13年高考真题——理科数学(福建卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建)卷
数学(理科)
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给也的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.已知复数z 的共轭复数12z i =+(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( )
(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限
2.已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的( )
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件
(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件
3.双曲线2
214
x y -=的顶点到其渐近线的距离等于( )
(A )25 (B )4 (C ) (D )
4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,
将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60),
[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图
所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600
名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生
人数为( )
(A )588 (B )480 (C )450 (D )120
5.满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程
220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为( )
(A )14 (B )13 (C )12 (D )10
6.阅读如图所示的程序框图,若输入的10k =,则该算
法的功能是( ) (A )计算数列{}12n -的前10项和
(B )计算数列{}12n -的前9项和 (C )计算数列{}
21n -的前10项和 (D )计算数列{}
21n -的前9项和
7.在四边形ABCD 中,()1,2AC =,()4,2BD =-,则四边形的面积为( )
(A (B ) (C )5 (D )10
8.设函数()f x 的定义域为R ,()000x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是( ) (A )()()0,x R f x f x ∀∈≤ (B )0x -是()f x -的极小值点
(C )0x -是()f x -的极小值点 (D )0x -是()f x --的极小值点
9.已知等比数列{}n a 的公比为q ,记()()()11121n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++, ()()()()11121,n m n m n m n m c a a a m n N +-+-+-+=⋅⋅⋅∈。

则以下结论一定正确的是( )
(A )数列{}n b 为等差数列,公差为m q (B )数列{}n b 为等比数列,公比为2m q
(C )数列{}n c 为等比数列,公比为2m q (D )数列{}n c 为等比数列,公比为m
m q 10.设,S T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足: ⑴(){}|T f x x S =∈;⑵对任意12,x x S ∈,当12x x <时,恒有()()12f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”。

以下集合对不是“保序同构”的是( )
(A ),A N B N +== (B ){}{}
|13,|8010A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 (C ){}|01,A x x B R =<<= (D ),A Z B Q ==
二.填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案写在答题卡相应位置上)
11.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则时间
“310a ->”发生的概率为_____。

12.已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正
视图、侧试图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正
方形,则该球的表面积是___________。

13.如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD AC ⊥,
sin BAC ∠=,AB =3AD =,则BD 的长为_____________。

14.椭圆()22
22:10x y a b a b
Γ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,焦距为2c ,若直线)
y x c =+与Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则Γ的离心率等于________。

15.当,||1x R x ∈<时,有如下表达式:2111n x x x x +++++=-,两边同时积分得:1
111122
222200000111n dx xdx x dx x dx dx x +++
++=-⎰⎰⎰⎰⎰,从而得到如下等式: 23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

请根据以上材料所蕴含的数学
思想方法计算:23101211111112223212n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭_______。

三.解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)
16.(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25
,中将可以得3分;未中奖则不得分。

每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。

⑴若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求3X ≤的概率;⑵若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
17.(本小题满分13分)已知函数()()ln f x x a x a R =-∈,⑴当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程;⑵求函数()f x 的极值。

18.(本小题满分13分)如图,在正方形OABC
中,O 为坐标原点,点A 的坐标为()10,0,点C 的
坐标为()0,10。

分别将线段OA 和AB 十等分,分点
分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点(),19i P i N i ∈≤≤。

⑴求证:点(),19i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,
并求该抛物线E 的方程;⑵过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线l 的方程。

19.(本小题满分13分)如图,在四棱柱
1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA ABCD ⊥底面,
//AB DC ,11AA =,3AB k =,4AD k =,5BC k =,
()60DC k k =>。

⑴求证:CD ⊥平面11ADD A ;⑵若
直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67,求k 的
值;⑶现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案。

问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为()f k ,写出()f k 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由
)。

20.(本小题满分14分)已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为()4,0π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像。

⑴求函数()f x 与()g x 的解析式;⑵是否存在()06,4x ππ∈,使得()0f x ,()0g x ,()()00f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由;⑶求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在()0,n π内恰有2013个零点。

21.(本题满分14分,设有(I ),(II ),(III )三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答。

如果多做,则按所做的前两题计分。

作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中)
(I )(本小题满分7分)(矩阵与变换)已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=。

⑴求实数,a b 的值;⑵若点()00,P x y 在直线l 上,且
0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,求点P 的坐标。

(II )(本小题满分7分)(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A
的极坐标为)
4π,直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
,且点A 在直线l 上。

⑴求a 的值及直线l 的直角坐标方程;⑵圆C 的参数方程为1cos sin x y αα
=+⎧⎨=⎩(α为参数),试判断直线l 与圆的位置关系。

(III )(本小题满分7分)(不等式选讲)设不等式()|2|x a a N +-<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉。

⑴求a 的值;⑵求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值。

2013年普通高校招生全国统考数学试卷(福建卷)解答
一.DACBB CCDCD
二.11.2;12.12π;13141;15.()()1
3211n n +⎡⎤-+⎣⎦
16.解:⑴由题小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“3≤X ”的事件为A ,则A 事件的对立事件为“5=X ”, 因()22453515P X ==⨯=,故()()111515
P A P X =-==,因此这两人的累计得分3≤X 的概率为1115; ⑵设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为()12E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为()23E X 。

由题知()12,23X B ,()22,25X B ,故()124233
E X =⨯=,()224255
E X =⨯=,因此()()118223E X E X ==,()()2212335E X E X ==。

因为()()1223E X E X >,所以他们在都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大。

