高考数学课时作业28 文(含解析)北师大版

课时作业(二十八)
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是A．α>βB．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．
答案：B
2．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( ) A．15米B．5米
C．10米D．12米
解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h，
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos ∠OCD，
即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．
答案：C
3．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为
A ．502m
B ．503m
C ．252m D.252
2
m 解析：由正弦定理得
AB sin ∠ACB ＝AC
sin B
，
∴AB ＝AC ·sin ∠ACB
sin B ＝50×
221
2＝502(m)．
答案：A
4．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树的上半部分折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
A.
206
3 米 B ．10 6 米
C.106
3
米 D ．20 2 米
解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB
＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，∴AO ＝206
3
(米)．
答案：A
5．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于
( )
A. 3 B ．5 3 C ．6 3
D ．7 3
解析：连接BD ，在△BCD 中，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°， ∴∠CBD ＝30°，BD ＝23，
S △BCD ＝1
2
×2×2×sin 120°＝ 3.
在△ABD 中，∠ABD ＝120°－30°＝90°，
AB ＝4，BD ＝23，
∴S △ABD ＝12AB ·BD ＝1
2×4×23＝43，
∴四边形ABCD 的面积是5 3. 答案：B
6．(2012年绍兴模拟)在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)
( )
A ．2.7 m
B ．17.3 m
C ．37.3 m
D ．373 m
解析：依题意画出示意图． 则
CM －10
tan30°＝CM ＋10tan45°
∴CM ＝tan45°＋tan30°tan45°－tan30°×10≈37.3.
答案：C 二、填空题
7．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．
解析：如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin 45°＝AC
sin 60°.
得AC ＝ 6. 答案： 6
8．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
解析：
如图所示，依题意有：
AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，
∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，
由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°
，
解得BM ＝302(km)． 答案：30 2
9．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
解析：如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝AC
sin B ，
∴
1sin ∠CAB ＝3
sin 120°
，
∴sin ∠CAB ＝1
2，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，
∴BC ＝AB ＝a ，
∴AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC cos 120°
＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝3a 2
，∴AC ＝3a .
答案：北偏东30° 3 a
三、解答题
10．港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？
解：在△BDC 中，由余弦定理知，
cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 2
2BD ·CD
＝－17，∴sin ∠CDB ＝437
.
∴sin ∠ACD ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫∠CDB －π3＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝5314.
在△ACD 中，由正弦定理知
AD
sin ∠ACD ＝CD sin A ⇒AD ＝5314×21÷3
2
＝15.
∴此时轮船距港口还有15海里．
11．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船．
(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；
(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求 f (x )＝sin 2
θsin x ＋cos 2
θcos x (x ∈R )的值域．
解：(1)连接BC ，由余弦定理得
BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700， BC ＝107.
(2)∵sin θ20＝sin 120°107，∴sin θ＝
37
， ∵θ是锐角，∴cos θ＝
4
7
， ∴ f (x )＝sin 2θsin x ＋cos 2
θcos x ＝37sin x ＋47cos x
＝57sin (x ＋φ)，∴ f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－57，57.
12．(2012年郑州质检)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .
(1)求AB 的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)，最低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)
解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得
cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 2
2×8×5
，①
在△ABD 中，由余弦定理得
cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 2
2×7×7
.②
由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D ，AB ＝7，所以AB 长度为7米． (2)小李的设计符合要求，理由如下：
S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12
AC ·BC sin C ，
因为AD ·BD >AC ·BC ，所以S △ABD >S △ABC ， 故选择△ABC 建造环境标志费用较低． 因为AD ＝BD ＝AB ＝7，
所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°， 故S △ABC ＝1
2
AC ·BC sin C ＝103，
所以总造价为5 000×103＝50 0003≈86 600(元)． [热点预测]
13．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的
( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
解析：
灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，
∠CAB＝∠CBA＝50°，
则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.
答案：B
14．如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35米，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91米，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．
解析：AB＝912－352＝84，tan∠CAB＝BC
AB
＝
35
84
＝
5
12
.由
CD＋35
84
＝tan(45°＋∠CAB)＝
1＋5
12
1－5
12＝
17
7
，得CD＝169.
答案：169
15．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100
米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚2
17
秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)．
解：由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－2
17
×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：
|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.
在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，
所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140 3.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．
11。