有限元理论题答案

课程名称有限元单元法
学院机械工程学院
专业机械制造及其自动化学生姓名周祥态
学号 110010021 教师陈爱军
理论部分习题及解答：
1．已知平面应变下三节点三角形单元的节点坐标()0,0i 、()1,6j 和()4,3m ，单元的节点位移分量1==i i v u 、0====m m j j v u v u ，材料的弹性模量E ，泊松比为ν。

试求单元的应变和应力分量？
解：单元面积：1
100
1
12111612
221134
i i j j m
m
x y A x y x y =
== 23j m m j ai x y x y =-= 0j a = 0m a =
3i j m b y y =-=- 4j m i b y y =-= 1m i j b y y =-=-
3i m j c x x =-=- 3j i m c x x =-=- 6m j i c x x =-=
1(133)
211(43)211(6)21i j m N x y N x y N x y ⎧=--⎪⎪
⎪∴=-⎨⎪⎪
=-+⎪⎩
[]304010103030621333461B --⎡⎤⎢⎥∴=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
∴单元应变{}[]{}
113040103011030306302121333461600e e
B εδ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
平面应变下：[]10
1(1)10(1)(12)11200
2(1)E D μ
μμμ
μμμ
μμ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-=
⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣
⎦
{}
[]{}311(1)3121(1)(12)17(1)(12)1231e
e E E D μμσεμμμμμμμ⎧⎫-⎪⎪-⎪⎪⎧⎫⎪⎪---⎪⎪
∴===⎨⎬⎨⎬+--+-⎪⎪⎪
⎪-⎩⎭⎪⎪
-⎪⎪-⎩⎭
2．图示为一个三个节点的杆单元，O 为坐标原点，其位移模式取为
2321x C x C C U ⋅+⋅+=。

设其A E ⋅为常数，试求其单元的刚度矩阵[]K 。

解：22(0)x x l l
ξ=
-= 形函数：12
231(1)211
(1)
2N N N ξξξξξ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=+⎩
11ξ-≤≤
[]1101122
1222122212221
1()()()()222212741111()2()636224212482()4223112()42T
l T dN dN EA dN dN EA K EA dx d d dx dx l d d l EA EA l l ξξξξξ
ξξ
ξξξξξξξξξξξξξξξξ---⎡
⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤
===---+⎢⎥⎢
⎥⎣
⎦
⎢⎥+⎢⎥
⎣
⎦⎡⎤-----⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰433147636⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-
⎢⎥⎣⎦
3．已知图示正方形薄板的边长为a ，厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比15.0=μ。

