第三章时域分析方法

(3-8)
一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线 由式（3-8）求出 ：
y(0) y( t ) t 0 0
y( ) y( t ) t 1
y( t ) 1 e
y(t)
t /T
(3-8)
1
B 0.632 A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
斜率 =1/T
1 • 2. dy( t ) — 一阶系统如能保持初始
T
t
1 0.632
dt T e 反应速度不变， 则当t＝T时
，输出将达到其稳态值。 • 3. 过程y(t)的变化速率，随着时
T
A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
T 2T 3T 4T 5T
t 0,
实际上，一阶系统过渡
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
G ( s)
Y ( s) R( s )

K Ts 1
(3-6)
单位斜坡函数r(t)=t 的拉氏变换为：
R( s )
把上式代入式(3-6)，
2e
2、 对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：
G (s )
1 s1
2 s2
3s 4 s 3s 2
2

G0 1 G0
可求出系统的开环传递函数： G 3 s 4 0 2
s 2
习题2-6 系统微分方程组如下, 试建立对应信号 流图, 并求传递函数。 解：将原方程组取拉氏变换：
t0 0t t

(b) 脉冲信号
1 E
t
• 用来表示冲击型的脉冲扰动 • 理想的δ (t)函数无法得到，持续时间非常短的脉
动信号就认为是脉冲信号
3.1.1.3 斜坡信号
斜坡输入信号可表示为(图3-1))：
r(t)
t
At r (t ) 0
t0 t0
(c) 斜坡信号
• • •
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
x 3 ( t ) k 2 x 2 ( t ),
x4 ( t ) x 3 ( t ) x5 ( t ) k 5 y( t ), X 4 ( s ) X 3 ( s ) X 5 ( s ) k5Y ( s ) d x5 ( t ) dt k 3 x4 ( t ), d y( t ) dt y( t ),
Y ( s) 1 1
2
1 s
2
Ts 1 s
(
1 s
2

T s

T
2
Ts 1
)
Y ( s) (
1 s
2

T s

T
2
Ts 1
)
x(t) y(t) T r(t) T y(t)
取上式的拉氏反变换， 即得系统的单位斜坡响应：
y( t ) t T Te
t T
t
0 y ( t ) 0.368T t T

K
(3-6)
单位阶跃1(t)的拉氏变换为：
L[1( t )] R( s ) 1 s
(3-7)
把(3-7)式代入(3-6)式，
Y ( s) G ( s) R( s )
1
Ts 1 s
.
1

1 s

1 s
1 T
取拉氏反变换有：
y(t ) L1[Y ( s )] 1 e t / T
4T 5T
t
1、经过一倍时间常数，即t=T时，系统从0 上升到稳态值的63.2%。 2、在t＝0处曲线切线的斜率等于1/T。 3、当t＞4T时，一阶系统的响应曲线已经达 到稳态值（稳态误差小于2%）。
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
为A· 1(t)。
• 最经常采用的试验信号，用来表示突变的信号，
如电源断电和设备故障等 。
• 阶跃干扰是最严重的扰动形式。
3.1.1.2 单位脉冲信号
单位脉冲输入信号又称δ(t)函数，它是图3-1(b) 在 ε→0时的极限情况， 可表示为： r(t)
(t ) 0 r ( t ) ( t ) dt 1 (t ) 0
t T
( t 0)
t 0 t T t
t T
它和输入参数的误差为[r(t)=t ]：
e (t ) r ( t ) y( t ) t ( t T Te
e(t)
) T (1 e
)
t 0 t T t
T
0.632T
A
63.2％
T 2T 3T 4T 5T
T 2T 3T 4T 5T
t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632 t＝2T时, y(2T)＝0.865
t＝3T时, y(3T)＝0.95 t＝4T时, y(4T)＝0.982 t＝5T时, y(5T)＝0.993…
0
t
误差 ＝
y( t ) y( ) y( )
100%
2%
5%
R U1(t) i(t) C
U2(t)
设 T RC RC T
dU 2 ( t ) dt
U 2 (t ) U1 (t )
描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：
dy( t ) dt
T RC , K 1, T duc dt
T AR, K R, T dh dt
T
y( t ) Kr ( t )
0 e ( t ) 0.632T T
0
特点：
r(t)
T T
y(t)
t
1、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先 逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高， 并与输入相平行。
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
4、时间常数T反应一个系统的惯性，时间常数越小, 系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被 称为一阶惯性系统。
研究输出曲线的变化速率: • 1. 一阶系统阶跃响应曲线的 对（3-8）式求导： 另一个重要特性是在t＝0处切 线的斜率等于1/T。
y( t ) 1 e
y(t)
t /T
(3-8)
x1 ( t ) r ( t ) y( t ), x2 (t ) d x1 ( t ) dt k1 x1 ( t ),
X 1 ( s ) R( s ) Y ( s ) X 2 ( s ) sX 1 ( s ) k1 X 1 ( s ) X 3 ( s) k2 X 2 ( s)
3.2.3 单位脉冲响应
R( s ) L[ ( t )] 1
Y ( s ) G ( s ) R( s ) G (s )
1 Ts 1
系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
y( t ) 1 T
t T
e
, y( t )
1T
初始斜率
t0 t T
第三章 控制系统的时域分析方法
时域分析法: 分析当控制系统输入变化时，其 输出随时间变化的响应特性。
r(t) t R(s)
1 Ts 1
Y(s)
Y(t)
1
t
• 根据系统的数学模型求解出系统的时间响应,
如 y(t)=f (r(t)) • 由系统输出响应分析系统特性 • 评价和设计控制系统。
动态响应：过渡过程或瞬态过程，反映出
1 T
0.368 1 T

