两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。

下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角比,“的三角函数值表示住土戸的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦
公式的功能。

换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将或血与征,刃的三角函数联系起来。

根据诱导公式，由角&的三角函数可以得到鼻的三角函数。

因此，由和角公式
容易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。

又因为
an（——£E）= EIK<E
2 ，即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。

因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。

（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示比，Q和°盘尸，而且角的终边与单位圆的交点坐标可
以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系叭伍士Q与比，〃的三
角函数值的等式。

1.和角余弦公式
使角a 的始边为址，交□ °于点A 终边交口 O 于点B ；角力始边为，终边交 口。

于点C;角-0始边为 金，终边交口。

于点。

从而点A B, C 和D 的坐标分别为 我XQ) j?(cos4Z,siii a) C(CDS (^E > fff) ^(CDS ^-SIL /O
5
5 5
由两点间距离公式得
=(oos(a+/?)-l)1 +sin 1(<z4/I) = 2-2cos(a+/9 ；
2JD 3 = (cos/I-coso)3 +(-an/J —sin^z)7 = 2-2(c ascttjOfi /f -品么血历。

注意到 JC=BD,因此诧抚*网二込伍5£0-血伍血0。

注记：这是教材上给出的经典证法。

它借助单位圆的框架 ，利用平面内两点间距离公
式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。

注意
，公式中的比和"为任意角。

2.差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下
，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段 ，也可
以得到我们希望的三角等式。

这就是
(方法2)如图所示，在坐标系“加中作单位圆°，并作角比和灯，使角°和 /的始边均为@
，交
（方法1）
，并作角比
D °于点C角也终边交口°于点A，角Q终边交口°于点。

从而点A，B的坐标为©，巩g炖血Q。

由两点间距离公式得
血工=(COS<E-COS QN +(sm a-on/97= 2-2(cosff cos/J+sinffsin/?)。

由余弦定理得
A^2 =必 + -MJTMI gZ^JS =O^ +OJJ3
= 2-2ctts(ff -fi)。

从而有叭a4^ = ^“g!j?-sifHZsinQ。

注记：方法2中用到了余弦定理，它依赖于厶08是三角形的内角。

因此，还需要补充讨论角°和刃的终边共线,以及厶08大于用的情形。

容易验证,公式在以上情形中依然成立。

在上边的证明中，用余弦定理计算血'的过程也可以用勾股定理来进行。

也可以用向量法来证明。

则()A( C()> U ・)- f)t>( L'U> y?* MU J?),
山向ht数ht积的定义*有
()/t • ()li - (iA * ()ti cost a r?> = n>s(a—/?).
由向律数常积的坐标畑仃
(c< 氐sin jO
cos an)> 0 ・Mil a>：［)d
cx)>t a d' cns oros ^+stn osih t
（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式,还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式（一）
（方法3）如图所示，他为辺C的必边上的高，CF为M 边上的高。

设
AE = bcnsa CE = ^9n CE
5
SE=CEcdtfi=p
EC = CEcx fi=b^A^csc
因此zMJ AK I BK吒rmc I “n LTG■丿。

RD = AB sin a 二A(oosa T sin acai 尸JsLaa
注意到f>f）肮:GnQ l灼 Zisin ME屮血（仃.I旳
从而有：(cosa+ sinacot/Qsuia =siii2csc
^sui0z-t i^)
j
血1(住1■闻=血在casQ* cosasufi
注记：在方法3中，用和与底角①,〃相关的三角函数,从两个角度来表示边上高於门,从而得到所希望的等式关系。

这一证明所用的图形是基于钝角三角形
的,对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。

利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的
（方法4）如图所示,ED为'述C的“血边上的高，CE为丄U边上的高。

设
ZdB = a,zau = j?,则zno=a + ^o
AE AD
注意到26口3Q，则有M EQ ,即。

现：5=竺=空竺型__ AELBD f 从而有JJC AS BC应CSC JmSC AD r pE 严
=AB RC l总© = *么血#★血acrn#。

利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。

注意证明利用的图形框架与方法3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法5)如图所示,CD为3C的廊边上的高。