现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷P 。

试求节点位移，支座反力以及单元A 和单元B 内的应力？
解：2233440u v u v u v ======
A 单元：21011
1002210a
A a a =
= 2
0,,0
0,,,,0
i j m i j m i j m a a a a b b a b a c a c a c =====-===-= []200001000000a a B a a a a a a a -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
[]2101011002E D μμμμ⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥
⎣
⎦
[]4242
000010000001000000(1)100000020
010********(1)2001002e
a a a a a a E K a a tA a a a a a a a a a a a a a a a a E a a a a a a μμ
μμμμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥∴=-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥⎢⎥---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎢⎥⎣⎦-⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢
⎥⎢⎥=⎢
⎥-----⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
0000000a a a tA a a a a ⎡⎤
⎢⎥-⋅⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
22
2
2
22
2
2
2
22
2
224
2
2
2
2
2
222
22222
2
22
111100
222200
131122221131(1)22220011110
22
2
22(1a a a a a a a a a a a a a a E tA a a a a a a a a a a a a a a a Et μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ----⎡⎤-
-
⎢⎥⎢
⎥--⎢
⎥
⎢⎥--+--
---⎢⎥⎢⎥=⋅⎢⎥-+-------⎢⎥⎢
⎥--⎢
⎥⎢⎥
----⎢⎥-
-⎣⎦
=-111100
2
222
110
1311122221131)122220
110111100
2
2
2
2μ
μμμμμμ
μμμμμ
μμμμμμμμμμ----⎡⎤--⎢⎥⎢
⎥--⎢⎥⎢⎥--+--
---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+------⎢⎥⎢
⎥--⎢⎥⎢⎥
----⎢⎥--⎣⎦
B 单元：2111
102210a a
A a a a =
= 222
,,,,0,0,i j m i j m i j m a a a a a a b a b a b c a c c a
=-====-====-
[]200001000000a a B a a a a a a a -⎡⎤⎢⎥∴=-⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦
[][][][]4242001000000010000000(1)10000002001212
01(1)00210020e T tA
a
a a a a a a E K B D B a a tA a a a a a a a a a a a a a a a a E a a a a a μμμμμμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∴==-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎢⎥⎢
⎥-⎣
⎦⎢⎥-⎣⎦
-⎡
⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢
⎥---⎢⎥⎢⎥
-⎢
-⎢⎢--⎣⎦
0000000000a a a a tA a a a a -⎡⎤⎢⎥-⋅⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎥⎥⎥
2
311112222131112222110011112(1)00222211110
0222210
0Et μμμμμμμμμμμμμ
μμμμμμμμμ
μ
-+--⎡⎤--
-
-⎢⎥⎢
⎥+---⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-------
⎢⎥⎢⎥----⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 整体刚度矩阵：
[]2
3111010222231110102222131110022221131001222213112(1)0012222113110022221113010222211130
1
2
2
2
Et K μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ
μμμμμμμμμμμμμμμμμμμ
---+-------+-
-
----+------+------=--+-------+------
+-------+------2μ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
{}[]{}F K δ= {}2233440x y x y x y P R R F R R R R ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭ {}11000000u v δ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎭
10u ∴= 212(1)2
3v P Et μμ
-=⋅-
213x R P μμ-∴=-
- 213y R P μμ-=-- 323x R P μμ=-- 323y R P μ
=-- 413x R P μ
μ
-=
- 40y R =
单元A 内的应力：
{}[]{}2
22
02(1)200(3)40010(1)(3)11110000222200e
A A
A P a a a a Et E P S a a a a a at a a a a μμμμμσδμμμμμμμμ⎧⎫
⎪⎪-⎡⎤⎪⎪
⋅⎢⎥⎪⎪---⎧⎫
⎢⎥⎪⎪
⎪⎪==⋅--=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥----⎩⎭⎪⎪--⎢
⎥⎣⎦⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
单元B 内的应力：
{}[]{}222
00000020002(1)2(1)(3)11111(3)00222200e
B B
B a a a a E P S a a a a P a at Et a a a a μμσδμμμμμμμμμμμ⎧⎫
⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪--⎧⎫⎢⎥-⎪⎪⎪⎪
==⋅--=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⋅--⎪⎪⎪⎪⎢⎥------⎩⎭⎪⎪--⎢⎥
⎣⎦⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
4．已知集中载荷P ，试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。

解：(21)i i i N l l =- (21)j j j N l l =- (21)
m m m N l l =- 14j m N l l = 24i m N l l = 34i j N l l =
在点（4，4）处，有513i l =
，213j l =，613
m l = 1513i N ∴=-，1813j N =-，6
13m N =-
148169N =，2120169N =，340169
N = {
}150015180195018195602340623448780137812480
48133381348212001201312012001340404001340013e
p
P R P P -⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
--⎧⎫⎢⎥
-⎪⎪⎢⎥
-⎪⎪⎢⎥
-⎪⎪-⎢⎥
⎪⎪-⎢⎥-⎪⎢⎥
⎪-⎢
⎥⎫⎪⎢⎥⎪⎪-⎪⎪⎪⎢⎥==⎬⎨⎬
⎢⎥⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎩⎭⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
m (5,6)
5．已知各向同性材料的常数E 和μ。

计算图示四面体ijmp 单元的形函数
P m j i N N N N 和,,；单元的刚度矩阵中的元素11K 和22K 。

解：i(0,0,0) j(a,0,0) m(0,b,0) p(0,0,c) 1000
10011
10066100a V abc b c
∴=
=
,0,0,0
,,0,0,0,,0,0,0,i j m p i j m p i j m p i j m p a abc a a a b bc b bc b b c ac c c ac c d ab d d d ab
=====-========-=== 1111111i
j m p N x y z a b c
N x a
N y
b N z
c ⎧
=---⎪⎪⎪=⎪∴⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩
[]2222223112(1)12()()366(1)(12)2(1)i i i i i i A E K b b A c c d d b c a c a b V abc μμμμμ⎡⎤--=
++=
++⎢⎥+--⎣⎦ []2222223222(1)12()()366(1)(12)2(1)i i i i i i A E K c c A b b d d a c b c a b V abc μμμμμ⎡⎤--=
++=++⎢⎥+--⎣⎦
6、图示矩形单元受到均匀重力载荷g -（每单位体积载荷）作用，试用22⨯阶 高斯积分计算节点2处的等效节点载荷。

