《工程应用数学》PPT课件

8 24 6.5
i
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
y 表示时刻 其中 表示从实验开始算起的时间， 反应物的量．试定出经验公式 y f ( ).
解 由化学反应速度的理论知道， y f ( ) 应是 指数函数： y ke m , 其中 k 和 m是待定常数.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.2
• 引言：马尔莎斯人口模型问题1
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
2 i 1
n
注意：计算机与数据拟合．
（参看高等数学实验课讲义 郭锡伯 徐安农编）
1.1
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
M yi (ati b)
i 0
最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数 a , b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的.
把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M M (a , b) 在那 些点处取得最小值.
f (ti )
偏差
偏差的平方和 M 0.108165 ， 它的平方根 M 0.329 ． 我们把 M 称为均方误差，它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏．
例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
7
i
28, 208.5,
t
i 0 7 i 0
7
2 i
140, 717.0
y
i
yt
i i
代入方程组（1）得
140a 28b 717 , 28a 8b 208.5.
解此方程组，得到 a 0.3036, b 27.125. 这样便得到所求经验公式为
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
引言：最小二乘法问题2
例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 顺序编号 i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 t i (小时) 刀具厚度 yi ( 毫 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 米)
2.8 启帆远航
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
将括号内各项进行整理合并，并把未知数 a 和 b 分离出来，便得
a t 2 b t y t , i i i i i 0 i 0 i 0 7 7 a t i 8b y i . i 0 i 0
7 7 7
(1)
计算得
t
i 0 7 i 0
t
因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a , b ，使得 f ( t ) at b 在 t0 , t1 ,, t7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 , y7 相 差都很小．
就是要使偏差
yi f ( t i )
7
(i 0,1,2,,7) 都很小.
2
因此可以考虑选取常数 a , b ，使得
技术大致有章可循 想像力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
第二章
初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途
2.3 双层玻璃窗的功效
2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
讨论： 由于 lg y a b,
所以仿照例1中的讨论,通过求方程组 8 8 8 2 a i b i i lg yi , i 1 i 1 i 1 8 8 a 8b lg y i i i 1 i 1 的解,把 a , b 确定出来. 通过计算得
试根据上面的试验数据建立y 和 t 之间的经验公 式 y f (t ).
解 首先确定 f ( t ) 的类型. y 如图，在坐标纸上画出 这些点，观察可以认为
27
y f (t ) 是 线 性 函 数 ,
并设 f ( t ) at b, 其中 a 和b 是待定常数.
26 25
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量律
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
数学建模的基本方法
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
m 0.1036 , k 78.78.
因此所求经验公式为 y 78.78e 0.1036 .
三、小结
给定平面上一组点( xi , yi ) ( i 1,2,3,, n)， 作曲线拟合有多种方法 ，其中最小二乘法是常 用的一种．
最小二乘法的原理：
求 f ( t )，使 M yi (ati b) 达到最小．
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态 … … 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
表现特性
确定和随机
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策 … …
白箱 灰箱 黑箱
1.3
数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
模型的强健性
模型的可转移性
1.4 怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
7 M 2 yi (ati b )t i 0, a i 0 令 7 M 2 yi (ati b ) 0; b i 0
即
7 y (at b )t 0, i i i i 0 7 yi (at i b ) 0. i 0
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
( 3)
108, lg y 10.3,
i 1 8 i i 1 8 i 1 i i 1
8
8
2
i
1836, lg yi 122.
i
将他们代入方程组（3）得
1836a 108b 122, 108a 8b 10.3. a 0.4343 m 0.045, 解这方程组，得 b lg k 1.8964.
y f ( t ) 0.3036 t 27.125.
( 2)
由（2）式算出的函数值 f ( t i ) 与实测 yi 的有 一定的偏差.现列表比较如下：
ti
实测
0 27.0
1 26.8
2 26.5
3 26.3
4 26.1
5 25.7
6 25.3
7 24.3
yi
算得
27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000 -0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200