贵州省遵义市第四中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题

一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ）
A ．(2,1)-
B ． (2,1)
C ．(4,2)-
D ．(1,2)-
2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ）
A ．2-
B ．2
C ．12-
D ．13 3．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）
A ．(0,2),2
B ．(2,0),4
C ．(2,0),2-
D ．(2,0),2
4.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角
D 、11AC 与1BC
成60角 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．16π
6. 下列四个命题中错误的．．．
是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面
B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ）
A ．若//a b ，b α⊂，则//a α
B ．若//a α，b α⊂，则//a b
C ．若//a α，//b α，则//a b
D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b
8. 20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）
A ．1
B ． ． D ． 2
9. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均
为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边
长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．1 10．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）
A ．360x y +-=
B ．320x y -+=
C ．320x y +-=
D ．320x y -+=
11.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2
＝9，M ， N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4
B ．17－1
C ．6－2 2
D ．17
12.过直线y ＝2x 上一点P 作圆M ： (x －3)2＋(y －2)2＝45
的两条切线l 1，l 2，A ，B 为 切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.
14. 经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程为 ．
15. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.
16. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②
AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -.其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：（共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）如图，在OABC 中，点C （1，3）
． （1）求OC 所在直线的方程； （2）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．
18.（本小题满分12分）已知直线l 经过两点(2,1)，(6,3).
（1）求直线l 的方程；
（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程.
19. （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.
求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1B CD .
（2）（本小题满分12分）已知ABC ∆中∠ACB=90°，AS=BC=1，AC=2，SA ⊥面ABC ， AD ⊥SC 于D ，
（1）求证： AD ⊥面SBC ；
（2）求二面角A-SB-C 的正弦值.
21.（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点(0,1)A ，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2210x y --=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为0y =.
（1）求ABC ∆的顶点B 、C 的坐标；
（2）若圆M 经过不同的三点A 、B 、(,0)P m ，且斜率为1的直线与圆M 相切于点P ，求
圆M 的方程.
22.(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 与圆C 交 于A 、B 两点．
(1)是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若 不存在，说明理由；
(2)当直线l 平行移动时，求△CAB 面积的最大值．
遵义四中2014-2015年度第一学期半期考试高二数学答案
18、解：（1）由已知，直线的斜率，
所以，直线的方程为.
（2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，
因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
所以，
所以圆心坐标为，半径为1，
所以，圆的方程为.
19. 证明：（1）在直三棱柱中，平面，
所以，，
又，，
所以，平面，
所以，.
（2）设与的交点为，连结，
为平行四边形，所以为中点，又是的中点，
所以是三角形的中位线，，
又因为平面，平面，所以平面.
21、解：（1）边上的高所在直线的方程为，所以，，又，所以，，
设，则的中点，代入方程，
解得，所以.
22. (1)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
因此直线AB 的圆过圆点O ，
所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.
x2＋y2－2x ＋4y －4＝0y ＝x ＋m ，
消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0. Δ＞0得－3－3＜m ＜3－3.
由根与系数关系得：
x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝2m2＋4m －4， y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4.
直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.
(2)设圆心C 到直线l ：y ＝x ＋m 的距离为d ， |AB |＝2，
S △CAB ＝21×2×d ＝＝29≤29，此时d ＝22，l 的方程为y ＝x 或y ＝x －6.。