高考数学大一轮复习第十四章选考部分14_1坐标系与参数方程第1课时坐标系教师用书理新人教版

第1课时坐标系
1．平面直角坐标系
x′＝λ· xλ >0，
设点 P( x， y)是平面直角坐标系中的随意一点，在变换φ：的
y′＝μ· yμ >0
作用下，点 P( x， y)对应到点 P′(x′， y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简
称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的观点
在平面内取一个定点O，自点 O引一条射线 Ox，同时确立一个长度单位和计算角度的正方向( 通常取逆时针方向 ) ，这样就成立了一个极坐标系．点O称为极点，射线 Ox称为极轴．平面内任一点 M的地点能够由线段OM的长度ρ和从射线 Ox 到射线 OM的角度θ来刻画(如图所示 ) ．这两个数构成的有序数对( ρ，θ ) 称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点
的极角．一般以为
ρ≥0. 当极角
θ
的取值范围是 [0,2 π) 时，平面上的点 ( 除掉极点 ) 就与
M
极坐标 ( ρ，θ ) ( ρ≠0) 成立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ 可取随意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设 M为平面内的一点，它的直角坐标为( x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下边关系式成立：
x＝ρcosθ，ρ 2＝x2＋y2，
y.
或
y＝ρsinθtan θ＝x x≠0这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常有曲线的极坐标方程
曲线
图形 极坐标方程
圆心在极点，半径为 r 的圆
ρ＝ r (0 ≤ θ<2π)
圆心为 ( r, 0) ，半径为 r 的圆
ρ＝ 2r cos_ θ( －
π
π
2 ≤ θ< 2 )
π
圆心为 ( r ， 2 ) ，半径为 r 的圆
ρ＝2r sin_ θ(0 ≤ θ<π) 过极点，倾斜角为 α 的直线
θ＝ α( ρ∈R) 或 θ ＝π＋
α( ρ∈ R)
过点 ( a, 0) ，与极轴垂直的直线
π π
ρcos
θ＝ a ( － 2 <θ < 2 )
π
过点 ( a ， 2 ) ，与极轴平行的直
ρsin_ θ＝ a (0< θ<π)
线
1．(2016 ·北京西城区模拟 ) 求在极坐标系中，过点
(2 ， π
) 且与极轴平行的直线方程．
2
π
解
点(2 ， 2 ) 在直角坐标系下的坐标为
π π
(2cos
， 2sin
) ，即 (0,2) ．
2
2
∴过点 (0,2) 且与 x 轴平行的直线方程为 y ＝ 2.
即为 ρsin
θ＝ 2.
2．在极坐标系中，已知两点
、 的极坐标分别为 (3 ， π ) 、 (4 ， π
) ，求△
( 此中 O 为极
A B 3 6 AOB
点 ) 的面积．
解
由题意知 、 的极坐标分别为
π π ，则△ 的面积
1
· ·sin ∠
AOB (3， )、(4， )
△AOB
＝
A B
3
6
AOB
S 2OA OB
1
π
＝ 2×3×4×sin 6 ＝3.
3．在以 O 为极点的极坐标系中，圆
ρ
＝ 4sin
θ 和直线
ρ
sin
θ ＝ a 订交于 ， 两点．当
A B
△ AOB 是等边三角形时，求 a 的值．
解
由 ρ＝ 4sin
θ 可得 x 2＋ y 2＝ 4y ，即 x 2＋ ( y － 2) 2＝ 4.
由 ρ sin θ＝ a 可得 y ＝a .
设圆的圆心为 O ′， y ＝a 与 x 2＋ ( y － 2) 2＝ 4 的两交点 A ，B 与 O 构成等边三角形，如下图．
由对称性知∠ O ′ OB ＝30°， OD ＝a .
