高中数学新人教版A版精品教案《2.3.2 离散型随机变量的方差》

“离散型随机变量的方差”教学设计
授课教师：巫宇霞（北京市日坛中学）
授课时间：一、教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的《离散型随机变量的均值与方差》中的内容，属于新授概念课．
随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差分别从不同角度刻画了随机变量的特征．随机变量的均值刻画了随机变量取值的平均水平，方差刻画了随机变量取值的离散程度．由于它们反映了随机变量取值的平均水平及稳定性，所以随机变量的均值和方差在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用．
本节课内容是在学生学习了离散型随机变量的分布列和均值的基础上进行研究的，后续还要学习连续型随机变量的概率分布规律，本节课也是必修3“统计”与“概率”两章知识的进一步深入和扩展．同时本节课内容反映了类比的思想、统计思维与确定性思维的差异以及用样本估计总体的统计思想．
二、学生学情分析
学生学习了统计与概率的相关知识，会计算样本的数字特征，并对其作出合理的解释，能分别用样本的频率分布和数字特征估计总体的频率分布和数字特征，初步具有用样本估计总体的思想．能够理解取有限值的离散型随机变量及其分布、均值的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，初步认识分布列对于刻画随机现象的重要性．
但是，本节课需要学生通过实例理解取有限值的离散型随机变量方差的概念和含义，如何由样本的方差得到离散型随机变量的方差，如何定性、定量的分析随机变量的稳定性，如何整体把握随机变量的方差对学生来说都是挑战．
根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：
：离散型随机变量的方差的含义．
教学难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题
三、教学目标设置
依据课程标准，基于上述分析，我确定本课的教学目标如下：
（一）通过对具体实例的分析，归纳概括离散型随机变量的方差的概念和含义，并能利用离散型随机变量的方差解决简单的实际问题；
（二）经历从样本到总体的研究过程，体会统计思维与确定性思维的差异，经历从均值到方差的研究过程，体会类比的思想；
（三）能用数据呈现的规律解释随机现象，感受数学的应用价值四、教学策略分析
根据布鲁纳的学习理论，在教学过程中，学生是一个积极的探究者．教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，要让学生自己去思考，参与知识获得的过程以及建立该学科的知识体系的过程．本节课采用发现教学法和问题教学法相结合的教学方法，给学生创设问题情境，组织学生探索活动，让学生提出学习问题和解决这些问题，为学生提供了一个交流、合作、探索、发展的平台，使学生在问题解决中感受数学的价值和魅力．另外，本节课采用图形计算器辅助教学，增强直观性，提高课堂效率．
五、教学过程
（一）复习回顾
师：回顾一下我们之前是如何从样本的平均数得到离散型随机变量的均值？
【设计意图】复习离散型随机变量的均值的推导过程，为类比均值得到方差的公式做铺垫．
（二）情境引入
问题1：要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛．分别让两名同学各射击2021甲击中目标靶的环数的统计表为
环数 5 6 7 8 9 10
次数 1 2 4 6 5 2
乙击中目标靶的环数的统计表为
环数 6 7 8 9
次数 2 4 8 6
如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，要选一名同学参加射击比赛，本班应该派哪位同学参赛？请结合所学知识说明理由．
学生1：分别画出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的频率分布折线图
根据频率分布折线图，乙击中8环和9环的频率高于甲，所以选乙．
学生2：分别计算甲、乙两名同学射击2021平均环数和标准差，
甲
乙
甲、乙两名同学射击的平均环数都是环，但甲的标准差大于乙的标准差，说明乙同学发挥稳定，所以选乙． 学生3：分别画出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的散点图和直线7.9y =
乙同学击中目标靶的环数集中在平均数7.9附近，所以乙同学的射击水平更稳定． 追问：统计中我们用一个什么量来刻画样本的稳定性呢？ 生：样本的方差
思考：给出这2021本数据的方差公式，并具体说明方差中各个量的含义，进一步说明方差到底是什么？以及方差反映了什么？
生：2
22212201
[()()()]20
s x x x x x x =
-+-++-，||i x x -表示i x 与x 的距离，2)(x x i -表示i x 与x 的距离
的平方，
n
1
表示每个样本所占的权重，方差是样本数据到平均数的距离平方和的均值，反映了样本数据偏离于平均数的平均程度． 追问：方差越小，说明什么？
【设计意图】采用射击比赛引入本节课内容，激发学生的学习兴趣和探究热情，也为引入取有限值的离散型随机变量的方差的定义和含义做铺垫．
思考：总结一下如何对样本数据进行分析，并作出科学合理的解释？
生：一方面可以画图，从图形的角度分析数据的分布规律，另一方面可以计算数据的均值、标准差等数字特征，从数的角度分析数据的分布规律．
问题2：在与问题1相同的条件下，甲、乙两名同学进行大量的射击试验，得到甲同学击中目标靶的环数1X 的分布列为
乙同学击中目标靶的环数2X 的分布列为
如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，要选一名同学参加射击比赛，如何根据分布列，作出科学合理的选择？
学生1：8)(1=X E ，8)(2=X E ，发现均值相等，因此只根据均值不能区分两名同学的射击水平． 学生2：分别画出两个随机变量的分布列，比较两个图形，可以发现，虽然两名同学射击的平均环数都是8环，第二名同学的射击成绩更集中于8环，第二名同学发挥更稳定．
【设计意图】引导学生思考如何选择参加射击比赛代表问题，激发学生学习探究的兴趣，为引入刻画随机变量稳定性的概念—方差做铺垫．
生：需要找一个数字特征来刻画随机变量的稳定性． （三）构建概念
思考：当样本中出现1m 个1x ，2m 个2x ， ，n m 个n x 时，样本的方差公式是什么？进一步类比随机变量的均值公式的推导过程给出随机变量的方差公式．
生：样本中有1m 个1x ，2m 个2x ， ，n m 个n x ，样本的方差
1
22222111222
1
11212222
11221[()()()()]
()()()()()n
n n n m m n
n n
n
n n s x x x x x x x x m m m m m x x x x m m m m m m f x x f x x f x x =-+
+-++-+
+-++=
-+
+-++
++
=-+-++-
随着样本容量不断的增加，x
越来越接近随机变量的均值)(X E ，i f 越来越接近随机变量取i x 的概率i p ，随机变量的方差2
1
()(())
n
i
i i D X x E X p ==
-∑．
思考：2
)(x x i -表示i x 与x 的距离的平方，可以称之为i x （1=i ，2， ,n ）相对于x 的偏离程度，能否
具体说明随机变量的方差中各个量的含义，进一步说明方差到底是什么？以及方差反映了什么？ 生：2
(())i x E X -描述了i x 相对于均值)(X E 的偏离程度， 2
1
()(())
n
i
i i D X x E X p ==-∑表示这些偏离程度的加
权平均，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度。