已知材料的弹性模量E 、泊松比ν和厚度t 。

解：令a x ξ=
，y b
η= 得到形函数：11
(1)(1)4N ξη=--
21
(1)(1)4N ξη=+-
31
(1)(1)4N ξη=-+
41
(1)(1)4
N ξη=++
{}1
2341
2
3
40000000
T
e
p
A N N N N R tdxdy N N N N g ⎡⎤⎧⎫
=⎨⎬⎢⎥-⎩⎭
⎣
⎦⎰⎰ {}222
211222
2
11000(,)001(1)(1)4e
i j i j p
i j A A i j i j i j N
R tdxdy abtd d H H f N N g g H H abt abtg ξηξηξη====⎡⎤⎧⎫
⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎣
⎦⎩
⎭⎧⎫⎧⎫
=-+-=⎨⎬⎨⎬
-⎩⎭⎩⎭
∑∑⎰⎰⎰⎰∑∑
7．写出线性动力学有限元方程，并说明方程中各个符号的力学含义。

简介线性动力学有限元方程的求解方法，并且说明Newmark 方法的思想和分析步骤。

答：..
.
a M C a Ka P ++=其中，M 、C 、K 分别为整体质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；..
a 、
.
a 、a 、P 分别为整体节点加速度、速度、位移和动载荷向量。

求解方法：为简便推导动力有限元方程式，可以先把动力问题化成静力问题，即将惯性力和阻尼力看作体积力施加在结构物上，这样就可以按照静力问题的有限元分析推到有关方程。

问题的关键在于将惯性力和阻尼力转化成单元等效节点载荷。

（1）位移、速度、加速度
将结构离散以后，单元位移函数为： 1
11u(,,,)(,,)()
(,,,)(,,)()(,,,)(,,)()
m
i i i m
i i i m i i i x y z t N x y z u t v x y z t N x y z v t w x y z t N x y z w t ===⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
∑∑∑
其中单元节点位移向量为： 1...e
m a a a ⎧⎫
⎪⎪=⎨⎬⎪⎪
⎩⎭，()()(1,2,...,)()i i i i u t a v t i m w t ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
形函数矩阵为
[]
12,,...,m N N I N I N I = I 为三阶单位矩阵。

单元内部各点速度和加速度分别可用单元节点的速度和加速度表示为：.
...
.,e e
u N a u N a ==
（2）惯性力的等效节点载荷
表材料的质量密度为ρ，则根据D ’Alembert 原理，单元内单位体积上作用的惯性力为：
..
..
u e
i f N a ρρ=-=- 下标i 表示惯性。

惯性力的等效节点载荷：..e
e e
T T
e
i i P N f N N a αραΩΩ
=
Ω=-Ω⎰
⎰
（3）阻尼力的等效节点载荷
假设阻尼力正比于运动速度，比例常数为α，则单元内单位体积上作用的阻尼力可表示为：
.
.
e d
f u N a αραρ=-=- 下标d 表示阻尼。

阻尼力的等效节点载荷为：.
e e
e T T
e d
d P N f d N Nd a αρΩ
Ω
=
Ω=-Ω⎰
⎰ （4）动力有限元方程的建立
若用P 表示外部动载荷产生的整体节点载荷向量，则总的整体节点载荷向量为：
...M a C a P ---。

将虚位移原理应用于整个机构，可得：...
Ka M a C a P =--+，即，..
.
Ka M a C a P ++=。

系数矩阵：
（1）质量矩阵M
常用方法：一致质量法和集中质量法。

（2）阻尼矩阵C
e T e e
C B DB K βαβΩ=Ω=⎰
采用Royleigh 阻尼：C M K αβ=+，其中α、β为不依赖于频率的常数。

Newmark 方法的思想和分析步骤 假设：
......
(1)t t t t t a a r a t r a t +∆=+-⋅∆+⋅∆ （a ）
.
...2
2
1()2t t t t t t
t a a a t a t a t ββ+∆+∆=+⋅∆+-⋅∆+⋅∆ （b ）
其中，r 和β是按积分精度和稳定性要求而决定的参数。

当r=1/2和β=1/2时，式（a ）和（b ）相应于线性加速度。

在Newmark 法中，t t +∆时刻的位移解答
t t
a +∆也是通过满足t t +∆时刻的运动方法：
..
.
t t t t t t t t M a C a ka P +∆+∆+∆+∆++= (*)而得到的。