在 Rt △ DOB 中，易求 DB ＝ 33a ，∴ B 点的坐标为 ( 33
a ， a ) ．
又∵ B 在
x 2
＋
y 2
－4 ＝0 上，∴(
3 ) 2 ＋ 2 －
4 ＝0，
y
3 a
a
a
即 4
a 2－4a ＝ 0，解得 a ＝ 0( 舍去 ) 或 a ＝ 3. 3
题型一
极坐标与直角坐标的互化
例 1 (1) 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系， 求线段 y ＝1－
x (0 ≤ x ≤1) 的极坐标方程．
(2)
1 2 2
θ＝ 1. 以极点为平 在极坐标系中，曲线 C 和 C 的方程分别为
ρsin θ＝ cos θ 和 ρ sin 面直角坐标系的原点，极轴为
x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，求曲线 C 1 和 C 2 交点的直 角坐标．
＝ ρ cos θ ，
解
(1) ∵
θ，
y ＝ ρ sin
∴ y ＝ 1－ x 化成极坐标方程为 ρcos θ ＋ ρsin
θ＝1，
1
即 ρ＝ cos θ＋ sin θ.
∵0≤ x ≤1，∴线段在第一象限内
( 含端点 ) ，
π
∴ 0≤ θ≤ 2 .
(2) 因为 x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ，由 ρsin 2θ＝cos θ ，得 ρ2sin 2θ＝ ρcos θ，因此
1
的直角坐标方程为 2
2
y ＝ 1. 由
曲线 C y ＝ x . 由 ρsin θ＝ 1，得曲线 C 的直角坐标方程为 y 2＝ x ， x ＝ 1，
故曲线 C 1 与曲线 C 2 交点的直角坐标为 (1,1) ．
y ＝ 1 得
y ＝ 1，
思想升华
(1) 极坐标与直角坐标互化的前提条件：
①极点与原点重合； ②极轴与 x 轴的正半
轴重合；③取同样的单位长度．(2) 直角坐标方程化为极坐标方程比较简单，只需运用公式x ＝ρcosθ 及y＝ρsinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困
难一些，解此类问题常经过变形，结构形如ρ cosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．
(1)曲线 C的直角坐标方程为 x2＋ y2－2x＝0，以原点为极点， x 轴的正半轴为极
轴成立极坐标系，求曲线 C的极坐标方程．
(2)求在极坐标系中，圆ρ ＝2cosθ 垂直于极轴的两条切线方程．
解 (1) 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－ 2x＝ 0，得ρ2－ 2ρcos θ＝ 0，整理得ρ
＝2cos θ.
(2) 由
ρ＝ 2cos
θ
，得
ρ
2
＝ 2cos
θ
，化为直角坐标方程为
x
2＋
y
2－ 2＝0，即 (
x
－1)2＋
ρx
y 2＝ 1，其垂直于
x
轴的两条切线方程为
x
＝0 和
x
＝ 2，相应的极坐标方程为
π
(∈R)
θ
＝
ρ
2
和ρ cosθ＝2.
题型二求曲线的极坐标方程
例 2将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变成本来的 2 倍，得曲线C.
(1)写出曲线 C的方程；
(2) 设直线l： 2x＋y－ 2＝0 与C的交点为P，P，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
12
立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与 l垂直的直线的极坐标方程．
解(1)设 ( x1，y1) 为圆上的点，在已知变换下变成曲线C上的点( x，y)，依题意，
得
x＝ x1，
＝ 2
y
1.
y
由
222y2
x1＋y1＝1 得x＋(2) ＝1，
2
y2
即曲线 C的方程为 x＋4＝1.
2
y2
(2)x ＋4＝ 1，x＝1，或x＝0，
由解得
y＝2.
2x＋y－ 2＝ 0，y＝0，
121211不如设 P (1,0)，P (0,2)，则线段 P P 的中点坐标为(2，1)，所求直线斜率为k＝2，
1 1
于是所求直线方程为 y－1＝2( x－2)，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－ 4ρsinθ＝－3，
即ρ＝
4sin
3
θ－2cosθ
.
