「精品」高中数学课时作业22两角和与差的正弦余弦北师大版必修4
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9．化简下列各式：
(1)sin ＋2sin － cos ；
(2) －2cos(α＋β)．
解析：(1)原式＝sinx·cos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosx·sin － cos ·cosx－ sin sinx
＝ sinx＋ cosx＋sinx－ cosx＋ ·cosx－ sinx
＝ sinx＋ cosx＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝ .
10．已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β的值．
解析：因为α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，
所以cosα＝ ，sinβ＝ .
所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝ × － × ＝－ .
又因为α，β均为锐角，
所以－ <α－β< .故α－β＝－ .
所以cosβ＝ .
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝ × ＋ × ＝ .
14．已知sin ＝－ ，sin ＝ ，其中 <α< ， <β< ，求角α＋β的值．
解析：因为 <α< ，
所以－ < －α<0.
因为 <β< ，
所以 < ＋β< .
由已知可得co为[－ ， ]．
答案：B
5．已知cos ＋sinα＝ ，则sin 的值为()
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为cos ＋sinα＝ ，
所以cosαcos ＋sinαsin ＋sinα＝ ，
所以 cosα＋ sinα＝ ，
即 cosα＋ sinα＝ .
所以sin ＝ .
|
11．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为()
A. B.
C. 或 D. 或
解析：由已知可得(3sinA＋4cosB)2＋(3cosA＋4sinB)2＝62＋12，
即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝ .所以在△ABC中sinC＝ ，所以C＝ 或C＝ .又1－3cosA＝4sinB>0，所以cosA< .
又 < ，所以A> ，所以C< ，
所以C＝ 不符合题意，所以C＝ .
答案：A
12．已知cos ＋sinα＝ ，则sin 的值是________．
解析：本题考查三角函数的诱导公式、和角公式以及计算能力．
∵cos ＋sinα＝cosαcos ＋sinαsin ＋sinα
＝ cosα＋ sinα，∴ cosα＋ sinα＝ ，
课时作业22两角和与差的正弦、余弦
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin105°的值为()
A. B.
C. D.
解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝ × ＋ × ＝ .
答案：D
2．化简 cosx＋ sinx等于()
A．2 cos B．2 cos
解析：sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝ ，
即sinβ＝－ ，
又β是第三象限角，
所以cosβ＝－ ，
所以sin ＝sinβcos ＋cosβsin ＝ × ＋ × ＝ .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
∴ cosα＋ sinα＝ ，即sin ＝ .
又sin ＝sin ＝
－sin ＝－ .
答案：－
13．已知α∈ ，β∈ ，且cos(α－β)＝ ，sinβ＝－ ，求sinα.
解析：因为α∈ ，
β∈ ，
所以α－β∈(0，π)．
因为cos(α－β)＝ ，
所以sin(α－β)＝ .
因为β∈ ，sinβ＝－ ，
解析：cos ＝cosαcos －sinαsin ＝ cosα－ sinα，sin ＝sinαcos －cosαsin ＝ sinα－ cosα，
所以 sinα＝ cosα，
故tanα＝1.
答案：1
8．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝ ，β是第三象限角，则sin ＝________.
C．2 cos D．2 cos
解析： cosx＋ sinx＝2 ＝2
＝2 cos .
答案：B
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，则△ABC是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sinBcosC，
所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
cos ＝－ ，
则cos(α＋β)＝cos
＝cos cos ＋
sin sin
＝ × ＋ × ＝－ .
因为 <α＋β<π，
所以α＋β＝ .
即sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
4．函数f(x)＝sinx－cos 的值域为()
A．[－2,2] B．[－ ， ]
C．[－1,1] D.
解析：因为f(x)＝sinx－cos
＝sinx－cosxcos ＋sinxsin
＝sinx－ cosx＋ sinx
所以sin ＝－sin(α＋ )＝－ .
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin165°的值是________．
解析：sin165°＝sin(120°＋45°)＝sin120°cos45°＋cos120°sin45°＝ · － · ＝ .
