BAE 沿BE 折叠,点A 落在A '处,当A DE ' 为直角三角形时,DE 的长为()
A .7
B .26
3C .7或26
3D .以上答案均不对
变式1.如图,已知矩形纸片ABCD 的两边长分别为6AB =,8AD =,点P 是边AD 上的动点,将纸片沿直线BP 折叠,点A 落到A '处,设AP x =,当点A '恰好在矩形纸片的对称轴上时,则x 的值为.
变式2.如图,长方形纸片ABCD ,10,8AB BC ==,点P 在BC 边上,将CDP △沿DP 折叠,点C 落在E 处,PE ,DE 分别交AB 于点O ,F ,且OP OF =,则AF 长为.
变式3.如图,长方形ABCD 中,3AD =,5AB =,点E 为射线DC 上一动点(不与D 重合),将ADE V 沿AE 折叠得到D AE ' ,连接D B ',若ABD '△为直角三角形,则AE =
变式4.在四边形ABCD 中,90,10,8DAB B C D AB CD BC AD ∠=∠=∠=∠=︒====.
(1)若P 为边BC 上一点,如图①将ABP 沿直线AP 翻折至AEP △的位置,当点B 落在CD 边上点E 处时,求PB 的长;
(2)如图②,点Q 为射线DC 上的一个动点,将ADQ △沿AQ 翻折,点D 恰好落在直线BQ 上的点D '处,求DQ 的长.
【课后练习】
1.如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,6AC =,8BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B '处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则线段DF 的长为()
A
B C .8
5D .6
5
2.如图,Rt ACB △中,90ACB ∠=︒,10,8AB BC ==,点D 为线段CB 上一个动点,将ADB 沿直线AD 翻折得到ADE V ,线段AE 交直线CB 于点F .若DEF 为直角三角形,则BD 的长是.
3.如图,在ABC 中,906C AC BC ∠=︒==,,点D 、E 分别在AC 边和AB 边上,沿着直线DE 翻折ADE V ,点A 落在BC 记为点F ,如果2CF =,则BE 的长为.
4.如图,已知ABC 为等腰直角三角形,4AB AC ==,点E 为AC 上一点,且1CE =,点D 为边AB 上一点,连接DE ,将ADE V 沿DE 折叠得到A DE ' ,若EA '的延长线恰好经过点B ,则AD =.
5.如图,把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,点C 与A 重合,点D 落在点G 处.若长方形的长BC 为8,宽AB 为4,则阴影部分的面积为.
6.如图,在Rt ABC △中,90B ∠=︒,4AB =,3BC =,延长BC 至E ,使得CE BC =,将ABC 沿AC 翻折,使点B 落点D 处,连接DE ,求DE 的长.
7.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,D 是AB 上的一点,连接CD .将ACD 沿CD 折叠,使点A 落在A '处,且A C 'AB ⊥于点E ,若6CD =,5BD =.则线段CE 的长为.
8.如图,等腰△ABC ,AB =AC =5,BC =8,点D 为BC 上一点,且BD =AB ,连接AD ,将△ACD 沿AD 翻折得到△AED ,连接BE ,则BE 的长为.
9.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处,再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B '处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E ,F ,则B DF ' 的面积为.
10.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,P 为斜边AB 上的一动点(不包含A ,B 两端点),以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP ' ,连结BA '.当A P AB '⊥时,BA '的长为.
11.探究式学习是新课程提倡的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.
【初步感知】
(1)如图1,在三角形纸片ABC 中,90C ∠=︒,18AC =,将A ∠沿DE 折叠,使点A 与点B 重合,折痕和AC 交于点E ,5EC =,求BC 的长;
【深入探究】
(2)如图2,将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠,使点C 落在C '处,BC '交AD 于E ,若4AB =,8BC =,求AE 的长(注:长方形的对边平行且相等);
【拓展延伸】
(3)如图3,在长方形纸片ABCD 中,5AB =,8BC =,点E 为射线AD 上一个动点,把ABE 沿直线BE 折叠,当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时,求AE 的长(注:长方形的对边平行且相等).。