广东省汕头市金山中学高二数学下学期期中试题 文

汕头市金山中学2015-2016学年度第二学期期中考试
高二文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知集合}065{2≤+-=x x x A ，}0{>=x x B ，则=B A I （ ）
A.]3,2[
B.）
，（∞+0 C.），（）（∞+32,0Y D. ），（∞+3[]2,0Y 2、已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则
z
i
2-4的共轭．．复数是（ ） A ．13i -+ B ．13i + C ．13i - D ．13i --
3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为
（ ）
4、已知曲线4
2
1y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ）
（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6
5、圆2
2
240x y x y +-+=与2220()tx y t t R ---=∈的位置关系为 A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 6、设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则
，类比
这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ）
7、在△ABC 中,AB=2,AC=3,1=⋅BC AB 则BC= ( ） A ．3 B ．7 C ． 22
D ．23
8、已知,,A B C 点在球O 的球面上,90BAC ︒∠=,2AB AC ==．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．16π
C ．36π
D ．20π 9、已知双曲线
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．（1，2）
C ．[2，+∞）
D ．（2，+∞）
10、已知F 是抛物线2
4x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的点,A B ，若
3AF FB =，则k 的值是 （ ）
A ．3
B ．
3 C ．3 D ．23
11、已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >下恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为
A ．1
(0,]e
B ．(0,1]
C ．(0,]e
D ．(1,]e
12、直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
324 D ．3
2
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、已知双曲线过点()
4,3,且渐近线方程为1
2
y x =±
,则该双曲线的标准方程为 ．
14、已知函数2
23)(a bx ax x x f +++=在x ＝1处有极值10．则=+b a ________．
15、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2sinCcosB=2sinA+sinB ，△ABC 的面积为S=
12
3
c ，则ab 的最小值为_______． 16、如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、某产品的广告费用支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x /百万元 2 4 5 6 8 y /百万元 30 40
60 50 70
（1）求y 与x 之间的回归直线方程；
（参考数据：22
+42
+52
+62
+82
=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380） （2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？
附：线性回归方程∧∧∧+=a x b y 中，=
∧
b -
-∧=x b y a -，其中，为样本平均值
18、已知}{n a 是各项为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且,111==b a ,2332a b b =+
7325=-b a
（1）求}{n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n b a c ⋅=，+∈N n ，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
19、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，A 1O⊥平面ABC ，
︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1．
（1）求证： AC 1⊥平面A 1BC ；
（2）若AA 1=2，求点C 到平面11ABB A 的距离。

20、已知1,2F F 为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2斜率为k
（0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点，1EFF ∆的周长为8，且椭圆C 与圆223x y +=相切。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 为椭圆的右顶点，直线AE AF ,分别交直线4x =于点M N ,，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证k k '⋅为定值．
21、已知函数3
2
()2()f x x ax a =-+∈R ，()f x '为()f x 的导函数。