设ZC4^ = a ,
^OLL-fi,则有ZA.CB = +罚,。

由正弦定理可得
M： RC 3
--------=----------- -- =------------------ =a
mfi sina siii(a+Q
5
其中d为AMC的外接圆直径。

由血=ACws^-l-JfCaK/?得efan(a -l-/0=^Eiii /IbcBCE-l-ifdnaCcDsZ^
从而有
oik(a +Q = + ff
2.和角正弦公式（二）
方法3,4和5利用的图形框架是将角比，"放在三角形的两个底角上。

如果将这两个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法6~11）。

(方法6)如图所示,作血丄EC于D,交外接圆于E,连皿和CE。

设 a £CAE=Q，则a, = fl。

设"®C的外接圆直径为d,则有,
BE = d an (Z
BD = SEcas= d^aazjos0 CE = dsnp CD =CK CO£<T=dsinficn&a
, , 。

所以有BC=BD I CD =d(^n.avos尸 + COG "sin/Q
注意到ifC= dan(a+fl)从而■总=鈕在cos0~lcosO血尸。

（方法7）如图所示,期为 '贬的屁边上的高，厲为血边上的高。

设
ZJCE=a, ^CE=fi，则= 设CE=存，则
AE=htsuia B£=htatif} BC = hs^cJJ J1ZJ= = J^tana + tan/I)
y y y
JJD = jJJfsmjl = jJifajsa=: A#aatt + tan/?)M>s o
又BD 二BCan(a + J fl) = ^scc /?sin(<z-l 0)
从而(tana-I tan casa=scc/fsin(a h/J)。

整理可得血(口 +闻二血acGs/f+cQstrsin/J。

(方法8)如图所示,作肋丄OC于D,过D作DF丄(M于F,M丄磁于G 设moc = a,4OC“，则山妙=a+",设加=r ,从而
ED =rsin p OD = r€jasfi BG= BDcos^a
5 5 5
GE = DF = QD4a =rcos^sm a
o
所以该丑二BGl-GE = r(sm尸cosa+cosQsiACE)
注意到血"dn仗5,则有
sm(ci 4-/Q =sin a cos 尸+cos a sin p
o
方法来计算DE,则可以得到和角的余弦公式。

由上图可得
OF= QDcosa =rc<ks/Fcosa
EF=GD = c = d
5
从而有OF =^005^005/^-5111 a on/?）。

注意到OJC = rcos^a+fl）
从而可得*Z T 5心心2 sinn^np o
方法6,7和8都是用角足,*的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段从而构造出我们所希望的等式关系。

（方法9 ）女口图所示，设切为皿^°的应边上的高。

设ZG4^ =a ,
Z5且卩，盈处，RC F ,从而有
AD — b cos oc RD = £? cos CZ> = isin<z = asin P
5： =工 ADC + S 二 Mt
=-^-6cos cCa du Q + ；◎ cos /3Z&sin a
-£血(sin ex cos 0 + cosasin /3)
S^JBC = — ACTBC sin 2LACB =丄ab
+ B} 又因为 侮2
2
' i
从而可得
sin.(ct + 0) = sina cos p +cos crsin 0
9利用面积关系构造三角恒等式。

下面这两个证法的思路则有所不同。

因此 方法
AB = d cos P EC = d
9
CD = dsina i DA = dc^a
BD =d sin(£i+p)
由托勒密定理知
AC玉D-ABZCD + ADZBC
艮卩djd sin(a十=sin tz十dcosctQ/siti 0
整理即得
sin(cr 十炉二sin tz cos>5+cos a sin p
（方法10）女口图所示，设"^为曲的外接圆直径d,长度为d。

设Z.CAD = a ^SAC则XDAJf ft 从而
AR = d cos p EC = d siny?
V
CD = d^a^DA=d^a
ED —d sin(ar+ p)
由托勒密定理知
AUBD = ABHD +閱DHC
艮卩did sin(a+ ff) = sin CE+ rfcosoG/sin
整理即得
或口〔◎十0) =sin ct cos >?+cos a sin B
注记：这一证明用到了托勒密定理：若恋和EQ是圆内接四边形的对角线，贝y有dU/sm(<Z4/9 = rfcos 因/血农+ £8£述日弘尸
（方法11）如图所示,CD为A-liC的“佃边上的高。