首先从式（b ）中解得..
...2
111
()(1)2t t
t t t t t a a a a a t t βββ
+∆+∆=----∆∆ 代入式（a ），然后再一并代入式（*），从而得到由t a 、.
t a 、..
t a 计算t t a
+∆的公式：t t t t Ka P +∆+∆=
其中K 、t t P +∆分别为：
2
1r
K K M C t t
ββ=+
+∆∆ ...t
2111
a ()21t t t t t t
P P M a a t
t βββ+∆+∆⎡⎤=+++⎢⎥∆∆-⎣⎦...t r r r a (1)(1)t 2t t C a a t βββ⎡⎤++-+-∆⎢⎥∆⎣⎦
8．图示两个三角形单元的集合体，边长为a ，厚度为t ，材料的密度为ρ，弹性模量为E ，泊松比μ，并且已知Rayleigh 阻尼的常数α和β。

写出单元集合体的整体一致质量矩阵[]M 和Rayleigh 阻尼矩阵[]C 。

解：首先对局部节点进行编号
对单元①：
2111
102210a a
A a a a =
= 222
00i j m i j m i j m a a a a a a b a b a b c a c c a
=-====-====-，，，，，，
单元①的一致性质量矩阵：
[][][][][]1-00
2
201010020101102010a t 0
10201241010200
10102T
V
a a y
T
M N N dV
t N N dxdy ρρρ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
⎰
单元①的刚度矩阵：
[][][][]1
424
2
001000
00010000000(1)10
00000200121201(1)0021002
0T
K B D B tA
a a a a a a a E
a a tA a a a a
a a a
a a a a a a a
a a E a a a a a μμμμμμμμμμμμμ=⋅⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎢⎥-⎣⎦
-⎡
⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢
⎥---⎢⎥⎢⎥
-⎢-⎢⎢--⎣⎦2000
000000031211213211222200211
01104(1)11011022200
2a a a a tA a a a a Et
μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ
μ-⎡⎤⎢⎥-⋅⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎥⎥⎥-+----⎡⎤
⎢⎥+-----⎢⎥⎢⎥
--=⎢
⎥
-----⎢⎥⎢⎥
----⎢
⎥
--⎣⎦
对单元②：
210111002210
a
A a a =
=
20000
i j m i j m i j m a a a a b b a b a c a c a c =====-===-=，，，，，， 单元②的一致性质量矩阵：
[]
[][][][]2
0-2
2010100201011020100
10201241010200
10102T
V
a a
T
a y
M N N dV
t N N dxdy a t ρρρ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
⎰
单元②的刚度矩阵：
[][][][]24242000010000001000000(1)100
000020010020121(1)2001002T
K B D B tA
a a a a a a E
a a tA a a a a a a a a a a a a a a a E a a a a a a μμμμμμμμμμμμμ∴=⋅⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎢⎥⎢
⎥⎣
⎦⎢⎥⎣⎦
-⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥⎢⎥=⎢
⎥-----⎢⎥⎢⎢⎢-⎢⎣⎦
22200000000001011010222201231211213212(1)02222010110110110102222012314(1)a a a a tA a a a a E
tA a Et
μ
μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ
μμμμμμμμμμ-⎡⎤⎢⎥-⋅⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎥
⎥⎥⎥----⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---+--=⋅⎢⎥--+----⎢⎥
⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦
---------+-=-21121321022220101101μμμμμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--+---⎢⎥
⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦
整体一致性质量矩阵为：
[]24
01010200401010210200010010200011
000201024010002012010104002010104a t M ρ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
整体刚度矩阵为：
[]230221101031122102131001221130012120031214(1)120013210111223010221103Et K μ
μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ
μμμμμμμμμμμμμμμμμμμ-----+⎡⎤⎢⎥-----+⎢⎥⎢⎥---+--⎢⎥--+---⎢⎥=
⎢⎥---+---⎢⎥--+---⎢⎥⎢⎥+-----⎢⎥+-----⎢⎥⎣⎦
Rayleigh 阻尼矩阵为：
[]22401010200401010210200010010200011
00020102401000201201010400
2010104302211
10311221021310012211300121200314(1)a t C Et αρμ
μ
μμμμμμμμμμμμμμμμμμβμμ
μμμ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
-----+-----+---+----+---+
---+-2112
00132101112230102211
03μμμμμμμμμμμμ
μμμμ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥
--+---⎢⎥⎢⎥
+-----⎢
⎥+-----⎢⎥⎣⎦
上机部分习题答案：。