答案：
7．已知cos ＝sin ，则tanα＝________.
(1)sin ＋2sin － cos ；
(2) －2cos(α＋β)．
解析：(1)原式＝sinx·cos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosx·sin － cos ·cosx－ sin sinx
＝ sinx＋ cosx＋sinx－ cosx＋ ·cosx－ sinx
＝ sinx＋ cosx＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝ .
10．已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β的值．
解析：因为α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，
所以cosα＝ ，sinβ＝ .
所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝ × － × ＝－ .
又因为α，β均为锐角，
所以－ <α－β< .故α－β＝－ .
所以cosβ＝ .
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝ × ＋ × ＝ .
14．已知sin ＝－ ，sin ＝ ，其中 <α< ， <β< ，求角α＋β的值．
解析：因为 <α< ，
所以－ < －α<0.
因为 <β< ，
所以 < ＋β< .
由已知可得co为[－ ， ]．
答案：B
5．已知cos ＋sinα＝ ，则sin 的值为()
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为cos ＋sinα＝ ，
所以cosαcos ＋sinαsin ＋sinα＝ ，
所以 cosα＋ sinα＝ ，
即 cosα＋ sinα＝ .
所以sin ＝ .
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11．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为()
A. B.
C. 或 D. 或
解析：由已知可得(3sinA＋4cosB)2＋(3cosA＋4sinB)2＝62＋12，
即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝ .所以在△ABC中sinC＝ ，所以C＝ 或C＝ .又1－3cosA＝4sinB>0，所以cosA< .
又 < ，所以A> ，所以C< ，
所以C＝ 不符合题意，所以C＝ .
答案：A
12．已知cos ＋sinα＝ ，则sin 的值是________．
解析：本题考查三角函数的诱导公式、和角公式以及计算能力．
∵cos ＋sinα＝cosαcos ＋sinαsin ＋sinα
＝ cosα＋ sinα，∴ cosα＋ sinα＝ ，
课时作业22两角和与差的正弦、余弦
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin105°的值为()
A. B.
C. D.
解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝ × ＋ × ＝ .
答案：D
2．化简 cosx＋ sinx等于()
A．2 cos B．2 cos
解析：sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝ ，
即sinβ＝－ ，
又β是第三象限角，
所以cosβ＝－ ，
所以sin ＝sinβcos ＋cosβsin ＝ × ＋ × ＝ .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
∴ cosα＋ sinα＝ ，即sin ＝ .
又sin ＝sin ＝
－sin ＝－ .
答案：－
13．已知α∈ ，β∈ ，且cos(α－β)＝ ，sinβ＝－ ，求sinα.
解析：因为α∈ ，
β∈ ，
所以α－β∈(0，π)．
因为cos(α－β)＝ ，
所以sin(α－β)＝ .
因为β∈ ，sinβ＝－ ，
解析：cos ＝cosαcos －sinαsin ＝ cosα－ sinα，sin ＝sinαcos －cosαsin ＝ sinα－ cosα，
所以 sinα＝ cosα，
故tanα＝1.
答案：1
8．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝ ，β是第三象限角，则sin ＝________.
C．2 cos D．2 cos
解析： cosx＋ sinx＝2 ＝2
＝2 cos .
答案：B
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，则△ABC是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sinBcosC，
所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
cos ＝－ ，
则cos(α＋β)＝cos
＝cos cos ＋
sin sin
＝ × ＋ × ＝－ .
因为 <α＋β<π，
所以α＋β＝ .
即sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
4．函数f(x)＝sinx－cos 的值域为()
A．[－2,2] B．[－ ， ]
C．[－1,1] D.
解析：因为f(x)＝sinx－cos
＝sinx－cosxcos ＋sinxsin
＝sinx－ cosx＋ sinx
所以sin ＝－sin(α＋ )＝－ .
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin165°的值是________．
解析：sin165°＝sin(120°＋45°)＝sin120°cos45°＋cos120°sin45°＝ · － · ＝ .
答案：
7．已知cos ＝sin ，则tanα＝________.