（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若对一切的实数x ，有3
()4
f x x '≥-
成立，求a 的取值范围； （3）当0a =时，在曲线()y f x =上是否存在两点112212(,),(,) ()A x y B x y x x ≠，使得曲线在
, A B 两点处的切线均与直线2x =交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请
说明理由．
汕头市金山中学2015-2016学年度第二学期期中考试高二文科数学答案
一、 选择题
ABADC CAACD BD
二、 填空题
13、22
14x y -= 14、-7 15、13
16、262n n -+ 三、解答题
答：当广告费用支出为1千万元时，销售额约是82.5百万元． 18、解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，
由已知，有24232,310,
q d q d ⎧-=⎨-=⎩
消去d 得42
280,q q --=解得2,2q d ==， 所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*
=∈N ，
{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ．
（2）由（1）有()1
212
n n c n -=- ，设{}n c 的前n 项和为n S ，则
()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L
两式相减得()()2
3
12222122323,n
n
n
n S n n -=++++--⨯=--⨯-L
所以()2323n
n S n =-+
19、解：（1）因为A 1O⊥平面ABC ，所以O A BC 1⊥．
又AC BC ⊥，所以C AC A BC 11⊥，所以1AC BC ⊥． 2分 因为AC AA =1，所以四边形C C AA 11是菱形，所以C A AC 11⊥． 所以⊥1AC 平面BC A 1． 6分 （2）设三棱锥AB A C 1-的高为h ． 由（1）可知，三棱锥BC A A 1-的高为32
1
1=AC ． 因为BC
A A A
B A
C V V 11--=，即33
1
3111⋅=⋅⋅∆∆BC A AB A S h S ．
在△A 1AB 中，AB ＝A 1B ＝22，AA 1＝2，所以S△A 1AB ＝7． 10分 在△A 1BC 中，BC ＝A 1C ＝2，∠BCA 1＝90
，所以S △A 1BC ＝
1
2
BC·A 1C ＝2． 所以7
21
2=
h ． 12分 20、解：（1）由题意得22
18,48,43EFF a a b ∆∴=∴==Q 焦点的周长为且 3分
所求椭圆C 的方程为13
42
2=+y x ． 4分 （2）设过点()21,0F 的直线l 方程为：)1(-=x k y ，
设点),(11y x E ，点),(22y x F 5分
将直线l 方程)1(-=x k y 代入椭圆13
4:2
2=+y x C
整理得：01248)34(2
2
2
2
=-+-+k x k x k 6分 因为点2F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0∆>恒成立，
且3482221+=+k k x x 3
412
42221+-=⋅k k x x 7分
直线AE 的方程为：)2(211--=
x x y y ，直线AF 的方程为：)2(2
22
--=x x y y 令4x =，得点1124,2y M x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，2224,2y N x ⎛⎫
⎪-⎝⎭
，
所以点P 的坐标12124,22y y x x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭
9分 直线2PF 的斜率为121212120221'()
41322
y y
x x y y k x x +---==+--- 2121121212121212122()23()41132()432()4
y x x y y y kx x k x x k x x x x x x x x +-+-++=
=⋅-++-++ 11分
将3
4124,3482
2212221+-=+=+k k x x k k x x 代入上式得： 22
2222224128234114343'4128324
4343
k k k k k k k k k k k
k k -⋅-⋅+++=⋅=---+++
所以'k k ⋅为定值1- 21、解：（1）2()3,,3a f x x x a R ⎛
⎫'=-
∈ ⎪⎝⎭Q 当0a >时，()f x 的减区间为20,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
； 当0a <时，()f x 的减区间为2,03a ⎛⎫
⎪⎝⎭
； 当0a =时，()f x 无减区间。

4分 （2）由条件得：2
3324
x ax x -≥-
， 当0x >时，得()2
332104x a x -++
≥，即33214x a x
+≥+恒成立，因为333,4x x +≥ （当1
2
x =
时等号成立)，所以213a +≤，即1a ≤; 6分 当0x <时，得()2
332104
x a x +-+
≥，即33124x a x +≥-恒成立，因为3334x x +≥，（当1
2
x =-
时等号成立)，所以123a -≤，即1a ≥-; 当0x =时，a R ∈;
综上所述，a 的取值范围是[]1,1- 9分 （3）设切线与直线2x =的公共点为()2,t P ，当0a =时，()2
3f x x '=，
则()2113f x x '=，因此以点A 为切点的切线方程为()32
11123y x x x x --=-． 因为点()2,t P 在切线上，所以()32
111232t x x x --=-，即32
112620x x t -+-=．
同理可得方程32
222620x x t -+-=． 11分
设()3
2
262g x x x t =-+-，则原问题等价于函数()g x 至少有两个不同的零点．
因为()()2
61262g x x x x x '=-=-,
当0x <或2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当02x <<时，()()0,g x g x '<递减。

因此，()g x 在0x =处取得极大值()02g t =-，在2x =处取得极小值()210g t =-
若要满足()g x 至少有两个不同的零点，则需满足20
100t t -≥⎧⎨-≤⎩
，解得210t ≤≤
故存在，且交点纵坐标的最大值为10．。