追问：方差越小，说明什么？ 生：方差越小，数据的离散程度越小．
这样就得到了离散型随机变量的方差的定义： 若离散型随机变量X 的分布列为
则2(())i x E X -描述了i x 相对于均值)(X E 的偏离程度．而
i n
i i
p x E x
X D ∑=-=
1
))(()(2
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值)(X E 的平均偏离程度．我们称)(X D 为随机变量X 的方差，并称其算数平方根)(X D 为随机变量X 的标准差．
【设计意图】引导学生类比样本方差的定义和意义得出取有限值的离散型随机变量的方差的定义和意义，既体验了类比思想又体验了统计思想
师：随机变量的数字特征都是有单位的，为了单位统一，我们也会用标准差来刻画随机变量的稳定程度． （四）理解概念
思考：对于问题2中，能否从方差的角度分析应该派哪名同学参赛？
生：1() 1.5D X =，2()0.82D X =，所以乙同学射击的稳定性要好于甲同学。

追问1：如果其他班级的参赛选手的成绩在9环左右，又该派哪位同学参赛？ 生：如果其他班级的参赛选手的成绩在9环左右，应该派第一名同学参赛． 思考：离散型随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系？
生：随机变量的方差是常数，样本的方差是变化的，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差． （五）例题讲解
例1有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
【设计意图】引导学生灵活运用随机变量的均值和方差的含义解决实际问题．
例2随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差．
【设计意图】引导学生利用方差的定义计算离散型随机变量的方差和标准差．
（六）归纳小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？
（2）在随机变量的方差的探究上，我们用了哪些研究问题的方法，体现了哪些数学思想？
【设计意图】让学生回顾本节课所学内容以及研究方法，有利于学生系统地掌握所学内容，有利于体会各种研究数学的方法之间的区别和联系以及其中蕴含的数学思想
（七）布置作业
（1）类比均值的性质，推导离散型随机变量方差的性质；
（2）课本P68 A组1、5。