浙江省嘉兴市2021届高三数学上学期学科基础测试试题 理（含解析）(1)

2021年高中学科基础测试
理科数学
【试卷综析】这套试题大体符合高考温习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,表现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和大体技术的考察,同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察,有相当一部份的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思
辨性、灵活性,基础性充分表现了考素养,考基,考方式,考潜能的检测功能.
选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符和题目要求的
【题文】1．设集合A=
{}
2
|230x x
x +->，R 为实数，Z 为整数集，那么
()
R C A Z =
A.
{}x ｜－3＜x ＜1 B. {}|31x x -≤≤ C. {}2,1,0-- D. {}3,2,1,0,1---
【知识点】集合运算；一元二次不等式的解法. A1 E3 【答案解析】D 解析：集合A= {}|x 3x 1x <->或，因此R C A = {}|31x x -≤≤，
因此
()R C A Z ={}
3,2,1,0,1---，应选D.
【思路点拨】先化简集合A 再求集合A 与整数集Z 的交集.
【题文】2．已知函数()f x =()
f x 在
A. (),0-∞上单调递增
B. ()0,+∞上单调递增
C.
(),0-∞上单调递减 D. ()0,+∞上单调递减
【知识点】函数的单调性；导数的应用. B4 B12
【答案解析】B 解析：
()0
f x '=
>在
()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，应选B.
【思路点拨】导数法确信函数的单调性.
【题文】3．在ABC ∆中，已知M 是BC 中点，设
,,CB a CA b ==则AM =
A. 12a b -
B. 12a b +
C.
12a b - D. 12a b
+ 【知识点】平面向量的线性运算. F1
【答案解析】A 解析：
11
22AM AC CM CA CB b a
=+=-+=-+，应选A. 【思路点拨】由向量加法的三角形法那么得结论. 【题文】4．""αβ>是"sin sin "αβ>的
A.充分没必要要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又没必要要条件 【知识点】充分条件；必要条件. A2
【答案解析】D 解析：若150,30αβ==，知足αβ>，而
1
sin sin 2αβ==
，不知足
sin sin αβ>，因此""αβ>不是"sin sin "αβ>的充分条件；假设60,150αβ==时，知足sin sin αβ>，
但不知足αβ>，因此""αβ>不是"sin sin "αβ>的必要条件.应选D. 【思路点拨】依照充分性、必要性的概念判定. 【题文】5．已知函数
log ,log ,log a b c y x y x y x
===的图像如图，那么
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
【知识点】对数函数的性质. B7
【答案解析】C 解析：这些图像与直线y=1的交点横坐标依次是c,a,b.因此c<a<b, 应选C.
【思路点拨】依照对数函数的图像与直线y=1交点横坐标是此对数函数的底数，因此 只需从图像上看这组函数与直线y=1的交点的前后顺序即可.
【题文】6．已知函数()cos 24sin ,f x x x =-那么函数()f x 的最大值是
A.4
B.3
C.5
D.
17
【知识点】二倍角公式；函数的最值. C6 B3 【答案解析】B 解析：
()2
2()12sin 4sin 2sin 13
f x x x x =--=-++，当
sin 1x =-时函数()f x 取得最大值3，因此选B.
【思路点拨】利用二倍角公式把已知函数化为关于sin x 的二次函数，再配方求得最值. 【题文】7．关于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，以下命题中的真命题是 A.假设,,m m αβ则αβ B. .假设,,m m αβ则αβ⊥ C.假设,,m m αβ⊥⊥则α
β D. 假设,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥
【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系. G4 G5
【答案解析】C 解析：若,,m m αβ那么平面,αβ可能平行可能相交，因此A,B 是假命题；显然假设
,,m m αβ⊥⊥则αβ成立，应选C.
【思路点拨】依照线面平行的性质，线面垂直的性质得结论. 【题文】8．等比数列
{}
n a
中，已知
3422,a a a =-=，那么前5项和5S =
A. 7±
B. 7
C. 7+
D. 7 【知识点】等比数列及等比数列的前n 项和. D3
【答案解析】A 解析：由已知得(
)2
31242121a a q a a a q q ⎧==⎪⎨-=-=⎪
⎩
142a q =⎧⎪⎨=-⎪
⎩或
11
a q =⎧⎪⎨=⎪⎩(
)515171a q S q -==-或(
)515171a q S q -==-，应选A.
【思路点拨】由已知条件求得等比数列的首项和公比，进而求出前5项和.
