(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题专题五第三讲综合验收评估(北师大版)

一、选择题
1．以椭圆x 216＋y 2
4＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在直线的方程为 A ．4x －y －3＝0 B ．x －4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －5＝0
D ．x ＋4y －5＝0
解析 设弦的两个端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则有x 2116＋y 21
4＝1，① x 2216＋
y 224＝1.② ②－①得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)16＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)
4
＝0，
整理得
y 2－y 1x 2－x 1＝－416·x 2＋x 1y 2＋y 1
＝－416×22＝－14， 即斜率k ＝－14，
所以所求直线方程为y －1＝－1
4(x －1)， 整理得x ＋4y －5＝0. 答案 D
2．已知椭圆x 24＋y 2
3＝1，若此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是
A.⎝
⎛⎭⎪⎫
－
21313，2213 B.⎝
⎛⎭⎪⎫
－
21313，21313 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－213
，
21313
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2313，2313 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝
y 2－y 1x 2－x 1
＝－1
4， x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y,3x 21＋4y 2
1＝12① 3x 22＋4y 22＝12②
①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，
即y1＋y2＝3(x1＋x2)，
即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，而M(x，y)在椭圆的内部，
则m2
4＋
9m2
3＜1，即－
213
13＜m＜
213
13.
答案 B
3．(2011·四平模拟)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，
PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A、P、N三点共线时取等号．
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排除A、C、D，故选B.
答案 B
4．已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A．[1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析因为双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为
60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以该直线的斜率的绝对值小于等
于此双曲线渐近线的斜率的绝对值b
a，即
b
a≥ 3.因为e
2＝
c2
a2＝
a2＋b2
a2，所以e≥2，
故选C.
答案 C
5．如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →
时，椭圆的离心率为5－1
2，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于
A.
5＋12
B.52
C.5－1
D.5＋1
解析 如图，依题意知， 在Rt △ABF 中，FB ⊥AB ， ∴BF 2＋AB 2＝AF 2，BF ＝c 2＋b 2， AB ＝a 2＋b 2＝c ，AF ＝a ＋c ， 即有c 2＋b 2＋c 2＝(a ＋c )2， 化简得c 2－a 2＝ac ， 即e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
e ＝1－52舍去. 答案 A
6．动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为
A ．y 2＝4x
B ．y 2＝8x
C ．x 2＝4y
D ．x 2＝8y
解析 等价于点P 到点A 的距离和到直线y ＝－2的距离相等， 根据抛物线定义，动点的轨迹是以点A 为焦点， 直线y ＝－2为准线的抛物线，焦参数p ＝4， 故所求的抛物线方程为x 2＝8y . 答案 D 二、填空题
7．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为60°，则b 2＋1a 的最小值是________．
解析 根据b
a ＝3，即
b ＝3a ， ∴b 2＋1a ＝3a 2＋1a ＝3a ＋1
a ≥23， 当且仅当3a ＝1a ，即a ＝3
3时等号成立． 答案 2 3
8．(2011·南昌模拟)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程是________．
解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ
→，得
(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简，得y 2＝4x .故填y 2＝4x . 答案 y 2＝4x
9．已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1
b 的值为________．
解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2
b ＝1， 得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a
a －
b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b
.
OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)
＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.
所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，
即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2
三、解答题
10．(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a ＞b ＞0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝
－2，求点M 的轨迹方程．
解析 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．
由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c
a －1＝0，
得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.
(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．
A ，
B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2，
y ＝3(x －c ).
消去y 并整理，得5x 2－8cx
＝0.解得x 1＝0，x 2＝8
5c ，得方程组的解⎩⎨
⎧
x 1＝0，y 1＝－3c ，
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＝8
5c ，y 2＝335c .
不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
85
c ，
335c ，B (0，－3c )． 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ， BM →
＝(x ，y ＋3c )．
由y ＝3(x －c )，得c ＝x －3
3y .
于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )． 由AM →·BM
→＝－2，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
85y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0.
将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －3
3y ，得c ＝10x 2＋516x ＞0.
所以x ＞0.
因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x ＞0)．
11．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B .
(1)①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
②若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，求椭圆离心率e 的取值范围． (2)设直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，求证：a 2|ON |2＋b 2
|OM |2为定值． 解析 (1)①∵圆O 过椭圆的焦点，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.
②由∠APB ＝90°及圆的性质，可得|OP |＝2b ， ∴|OP |2＝2b 2≤a 2，∴a 2≤2c 2， ∴e 2≥12，即2
2≤e ＜1.
(2)证明 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由P A ⊥OA 得
y 0－y 1x 0－x 1＝－x 1
y 1
， 整理得x 0x 1＋y 0y 1＝x 2
1＋y 21，
∵x 21＋y 21＝b 2，∴P A 的方程为x 1x ＋y 1y ＝b 2.
同理PB 的方程为x 2x ＋y 2y ＝b 2. P A 、PB 都过点P (x 0，y 0)， ∴x 1x 0＋y 1y 0＝b 2且x 2x 0＋y 2y 0＝b 2， ∴直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 2. 令x ＝0，得|ON |＝|y |＝b 2
|y 0
|，
令y ＝0，得|OM |＝|x |＝b 2
|x 0
|，
∴a 2|ON |2＋b 2|OM |2＝a 2y 20＋b 2x 20b 4
＝a 2b
2
b 4＝a 2b 2.
∴a 2|ON |2＋b 2|OM |2为定值，定值是a 2b 2.
12．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →||MP →|
＋MN →·NP
→＝0. (1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)设过点N 的直线l 斜率为k ，且与曲线C 相交于点S 、T ，若S 、T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，求Q 点横坐标的取值范围．
解析 (1)设点P (x ，y )，根据题意则有：
MN
→＝(4,0)，|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，NP →＝(x －2，y )，
代入|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 整理得点P 的轨迹C 的方程y 2＝－8x . (2)设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，
由题意得ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)，与y 2＝－8x 联立消元得ky 2＋8y ＋16k ＝0，
则有y 1＋y 2＝－8
k ，y 1y 2＝16，
因为直线l 交轨迹C 于两点，则Δ＝64－64k 2＞0， 再由y 1＞0，y 2＞0，则－8
k ＞0，故－1＜k ＜0， 可求得线段ST 中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4
k 2＋2，－4k ，
所以线段ST 的垂直平分线方程为y ＋4
k ＝－1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋4k 2－2，
令y ＝0得点Q 的横坐标为x Q ＝－2－4
k 2＜－6，
所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．。