思想升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1) 成立合适的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点； (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上随意一点的极径ρ 和极角θ 之间的关
系式； (3) 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
在极坐标系中，已知圆 C经过点 P(
ππ3 2，4 ) ，圆心为直线ρsinθ－3＝－2
与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
π3
解在ρsinθ－3＝－2中，
令θ＝0，得ρ＝1，
因此圆 C的圆心坐标为(1,0)．
如下图，因为圆C经过点
P 2，π
，4
因此圆 C的半径
PC＝2＋ 12－2×1× 2cos π
24＝1，
于是圆C过极点，因此圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.题型三极坐标方程的应用
例 3(2015 ·课标全国Ⅰ ) 在直角坐标系
1222 xOy中，直线 C：x＝－2，圆 C：( x－1)＋ ( y－ 2)
＝ 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．
(1)求 C1， C2的极坐标方程；
π
(2)若直线 C3的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，设 C2与 C3的交点为 M， N，求△ C2MN的面积．解 (1) 因为x＝ρ cos θ，y＝ρsin θ，
因此 C1的极坐标方程为ρcosθ ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ 2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
π2
(2)将θ＝4代入ρ －2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ 2－3 2ρ＋4＝0，解得ρ 1＝2 2，ρ2＝ 2.
故ρ 1－ρ2＝2，即 | MN|＝ 2.
因为 C2的半径为1，因此△ C2MN为等腰直角三角形，
1
因此△ C2MN的面积为2.
思想升华(1) 已知极坐标系方程议论地点关系时，能够先化为直角坐标方程；(2) 在曲线的
方程进行互化时，必定要注意变量的范围，注意转变的等价性．
ρ
θ
π
ρ
(2017 ·广州调研 ) 在极坐标系中， 求直线
sin( ＋ 4)＝2被圆
＝4 截得的
弦长．
π
2
θ) ＝ 2 可化为 x ＋ y －2
解 由 ρsin( θ＋ 4 ) ＝ 2，得
2 ( ρsin θ＋ ρcos
2＝ 0. 圆 ρ＝4
可化为 x 2＋y 2
＝ 16，由圆中的弦长公式得：
2 r 2－ d 2＝ 242－
2 2
2
＝ 4 3. 故所求弦长为 4 3.
2
1 ．(2015 ·广东 ) 已知直线 l 2ρ sin
π
＝ 2 ，点 A 的极坐标为
的极坐标方程为 θ－ 4
2 7π ，求点 A 到直线 l 的距离．
2，
4
－
π
2 2，
7π
解
依题可知直线 l ：2ρsin
θ
4
＝
2和点 A 4 可化为 l ：x － y ＋ 1＝0 和 A (2 ，
|2 － －2 ＋1|
5
2
－ 2) ，因此点 A 到直线 l 的距离为 d ＝
12＋ － 1
2
＝
2.
2．在极坐标系 ( ρ， θ )(0 ≤ θ ＜2π) 中，求曲线 ρ(cos θ＋sin
θ) ＝ 1 与 ρ(sin
θ－cos
θ) ＝1 的交点的极坐标．
解
曲线 ρ(cos
θ＋ sin θ) ＝1
化为直角坐标方程为 x ＋ y ＝ 1， ρ(sin θ－cos
θ ) ＝ 1
y －x ＝ 1. x ＋ y ＝1，
x ＝0，
化为直角坐标方程为
联立方程组
y － x ＝1，得
则交点为 (0,1)
，对应
y ＝1，
的极坐标为
1，
π
2 .
3．在极坐标系中，已知圆
ρ＝ 3cos θ 与直线 2ρ cos θ＋ 4ρsin θ＋a ＝ 0 相切，务实数
a 的值．
解 圆 ρ＝ 3cos θ 的直角坐标方程为
x 2＋ y 2＝3x ，
即 x －3 2
＋ y 2＝ 9
，
2 4
直线 2ρcos
θ＋ 4ρsin
θ＋ a ＝0 的直角坐标方程为
2x ＋ 4y ＋ a ＝ 0.
3
|2 × 2＋4×0＋ a |
3 因为圆与直线相切，因此
2 2＋ 4 2
＝ 2，
解得 a ＝－ 3±3 5.