【题文】9．已知ABC ∆中，BC=3，AC=4，AB=5点P 是三边上的任意一点，m=PA PB ⋅,那么m 的最小值是
A.-25
B.
254-
C. 9
4-
D.0
【知识点】平面向量数量积及数量积的坐标运算. F3
【答案解析】B 解析：由已知得ABC ∆是以C 为直角极点的直角三角形，因此以C 为原点，CA 所在直线为x
轴，成立直角坐标系，那么A(4，0),B(0，3),设P(x,y),那么
()()
4,,,3PA x y PB x y =--=--，因此
()()224,,343m x y x y x y x y
=--⋅--=+--
当点P 在线段CA 上移动时，y=0, 04x ≤≤,因此现在2
4m x x =-，当x=2时m 有最小值-4；
当点P 在线段CB 上移动时, 0,03x y =≤≤，因此现在2
3m y y =-，当y= 3
2时
m 有最小值9
4-
；
当点P 在线段AB 上移动时, 04,03,x y ≤≤≤≤且1
43x y +=，因此现在 ()22525,04164m x x x =
-≤≤，当x=2时m 有最小值25
4-.应选B.
【思路点拨】依照题意成立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，把问题转化为函数最值求解.
【题文】10．通过双曲线的一个核心作垂直于实轴的直线，交双曲线与Ａ，Ｂ两点，交双曲线的渐近线于Ｐ，Ｑ两点，假设｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，那么双曲线的离心率是
Ｃ．2 Ｄ．
【知识点】双曲线的几何性质. H6
【答案解析】D 解析：设双曲线方程为22
221x y a b -=，把x=c 代入双曲线方程可得 22,b AB a =代入渐近线方程可得2bc
PQ a =
，因为｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，因此
2
242bc b c b a a =⇒=，又222
c a b =+，因此可得
3c e a ==.应选D. 【思路点拨】设出双曲线方程，求得线段AB 、PQ 关于a,b,c 的表达式，然后代入 ｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，再与2
2
2
c a b =+结合，求得离心率. 二、填空题（本大题共７小题，每题４分，共２８分） 【题文】11．等差数列
{}
n a 中，已知
282014
a a +=，那么
5a =
．
【知识点】等差数列的性质. D2
【答案解析】1007 解析：由
28522014
a a a +==得：
51007
a =.
【思路点拨】依照等差数列的性质：当,,m n p N +
∈，且2n m p +=时，
2n m p
a a a +=
求解.
【题文】12．已知α是钝角，
3cos 5α=-
，那么sin 4
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭ . 【知识点】三角函数的求值. C7
【答案解析】10-
解析：因为α是钝角，
3cos 5α=-
，因此4
sin 5α==
， 因此
sin 4πα⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭34sin cos cos sin 4425510ππαα⎫-=--=-⎪⎝⎭. 【思路点拨】利用同角三角函数关系，两角差的正弦公式求解.
【题文】13．垂直于直线x+2y-3=0且通过点(2，1)的直线的方程 . 【知识点】两条直线垂直的条件；直线的方程. H1 H2
【答案解析】230x y --= 解析：因为所求直线与直线x+2y-3=0垂直，因此所求直线的斜率为2，又所求直线过点（2,1），因此所求直线方程为：y-1=2(x-2),即230x y --=.
【思路点拨】依照相互垂直的直线斜率乘积为-1，得所求直线的斜率，再由直线方程的点斜式写出直线方程. 【题文】14．假设某空间几何体的三视图如下图， 那么该几何体的体积是 . 【知识点】空间几何体的三视图. G2
【答案解析】32 解析：由三视图可知：此几何体是四棱锥，其底面是邻边长别离为6, 4的矩形，且棱锥高为
4，因此该几何体的体积是1
64432
3⨯⨯⨯=.
【思路点拨】先由三视图取得此几何体的结构，底面特点，棱的特点，然后求此几何体的体积.
【题文】15．已知20
320320
x y x y x y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩，那么2z x y =-的最小值是 .
【知识点】简单的线性计划问题. E5
【答案解析】-4 解析：画出可行域，平移目标函数为0的直线y=2x ，得目标函数取得最小值的最优解是直线x+y+2=0与直线x-3y+2=0的交点A(-2，0),因此目标函数的最小值为：
()2204
⨯--=-.