17.解:函数()f x 的定义域为()0,+∞,()1a f x x
'=-。

⑴当2=a 时,()2ln f x x x =-,()()210f x x x
'=->,故()11f =,()11f '=-,因此()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程为()11y x -=--,即20+-=x y ; ⑵由()()10a x a f x x x x
-'=-=>可知:①当0≤a 时,()0f x '>,函数()f x 为()0,+∞上的增函数,函数()f x 无极值;②当0>a 时,由()0f x '=,解得=x a 。

当()0,x a ∈时,()0f x '<,(),x a ∈+∞时,()0f x '>。

所以()f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值。

综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值;当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值。

18.解:⑴由题过(),19i A i N i ∈≤≤且与x 轴垂直的直线方程为=x i ,因()10,i B i ,
故直线i OB 的方程为10=i y x 。

设(),i i i P x y ,由10i i i x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得2110i i y x =,即210i i x y =,因此(),19i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为2
10=x y ; ⑵由题直线l 的斜率存在,设l :10=+y kx ,由21010y kx x y
=+⎧⎨=⎩得2101000--=x kx 。

此时2
100+4000∆=>k ,l 与E 恒有两个不同交点,M N 。

设()11,M x y ,()22,N x y ,则121210100
+=⎧⎨⋅=-⎩x x k x x 。

因4O C M O C N S S ∆∆=,故12||4||x x =。

又120x x ⋅<,故124=-x x 。

分别代入21010y kx x y =+⎧⎨=⎩得32=±k 。

因此l :3102y x =±+,即32200-+=x y 或32200x y +-=。

19.解:⑴取CD 中点E ,连接BE 。

因//AB DE ,3AB DE k ==,故ABED Y ,所以//BE AD 且4BE AD k ==。

在BCE ∆中,因为4BE k =,3CE k =,5BC k =,故090BEC ∠=,即BE CD ⊥。

又//BE AD ,故CD AD ⊥。

因1AA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,故1AA CD ⊥,得CD ⊥平面11ADD A ;
⑵如图建立空间直角坐标系,则()4,0,0A k ,
()0,6,0C k ,()14,3,1B k k ,()14,0,1A k ,
所以()4,6,0AC k k =-,()10,3,1AB k =uuu r

()10,0,1AA =uuu r 。

设平面1AB C 的法向量(),,n x y z =r ,
则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uuu r r 得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩。

取2y =得()3,2,6n k =-r 。

设1AA 与平面1AB C 所成角为θ
,则1116sin |cos ,|7
||||AA n AA n AA n θ⋅=〈〉===⋅uuu r r uuu r r uuu r r ,解得1k =; ⑶共有4种不同的方案。

()()()22722605183636518k k k f k k k
k ⎧+<≤⎪=⎨+>⎪⎩。

20.解:⑴由题2πωπ=,得2ω=。

又因()4,0π为()y f x =的中心,()0,ϕπ∈
故sin 2044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得2
πϕ=,所以()cos2f x x =。

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =;
⑵当,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,1sin 22x <<,10cos 22x <<,故sin cos2sin cos2x x x x >>。

问题转化为2cos2sin sin cos2x x x x =+在()6,4ππ内是否有解。

设()()sin sin cos22cos264G x x x x x x ππ=+-<<,
则()()cos cos cos22sin 22sin G x x x x x x '=++-。

因()6,4x ππ∈,故()0G x '>,
()G x 在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内单调递增。

又1064G π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
,042G π⎛⎫=> ⎪⎝⎭,且()G x 的图象连续不断,可知()G x 在()6,4ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的()04x ππ∈满足题意; ⑶依题意,()sin cos2F x a x x =+,当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程
cos 2sin x a x =-。

令()()cos 202sin x h x x x x πππ=-<<<<或,则()()22c o s 2s i n 1s i
n x x h x x +'=。

令()0h x '=,得2x π
=或
32x π=。

当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如
右表。

当0x >且0x →时,()h x →-∞;当x π
<且x π→时,()h x →-∞;当x π>且x π→时,()h x →+∞;当2x π<且2x π→时,()h x →+∞。

故当1a >时,直线y a =与()y h x =在()0,π内有无交点,在(),2ππ内有2个交点;当1a <-时,直线y a =与()y h x =在()0,π内有2个交点,在(),2ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与()y h x =在()0,π内有2个交点,在(),2ππ内有2个交点。

由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与()y h x =在()0,n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与()y h x =在()0,n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与()y h x =在()()0,,2πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=。

综上,当1a =±,1342n =时,函数()F x 在()0,n π内恰有2013个零点。

21.解:(I )⑴设直线:1l ax y +=上任意一点(),M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像
是(),M x y ''',由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y
'=+⎧⎨'=⎩。

又点(),M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即()21x b y ++=。

依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11
a b =⎧⎨=-⎩;
⑵由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得00000
2x x y y y =+⎧⎨=⎩,解得00y =。

又点()00,P x y 在直线l 上,所以01x =,故点P 的坐标为()1,0;
(II
)⑴由点4A π⎫⎪⎭在直线cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
上,可得a =l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=,从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=;
⑵由已知得圆C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=,所以圆心为()1,0,半径1r =。


为圆心到直线的距离1d =<,所以直线与圆相交; (III )⑴因为32A ∈,且12A ∉,所以3|2|2a -<,且1|2|2
a -≥,解得1322a <≤。

又因为a N +
∈,所以1a =;
⑵因()()|1||2||12|3x x x x ++-≥+--=,当且仅当()()120x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,故()f x 的最小值为3。

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