2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷答案解析

1
，故
f
x
1 sin a cos a
sin
x
cos
x
22.
解:
f
x
x 1 3 x
3
3
x
x
2
1
2 3
x
1
2
2
x
1
1
1
1 x
1
，因为
2
1
1
x
n0
xn,
x
1,1，所以展开式为：
f
x
1
1
1 x
1
1
n0
x
1n
2n
，因为
2
1
x 1 2
1
x 1,3，故
f
x
1
n0
x 1n
2n
，收敛域为：
（2） a 0
（1）当 0 a 1时，
S S1 S2
a (ax x2)dx
0
1(x2 ax)dx a3 a 1
a
3 23
令 S(a) a2 1 0 ，求得 a 2 ，又 S(a) 2a ， S( 2 )
2
2
2
S( 2 ) 2 2 是极小值，即最小值
2
6
2 0 ，知
为任意常数）
18. 解:原式 4 e2x sec2 x 2 tan x dx 4 e2x sec2 xdx 2 4 e2x tan xdx
0
0
0
பைடு நூலகம்
4 e2xd (tan x) 2 4 e2x tan xdx e2x tan x 4 2 4 e2x tan xdx 2 4 e2x tan xdx
得： 2xdx 2ydy x2 y2
2ydy
d(ln(x2 y2)) d(y2) ，所以通解为： ln
x2 y2
y2 C
（ C 为任意常数）
二、选择题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
题号
1
2
3
4
答案
A
D
C
D
9.A 解析: 因为 f (1) lim f (x) lim (3x2 2ln x) 3，
x 1,3
四、综合题： 本题共 3 小题，共 20 分。其中第 1 题 10 分，第 2 题 6 分，第 3 题 4 分。
23. 解: 因为 a 1，所以可分成 0 a 1， a 0 两种情况，分别画出两种情况下的图 形，求出 S1 S2 的最小值后，即可确定 a 的值。
（1） 0 a 1
f
x
f
sin
0 ，即
x 2
1
，所以 sin
x
x
x
2
（2）当 a 0 时，
S S1 S2
0
(ax
x
2
)dx
a
1(x2 ax)dx a3
0
6
a1 23
因为 S(a) 1 a2 1 0 ，所以 S 单调递减，故 a 0 时， S(0) 取得最小值，此时 S(0) 1
22
3
又因为 S( 2 ) 2 2 1 2 1 S(0) ，比较可知，当 a 2 时， S( 2 ) 2 2
（ C 为任意常数）
解析:
1
cot x sin
x
dx
(1
cos x sin x)sin
x
dx
1 (1 sin x)sin
x
d (sin
x)
1 sin
x
d (sin
x)
1
1 sin
x
d (sin
x)
ln
sin
x
ln 1 sin
x
C
ln sin x C （ C 为任意常数） 1 sin x
25!
0
0
0
0
0
e2x tan x 4 e 2 0
19.
解:平行于直线
2x y x 2 y
3z 5z
0 1
的直线的方向向量为：
i jk
S 2 1 3 i 7 j 3k
1 2 5
又因为直线过点 1,1,1，所以所求直线方程为 x 1 y 1 z 1
1 7 3
20. 解: 令 x cos ， y sin ， x2 y2 2 a2
5. 1 x6
解析:
y 1 1 1 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x x
2 1 x
，
y
( 2 ) 1 x
2
1 x2
，
y
22
1 x3
，
y
223
1 x4
，
y4
2234
1 x5
，
y 5
22345
1 x6
2 5!
