7月浙江自考常微分方程试题及答案解析试卷及答案解析真题

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浙江省2018年7月高等教育自学考试常微分方程试题
课程代码：10002
一、填空题(本大题共13题，每空3分，共45分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1．已知x x e c e c y 421--+=是方程045=+'+''y y y 的通解,则满足初始条件
1)0(,2)0(='=y y 的特解为_____________.
2．方程03)(
22=-+y dx dy x dx dy 的阶数是_____________,且它是_____________线性方程. 3．方程3
1-++-=y x y x dx dy 通过变换_____________可化为齐次方程. 4.若一阶线性方程)()(x q y x p y +=',（其中p(x),q(x)连续）为齐线性方程,则q(x)满足
_____________.
5．利用逐次逼近法求方程
22y x dx
dy +=通过点（0,0）的第一次近似解y 1(x )=_____________. 6．),(y x f y 连续是保证方程),(y x f dx dy =的初值解存在且唯一的_____________条件. 7．对于n 阶非齐线性方程)()()()1(1)(t f x t a x
t a x n n n =+++-Λ存在且至多存在_____________个线性无关的解.
8.方程0222
=+-y dx dy x dx y d x 称为_____________方程,通过变换t e x =即可化为常系数齐线性方程.
9．已知x 1(t )是二阶齐线性方程0)()(=+'+''x t q x t p x 的一个非零解,则经变换
_____________, 该方程可化为一阶线性方程.
10．若A 的特征值至少有一个具有正实部,则方程组X ′=AX 的零解的稳定性是
_____________.
2
11．与初值问题2)1(,7)1(,72-='==+'+''-x x e tx x x t
等价的一阶方程组的初值问题是
_____________.
12．设方程组X ′=AX,其中A 为3阶常数矩阵,且有特征值λ1=1,其对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1101u ,则方程组有一解_____________.
13．方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=y x dt
dy y
x dt dx 零奇点的类型是_____________,且其稳定性为_____________. 二、求下列方程的解（本大题共6小题,每小题6分,共36分）
1． 0)ln (ln =--ydx dy y x x
2． 0)]([22=-+-xdy dx y x x y
3． 1332+=-'-''t x x x
4． t x x x 2cos 44=+'+''
5． 用幂级数法求解0)0(,=-='y x y y .
6． 求方程组AX X =',⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2001A 的一个基解矩阵. 三、讨论题（本大题7分）
利用李雅普诺夫函数)(2
1),(24y x y x V +=讨论方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x dt
dy y ax dt dx 322 零解的稳定性.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
1．设x 1(t),x 2(t)是二阶齐线性方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个解,则x 1(t)+x 2(t)也是该方
3 程的解.
2．试证明方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0具有形如μ（x ）的积分因子的充要条件为N
x N y M ∂∂-∂∂仅是x 的函数.。