【思路点拨】画出可行域，平移目标函数为0的直线y=2x ，得目标函数取得最小值的最优解是方程组
20320x y x y ++=⎧⎨-+=⎩的解20x y =-⎧⎨=⎩
，因此目标函数的最小值为-4. 【题文】16．已知正实数a,b 知足12
3
a b +=，那么
()()12a b ++的最小值是 .
2a b
+≤
的应用. E6
【答案解析】50
9解析：因为a>0,b>0,因此
3 =12839ab a b
+≥≥⇒≥
. 当且仅当12123a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2343a b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩时等号成立，因此ab 的最小值是89，又1223
b a a b ab ++==，
因此23a b ab +=，因此
()()12a b ++=850
22424299ab a b ab +++=+≥⨯+=
.
2a b
+求解.
【题文】17．假设圆Ｃ与圆
2220x y x ++=关于直线x+y-1=0对称，那么圆C 的方程是 . 【知识点】圆的方程；对称问题. H3
【答案解析】22
2440x y x y +--+= 解析：设C(a,b),因为已知圆的圆心A(-1,0),由点A 、C 关于直线x+y-1=0
对称得()11111022b
a a
b ⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪+-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，又圆的半径是1，因此圆C 的方程是()()22121x y -+-=，即222440x y x y +--+=.
【思路点拨】由两圆关于某条直线对称，那么两圆圆心关于此直线对称，因此设出圆心C 的坐标（a,b ）,由对称轴垂直平分两圆心确信的线段，得关于a,b 的方程组求得a,b ，又两圆半径相等，从而取得圆C 方程.
三、解答题（本大题共5小题，共72分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤） 【题文】18．（此题14分）
在ABC ∆中，已知2
2
2
sin sin sin sin sin .A B C A B +=++ （1）求 角C;
（2） 假设c=4,求a+b 的最大值.
【知识点】解三角形；利用大体不等式求最值. C8 E6
【答案解析】（1）3π
；（2）8. 解析：（1）由222
sin sin sin sin sin .A B C A B +=++
得ab c b a +=+2
22，因此
21
2cos 222=-+=ab c b a C ． ┅4分
又π<<C 0，故角
3π
=
C ．
┅8分
（2）因为4=c ，因此
ab b a -+=2216ab b a 3)(2-+=． ┅10分 又
2)2(
b a ab +≤，因此2)(41
16b a +≥，从而8≤+b a ，其中b a =时等号成立．
故，b a +的最大值为8． ┅14分
【思路点拨】（1）利用余弦定理求角B ；（2）利用余弦定理及大体不等式求a+b 的最大值. 【题文】19已知数列{}n a 知足：111,2 1.n n a a a +==+ 求数列{}n a 的通项公式；
若
1
n n n b a a +=，求数列
{}n b 的前n 项和n S .
【知识点】已知递推公式求通项；数列求和. D1 D4 【答案解析】（1）21n
n a =-（2）n S 3102643
8++⋅-⋅=n n
n . 解析：（1）由121+=+n n a a ，得)1(211+=++n n a a ． 因此，}1{+n a 成等比，公比2=q ，首项211=+a ．
┅4分 因此，n n a 21=+，即
12-=n
n a ．
┅8分
（2）
1+=n n n a a b )12)(12(1--=+n n 12342+⋅-⋅=n n ， ┅10分
因此，数列}{n b 的前n 项和
n S n n n ++++-+++=)222(3)444(22121
┅12分
n n n +--⋅---⋅=12)12(2314)14(42310
26438+
+⋅-⋅=n n n ．
┅14分
【思路点拨】（1）构造新数列{}1n a +，可得数列{}1n a +是等比数列，由此求得数列{}n a 的通项公式；
（2）由
（1）可得
24321
n n n b =⋅-⋅+，它是由两个等比数列和一个常数列的和组成的，因此能够用分组求和法求数列
{}n b 的前n 项和n S .
【题文】20．(此题15分)
如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，AB=4，PA=3，M 是AB 的中点. （1）求证：
CM ⊥平面PAB ；
（2）设二面角A-PB-C 的大小为θ，求cos θ的值.