设^ACD = a ,
4fdJ = Q,则ZACB =«+/? o设 8 二曲，则
AB = AD 4 BD =凰 tan + tan/7)
JC=/tseccs -9C = ftsec Z ?
由正弦定理可徐
AB _ AC _
sin(a + sin sir ^4 AR _ MC 月C
sin(cr + JJ) cos p costz
AC +
sin(a+cos/?+ecsff
Xtan ff + tan /3) _ /j(secffl±sec Q)
sin(tr+j0} cos fi +gsiz
si n(oc + /5) = sin a cos & 十 cos 兌 sin 0
方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角 a , 〃相关的三角函数表示其它 线段，再通过联系这些线段的几何定理
(托勒密定理或正弦定理),构造出我们希望的
等式关系。

3.差角正弦公式 仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。

方法12和13
便是用这种想法来证明的。

即 从而 即
整理即得
作Q 卫丄册于E ,则~P , ZADE=a ,从而有
CD — J sin /? DE — b sin(tz —向
DA = □D^sectz —b sia(tz —/J)sec tz
—CD 十D4 二坯sin 0十 5in(tr — P)sec Ct)
BC — h cos E AC = BC tan a 二 b cos /? tan
f
sin 尸十弭口(£?— /?)se 亡cr = cos p tan a sin(cr 一Q) = £ifi acos y?- cosasin Q
（方法13）如图所示,曲为 的外接圆直径,长度为d 。

设 亚， ZCAD = fl,则二 p, N3 = a-B 。

从而
=d cosa ； BD = e/sin cr
BC — d sin （ct — j/3） AC — d cos （o （ - p ） f
（方法12）如图所示 ZACS=-
2 。

设 4WC =0 ,记 £D = b
因此有
AC 注意劃
从丽
整理可得
DE - AD tan/?—d? cos a tan/?
BE = BCstc]3= rfsin（a-/?）sec/?
所以
月D = BE + DE = d（sin位—/7）sec/? + cos C L tan Q
注意到ED = £sin业从而
sir a = sinsec/? + cosatan P
整理可得
sin（CK —p）-sin ffcos/3- cos<xsin /?
方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式
关系。

很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。

换言之，这两种方法中出现的角席，Q是任意角。

而其余方法中,角疣和Q则有一定的限制,它们都是三角形的内角（甚至都是锐角）。

因此，对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角
皿和戸是任意角的情形。

具体而言，我们要证明：如果公式对任意2成立，
则对任意角也成立。

容易验证，角比和"中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴上的角），我们的公式是成立的。

下面证明，角比和 Q都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的
角）时，我们的公式也成立。

不妨设口为第二象限角，〃为第三象限角，从而有
of三2酬兀+ —扌心]0<of, < —2 \ 1 2.血E Z：
0二(加+ 1)心戸]°5它ne Z
•u"l
V •■
:因此有
sin a = cos a oos£if —-sina
* «. " A.
■ a
山110二一冒讪耳COS /3 = "£05^ 从而
JI
siii(«+ /?) = 5111[(2?«.7 + —+^1)+((2H +1}.T +J^)]
=sin[(2ffi 4-2M就+ (円+片)]
=或Of] +01)
二—cos a}CDS + win 冈sin离
=eos (-cos sin 务)(一或口再)
=Sinar cos p +cos ct sin 尸
同理可证，公式对于象限角尬和戸的其它组合方式都成立。

因此，我们可以将方
法3~13推导的公式推广到角口 ,刃是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。

其推导证明对指导学生进行探
究性学习很有帮助。

从上文中可以看到，这一探究过程可分为四个步骤：
⑴明确推导证明的目标：构造联系口和戸三角函数与曲心土用或sm(a土Q
的等式或方程；
(2) 简化课题：四个公式只要解决一个，其余的都可由它推出；
(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系a和Q三角函数与
的工具，寻找我们希望的等式关系；
(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。

如果普遍性有欠缺
可考虑将其化归为已解决的情形，必要时还要进行分类讨论。