2012年广东卷高考理科数学试题

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设i 为虚数单位，则复数
=-i
i 65 A.i 56+ B.i 56- C.i 56+- D.i 56--
2.设集合1{=U ，2，3，4，5，}6，1{=M ，2，}4，则=M C U
A.U
B.1{，3，}5
C.3{，5，}6
D.2{，4，}6 3.若向量2(=BA ，)3，4(=CA ，)7，则=BC
A.2(-，)4-
B.3(，)4
C.6(，)10
D.6(-，)10-
4.下列函数中，在区间0(，)∞+上为增函数的是
A.)2ln(+=x y
B.1+-=x y
C.x y )21
(= D.x
x y 1+= 5.已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则y x z +=3的最大值为
A.12
B.11
C.3
D.-1
6.某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A.π12
B.π45
C.π57
D.π81
7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A.
94 B.31 C.92 D.91 8.对任意两个非零的平面向量a 、b ，定义b
b b a b a ⋅⋅=．若平面向量a 、b 满足0||||>≥b a ，a 与b 的夹角0(∈θ，)4π，且b a 和b a 都在集合}|2{Z n n ∈中，则=b a
A.21
B.1
C.23
D.2
5 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9.不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________．
10.2
61()x x
+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答） 11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12.曲线33y x x =-+在点1(，)3处的切线方程为__________．
13.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为_______．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xOy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数
方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为____________．
15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足︒=∠30ABC ，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数()2cos()6f x x πω=+
（其中0>ω，R x ∈）的最小正周期为10π． ⑴求ω的值；
⑵设α、0[∈β，]2π，56(5)35f πα+
=-，516(5)617f πβ-=，求cos()αβ+的值． 17．（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
40[，)50，50[，)60，60[，)70，70[，)80，80[，)90，90[，]100.
⑴求图中x 的值；
⑵从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
18．（本小题满分13分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．
⑴证明：BD ⊥平面PAC ；
⑵若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．
19．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1122
1n n n S a ++=-+，*n N ∈，且1a ，52+a ，3a 成等差数列．
⑴求1a 的值；
⑵求数列{}n a 的通项公式；
⑶证明：对一切正整数n ，有
1211132
n a a a ++⋅⋅⋅+<． 20．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率e =且椭圆
C 上的点到点0(Q ，)2的距离的最大值为3．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵在椭圆C 上，是否存在点m M (，)n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A B 、，且O A B ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
设1a <，集合}0|{>∈=x R x A ，2{23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B = ． ⑴求集合D （用区间表示）；
⑵求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．。