【知识点】线面垂直的判定；二面角的求法. G5 G11
【答案解析】（1）证明：略；（2）cos θ
1421
=
．
解析：（1）因为⊥PA 底面ABC ，因此CM PA ⊥． ┅3分 因为△ABC 是正三角形，M 是AB 的中点，因此AB CM ⊥． ┅6分 因此，⊥CM 平面PAB ．
┅7分
（2）（几何法）
作PB MD ⊥于D ，连CD ，那么PB CD ⊥．
因此，CDM ∠是二面角C PB A --的平面角． ┅11分
因为4=AB ，3=PA ，因此32=CM ，
56
=
DM ． 从而
5214=
CD ，故1421
cos =
=CD DM θ．
┅15分
（向量法）
（第20题）
P
B
C
A
M
D
以M 为原点，MC 为x 轴，MB 为y 轴，成立空间直角坐标系xyz O -，如图． 平面APB 的一个法向量)0,0,1(1=n ． ┅10分
)3,4,0(-=BP ，)0,2,32(-=BC ．
设),,(z y x n =是平面CPB 的法向量，
则⎩⎨
⎧=-=+-0232034y x z y ，取法向量)4,3,3(2=n ． ┅13分
故7213
cos 21⨯=
=
θ1421
=．
┅15分
【思路点拨】（1）只需证明直线CM 与平面PAB 中两条相交直线AB 、AP 垂直； （2）（几何法）作出二面角的平面角，构造含此角的三角形求解.
(向量法) 成立空间直角坐标系，确信所求二面角中每一个半平面的一个法向量，因为两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，因此只需求这两法向量夹角的余弦值即可. 【题文】21．(此题15分)
如图，已知抛物线
2
4y x =，点(),0P a 是x 轴上的一点，通过点P 且斜率为1的直线l 与抛物线相交于A,B 两点.
当点P 在x 轴上时，求证线段AB 的中点轨迹方程； 若
4AB OP
=(O 为坐标原点)，求a 的值.
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线. H9 H8
【答案解析】（1）；（2）31±=a . 解析：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，
AB 中点为),(00y x M ．那么⎪⎩⎪⎨⎧==22
21
2144x y x y )(4))((212121x x y y y y -=-+⇒，
┅2分
又1
212
1=--x x y y ，0212y y y =+，
因此420=y ，从而20=y ．
┅6分 故，线段AB 的中点轨迹方程是：2=y （x>1）．
┅7分
（2）直线l ：a y x +=，
（第20题）
P
A
y
由⎩⎨⎧=+=x y a y x 42
0442=--⇒a y y ．
┅9分 )1(16+=∆a ，||2||21y y AB -=)1(24+=a ．
┅12分
若||4||OP AB =，那么|
|4)1(24a a =+，即0222
=--a a ．
解得：31±=a ．
┅15分
【思路点拨】(1)利用点差法求出线段AB 的中点轨迹方程即可；
（2）把直线方程代入抛物线方程消去x 得关于y 的一元二次方程，再由弦长公式及已知条件得关于a 的方程，解得a 值.
【题文】22．(此题14分)
已知函数
x a
x x f +
=)(（0>x ）．
（1）若0<a ，试用概念证明：)(x f 在),0(+∞上单调递增；
（2）若0>a ，当]3,1[∈x 时不等式2)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 【知识点】(1)函数的单调性；不等式恒成立求参数范围. B3 E1
【答案解析】（1）证明：略；（2）1a ≥. 解析：（1）若0<a ，设+∞<<<210x x ，那么 )
1)(()()(212121x x a
x x x f x f -
-=-．
┅2分
因为021<-x x ，
012
1>-
x x a
，因此0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，
故，)(x f 在),0(+∞上单调递增．
┅6分
（2）若0>a ，那么)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增． ①若10≤<a ，那么)(x f 在]3,1[上单调递增，a f x f +==1)1()(min ． 因此，21≥+a ，即1≥a ，因此1=a ．
┅8分
②若91<<a ，那么)(x f 在],1[a 上单调递减，在]3,[a 上单调递增， a a f x f 2)()(min ==．因此，22≥a ，即1≥a ，因此91<<a ．
┅10分
③若9≥a ，那么)(x f 在]3,1[上单调递减，
33)3()(min a
f x f +
==．
因此，233≥+
a ，即3-≥a ，因此9≥a ．
┅12分 综合①②③，1≥a ．
┅14分
【思路点拨】(1)依照函数单调性概念，在给定区间上任取两个数12,x x ，且
12
x x ≤，
通过判定()()
12f x f x -的符号，来证明函数的单调性；（2）
[]
1,3x ∈时，不等式()2f x ≥恒成立，只需
[]1,3x ∈时
()min 2
f x ≥即可，利用
()
f x 的单调性，通过讨论a 的取值情形，确信
()
f x 在区间
[]1,3上的最小值情形.。