高中数学(余弦定理)同步测试精选(含答案解析)

高中数学（余弦定理）同步测试精选（含答案解析）
一、选择题
1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 2
2ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形
D ．是锐角或直角三角形
2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19
3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝3
2且b <c ，则b ＝( )
A ．3
B ．2 2
C ．2
D ． 3
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
π3，π C.⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π6，π
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
7．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(5，5) B ．(1, 5) C ．(5，13) D ．(13，5)
二、填空题
8．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于．
9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝1
4a,2sin
B＝3sin C，则cos A的值为．
11．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin 2A
sin C＝.
三、解答题
12．在△ABC中，
(1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角．
(2)b＝6，c＝2，B＝60°，求a.
13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝7
9.
(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．
参考答案与解析
1【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 2
2ab <0，即cos C <0， ∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C
2【解析】 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC
＝19
35，
∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →
|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1935＝－19.
【答案】 D
3【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.
【答案】 C
4【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝
3
2， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 【答案】 A
5【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac
2ac
＝(a －c )22ac ＋12≥12，
∵0<B <π，
∴B ∈
⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A. 【答案】 A
6【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得， a 2
＋b 2
－c 2
＝－1
2ab ，
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab 2ab ＝－1
4<0， 所以90°<C <180°，
即三角形为钝角三角形，故选A. 【答案】 A
7【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎨⎧
22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，
解得5<x <13.
【答案】 C
8【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.
【答案】 1
9【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cos B＝25＋64－49
2×5×8
＝
1
2，∴B＝
π
3.
【答案】π3
10【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝3
2c.又b－c＝
1
4a，
∴1
2c＝
1
4a，即a＝2c.由余弦定理得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
9
4c
2＋c2－4c2
2×
3
2c
2
＝
－
3
4c
2
3c2＝－
1
4.
【答案】－1 4
11【解析】由正弦定理得sin A
sin C＝
a
c，由余弦定理得cos A＝
b2＋c2－a2
2bc，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴sin 2A
sin C＝
2sin A cos A
sin C＝2·
sin A
sin C·cos A＝2×
4
6×
52＋62－42
2×5×6
＝1.
【答案】 1
12【解】(1)显然角C最大，
∴cos C＝a2＋b2－c2
2ab＝
32＋42－37
2×3×4
＝－
1
2，∴C＝120°.
(2)法一由正弦定理
b
sin B＝
c
sin C，得sin C＝
c sin B
b＝
2sin 60°
6
＝
3
6
＝
2
2，
∴C＝45°或C＝135°.
∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.
∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－2
4＝4＋
23，
∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.
解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.
13【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.
(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧
a ＋
b ＝23，ab ＝2，
∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.
14【解】 (1)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝42
9， 由正弦定理得sin A ＝
a sin B
b ＝223.
因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1
3. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝102
27.。