1 T
2
1 2T
1

0.368 T
2

0.135 T
2
0.368

0.05 T
2
T
2
0
t
0
0
0
T
2T 3T 4T 5T
1、一阶系统的脉冲响应为 一单调下降的指数曲线； 2、说明系统的惯性越小（T越小），系统的响应越快。
注意：
• 任何系统在单位脉冲输入信号作用下，输出的
A为常数，此信号幅值随时间t作等速增长，其变 用来表示随时间渐变的输入函数。
若A等于1，称为单位斜坡信号，
化速率为A，
3.1.1.4 抛物线(加速度)信号
r(t)
抛物线输入信号可表示为(图3-1(d))：
t
(d) 抛物线信号
At r (t ) 0
1 2
2
t0 t0
• A为常数，此信号幅值随时间以加速度A增长。 • 最适合用作航天器控制系统的试验信号。 • 若A等于1，称为单位抛物线信号。
y( t ) 1 / T
0
t
1 间的推移，是单调下降的。 1 0.368 1 t T , y( t ) e T
0 T 2T 3T
y’(t)
t , y( t ) 0
t
y(t)
总结：
1 0.632
斜率 =1/T B
一阶系统单位阶跃响应的重要性质：
0 T 2T 3T
A86.5％ 98.2％ 95％ 63.2％ 99.3％
r(t) t (c) 斜坡信号

(b) 脉冲信号
t
r(t)
r(t) t t
(d) 抛物线信号
(e) 正弦信号
图3-1 典型试验信号
3.1.1.1 阶跃输入信号
A
r(t)
阶跃输入信号可表示为(图3-1(a))：
A r (t ) 0 t0 t0
(a) 阶跃信号
t
• A为阶跃信号的幅值，为常数。 • A等于1时叫做单位阶跃信号，记做1(t)，否则记
取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式
• 若输入是突然的脉动 － 脉冲信号 • 若输入是突变的跃变 － 阶跃信号 • 若输入随时间逐渐变化 － 斜坡信号 • 若输入是周期信号 － 正弦信号 • ……
3.2 一阶系统的动态响应
一阶线性系统：可用一阶线性微分方程描述的系统。 例：网络的输入电压Ul和输出电压U2间的动态特 性由下列一阶微分方程来描述：
这一结果适合(仅适用）所有的线性定常系统。
习题1： 设单位反馈系统的单位阶跃响应为：
y( t ) 1 e
t
e
2 t
R(s) -
G0
Y(s)
1、求系统的单位脉冲响应； 2、求该系统的闭环传递函数和开环传递函数。 解：1、 对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：
y( t ) e
t 2 t
拉氏变换恰好为系统的传递函数。即 Y ( s ) G( s )
• 对上式进行拉氏反变换，即得系统的单位脉冲响
应函数 g(t) ：
L [Y ( s )] L [G( s )] y(t ) g (t )
1 1
实验测定系统的传递函数：
常用单位脉冲信号作用于系统，来测定系统的单
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
t T Te
t /T
1 2 3
t
1(t) δ(t)
1 e
1 T
t /T
e
t /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
uc u
h KQin
• T称为时间常数，表示系统的惯性大小 • K表示对象的增益或放大系数
传递函数是：
G ( s)
Y ( s) R( s )

K Ts 1
(3-6)
3.2.1单位阶跃响应
R( s ) （假设K＝1，系统的初始条件为零。） Ts 1
G ( s)
Y ( s)
说明：
1、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差是零， e ( ) r ( ) y( ) 0 2、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的2% （或5％）所需的时间，记为过渡时间（调节时间） , 记作 ts。
3、对一阶系统来说，是四倍（三倍）的时间常数, 即 ts=4T（ts=3T）。
3.1.1.5 正弦信号 正弦输入信号可表示为(图3-1(e))：
r(t)
t (e) 正弦信号
A sin t r (t ) 0
t0 t0
• A为常数，表示正弦输入信号的幅值。 • 该信号随时间以频率ω作等幅振荡。 • 用来描述交流电源、电磁波等周期信号。
究竟使用哪种典型 信号分析系统？
系统的动态性能；
输出响应 指在输入信号作用下，系统输出从初始状 态变化到最终状态的响应过程。 稳态响应：反映出系统的稳态性能 指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。
注意：系统达到稳态时，不一定输出数值不变，而 是输出的变化形式固定不变，它们与输入信号的作 用形式有关。
3.1 控制系统的过渡过程形式及性能指标