1 x6
6. 4
解析:
sin7 x sin9 xdx
sin7 x(1 sin2 x)dx
sin x sin x
lim
cos
x
1 e
，因此
x是
x
的同阶但非等价无穷小，所以选
x0
x0
项 C 正确
12.D
解析:依题意可知，
y
1 x
，因此
dy dx
1 x2
，所以 lim xe
dy dx
1 e2
，所以选项
D
正确
三、计算题：本题共有 10 小题，每小题 7 分，共 70 分。计算题必 须写出必要的计算过程， 只写答案的不给分。
dx du dk dx
3. 0 解析: 因为 xn xn 1 x2 2xn ，所以 1 1 xn 1 x2 dx 2 ，且
n 1 0
n 1
lim 1 0 ， lim 2 0 ，故由夹逼定理： lim 1 xn 1 x2 dx 0
n n 1
n n 1
n 0
4. ln sin x C 1 sin x
y x dxdy
2
d
a 2 cos sin d a3
2
cos sin d
0
0
D
30
a3 [
3
4 (cos sin )d
0
5
4
(sin
cos )d
4
2
5 (cos sin )d ]
4
a3 [ 2 1 2 2 1 2] 4 2 a3
3
3
21. 解: 两边同时对 x 求导，得到： f x f a x，再两边同时对 x 求导，得到： f x f a x，因为: f x f a x f a x f a (a x) f (x) ，因 此有： f x f (x) ，即： y y 0 ，特征方程： r2 1 0 ，特征根为：
7
sin 2 x cos x dx
9
0
0
0
7
2 sin 2 x cos xdx
0
7
sin 2
2
x cos
xdx
2
sin
9 2
9
x
2
0
2
sin
9 2
9
x
2 (0 2) 4 9 99
2
7. du 2cos2x y ex3y dx cos2x y 3ex3y dy
xy y x2 y2
x yy x2 y2
x
x yy x y y x y xy y x yy
x y
15. 解:令t
x ， lim 1 cos
x0
x
x
lim
t o
1
cos t2
t
洛
lim t o
sin t 2t
1 2
16. 解: 原式 1 e3sin x2 d 3sin x 2 1 e3sin x2 C （ C 为任意常数）
1
，但
lim
n
an
，故选
项 A 错误
选项
B:若要满足 lim n
an1 an
lim
n
an
1
lim
n
an
，则必须要
lim
n
an1
和
lim
n
an
的极限均存在，并且
lim
n
an
A
0 ，所以选项
B
错误
选项 C：若要满足 nlim(an )bn
AB
，则必须要
lim
n
an
A 0 ，所以选项 C 错误
选项 D：由条件可知， a2n a2n1 ，且数列 a2n收敛，所以数列 a2n1 也收敛，又因为
x 1
x 1
lim f (x) lim 3 x 1sin 1 3 ，所以有 lim f (x) lim f (x) f (1) 3 ，故函
x 1
x 1
x 1
x1
x1
数 f x 在 x 1处连续，因此选 A
10.D
解析:
选项
A:若 an
n ，则 an1
n 1，满足 lim n
an1 an
2007 年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》
参考答案
一、填空题: 本大题共 8 个空格，每一空格 5 分，共 40 分。
1. (2,3) (3,)
解析:
lg( x 2) x 2 0
0
x x
3 2
，取交集后得到：
(2,3)
(3,)
2. 3sin2 x cos x 5sin3 x ln 5 解析: 复合情况为： y 5u ，u k3 ， k sin x ，由复合 函数的求导公式可得： dy dy du dk 5u ln 5 3k 2 cos x 3sin2 x cos x 5sin3 x ln 5
偶数列a2n和奇数列 a2n1都收敛，则数列an 收敛，所以选项 D 正确
11.C
解析:
由题意可知，
lim
x0
x x
lim
x0
xsin t dt
sin x
0
sin x
t 1 t
1
t dt
lim x0
x
1
1 sin x sin x
cos x
0
sin x
lim 1
lim x0 x
1
3
3
17.解: 原式＝
xd (ex 1) 1 ex 2
xd
e
1 x
1
e
x
x
1
1 dx ex 1
x 1 ex ex dx x 1dx ex dx x x 1 d(ex 1)
ex 1
ex 1
ex 1
ex 1
ex 1
ex 1
x ex 1
x
ln(ex
1)
C
（
C
25.解:设
f
x
sin
x 2
1
， (0 x )
x
x cos x sin x cos x ( x tan x )
所以 f x 2
2 x2
2
22 x2
2
当 0 x 时， cos x 0 ， tan x x ，故 f x 0 ，所以函数 f x 在 (0, ) 内单调
2
22
递减，因此有
2
6 363
2
26
是最小值
24. 解: I
1
[
0
x x2
f
(
y)dy]dx
，积分区域为：
x2
y
0 x 1
x ，交换积分次序，可得积分区域
为：
y2
x
0 y 1
y ，故 I
1
[
y
1
f ( y)dx]dy [ f ( y)(
0 y2
0
y y2)]dy
1
[ f (x)(
0
x x2)]dx
13. 解: 对函数进行恒等变形，得到： y 2ln cos x 1 ln 1 ln 4 x 2
求导后得到：
y 2 tan x
1
4 ln3
x
1 x
2 tan x 2
ln3 x
2 1 ln4 x
x 1 ln4 x
14.
解:
方程两边对
x
求导数，得：
1
1 y
2
xy x2
y
1 2
2x 2yy x2 y2
r1 i, r2 i ，齐次方程通解为： y C1 sin x C2 cos x ， y C1 cos x C2 sin x ，令
x 0 ，得到： f (0) 1， f a f a a 1，因此代入上述通解得到：
1 1
C2 C1 cos
a
C2
sin
a
，所以： C1 C2
1 sin a cos a
解析: du 2 cos2x y ex3y ， du cos2x y 3ex3y
dx
dy
所以： du 2cos2x y ex3y dx cos2x y 3ex3y dy
8. ln x2 y2 y2 C （ C 为任意常数）
解析: xdx x2 y y3 y dy 0 xdx ydy y x2 y2 dy 0 ，同除以 1 ，可 x2 y2