π
4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ 对于直线θ＝4对称的曲线的极坐标方程．解以极点为坐标原点，极轴为x 轴成立直角坐标系，
则曲线ρ＝2cosθ 的直角坐标方程为(x－1)2＋ y2＝1，
且圆心为 (1,0)．
π
y＝x，
直线θ＝4的直角坐标方程为
因为圆心 (1,0)对于 y＝ x 的对称点为(0,1)，
因此圆 (
x －1) 2＋
y
2＝1 对于＝
x
的对称曲线为
x
2＋ (
y
－1)2＝1.
y
π
ρ＝2sinθ.
因此曲线ρ＝2cosθ 对于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为
4
5．在极坐标系中，P是曲线C：ρ＝ 12sin θ上的动点，Q是曲线C：ρ＝ 12cos( θ－π6 )
12
上的动点，求 |PQ|的最大值．
解对曲线 C1的极坐标方程进行转变：
∵ρ＝12sinθ，∴ρ 2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即 x2＋
( y－6)2＝36.
对曲线 C2的极坐标方程进行转变：
π
∵ρ＝12cos(θ－6)，
∴ρ2＝12ρ(cosθcos ππ
6＋ sinθsin6)，
∴x 2＋
y
2－6 3 －6
y
＝0，∴(－3 3) 2＋ (
y
－3) 2＝ 36，x x
∴| PQ|＝ 6＋6＋322
3 ＋3＝18.
max
π5π
6．在极坐标系中，O是极点，设A(4 ，3 ) ，B(5 ，－6 ) ，求△AOB的面积．
解如下图，∠ AOB＝2π－π
－
5π
＝
5π
，366
OA＝4， OB＝5，
故 S△
15π
AOB
6＝5.＝2×4×5×sin
2π
7．已知P(5 ，3 ) ，O为极点，求使△POP′为正三角形的点P′的坐标．
解设 P′点的极坐标为( ρ，θ) ．
∵△ POP′为正三角形，如下图，
π
∴∠ POP′＝3.
2ππ π2π π
∴θ＝3－3＝3或θ＝ 3
＋3＝π.
又
π
ρ＝ 5，∴′点的极坐标为 (5 ， ) 或 (5 ，π ) ．
P3
8．在极坐标系中，判断直线ρcosθ－ρsinθ＋1＝0与圆ρ＝2sinθ 的地点关系．
解直线ρcosθ －ρsinθ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ ＝2sinθ 可化为x2＋y2＝
2y，即x2＋ ( y－1)2＝ 1. 圆心 (0,1) 到直线x－y＋ 1＝ 0的距离 d＝|0－1＋1|
＝0<1.故直线与
2
圆订交．
ππ9．在极坐标系中，已知三点M 2，－3、N(2,0)、P23，6 .
(1)将 M、 N、 P三点的极坐标化为直角坐标；
(2)判断 M、 N、P 三点能否在一条直线上．
x＝ρcosθ，
得的直角坐标为 (1 ，－3) ；解(1) 由公式
y＝ρsinθM
N的直角坐标为(2,0)； P的直角坐标为(3，3)．
33－ 0
(2)∵ k MN＝2－1＝3，k NP＝3－2＝ 3.
∴ k MN＝ k NP，∴ M、 N、P 三点在一条直线上．
10．在直角坐标系xOy中，以 O为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．曲线C的极坐标
π
方程为ρcos(θ－3)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出 C的直角坐标方程，并求M、 N的极坐标；
(2)设 MN的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程．
π
解 (1) 由ρ cos( θ－3 ) ＝ 1
1
得ρ ( 2cosθ＋
3
2
sinθ)＝1.
13
进而 C的直角坐标方程为2x＋2y＝1，
即 x＋3y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，因此M(2,0)．
π23 2 3π当θ＝2时，ρ＝3，因此 N(3，2)．(2)M点的直角坐标为(2,0)．
23
N点的直角坐标为(0 ， 3 ) ．
3
因此 P点的直角坐标为(1 ，3 ) ．
2 3π
，6)，
则 P点的极坐标为( 3
π
因此直线 OP的极坐标方程为θ＝6(ρ∈R)．。