2017届浙江省高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)

2017届浙江省高三上学期高考模拟考试数学试题
一、选择题
1．已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}
|3Q x R x =∈<，则P Q = （ ） A.[]3,4 B.(]3,4- C.(],4-∞ D.()3,-+∞ 【答案】B.
【解析】试题分析：由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-，∴(3,4]P Q =- ，故选B. 【考点】集合的运算. 2．已知复数1i
z i
+=
，其中i 为虚数单位，则z = （ ） A.
12
B.2
【答案】C.
【解析】试题分析：由题意得，1z i =-
，∴||z = C.
【考点】复数的运算. 3．“直线l 与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B.
【解析】试题分析：根据线面垂直的判定：l 与α内的两条相交直线垂直l α⇔⊥，故是必要不充分条件，故选B.
【考点】1.线面垂直的判定；2.充分必要条件.
4．已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（ ） A.
12 B.12e C.1e D.21e
【答案】C.
【解析】试题分析：设切点为00(,ln )x x ，∴切线方程是
00000
1ln ()ln 1x
y x x x y x x x -=
-⇒=+-， ∴00
11ln 10
a x a e x ⎧=⎪
⇒=⎨⎪-=⎩，故选C.
【考点】导数的运用.
5． 函数()cos y x x x ππ=-≤≤的图象可能是（ ）
【答案】A.
【解析】试题分析：由题意得，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ，C ，又∵2
x π
=
，0y =，
排除D ，故选A.
【考点】函数的性质及其图象.
6．若整数x ，y 满足不等式组202407280x y x y x y -≥⎧⎪
++≥⎨⎪+-≤⎩
，则34x y +的最大值是（ ）
A.-10
B.-6
C.0
D.3 【答案】D.
【解析】试题分析：如下图所示，若x ，y R ∈，画出不等式组所表示的可行域，作直线l ：340x y +=， 则可知当1x =，1
2
y =
时，34x y +取到最大值，取离其最近的整点，从而可知当1x =，0y =时，max (34)3x y +=，故选D.
【考点】线性规划. 7．已知1
02
a <<
，随机变量ξ的分布如下：
当增大时，（ ）
A.()E ξ增大，()D ξ增大
B.()E ξ减小，()D ξ增大
C.()E ξ增大，()D ξ减小
D.()E ξ减小 ，()D ξ减小 【答案】B. 【
解
析
】
试
题
分
析
：
由
题
意
得
，
1
()2
E a ξ=-+
，
22211111()(1)()()(1)22222E a a a a a ξ=-+
+⨯+-+-+-+-⨯ 2124a a =-++，又∵1
02a <<，∴故当a 增大时，()E ξ减小，()D ξ增大，故选B.
【考点】离散型随机变量的期望与方差.
8．设a ，b ，c
是非零向量.若1|||||()|2
a c
b
c a b c ⋅=⋅=+⋅ ，则（ ）
A.()0a b c ⋅+=
B.()0a b c ⋅-=
C.()0a b c +⋅=
D.()0a b c -⋅=
【答案】D.
【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅= ；若a c b c ⋅=-⋅
，则
由1|||||()|2
a c
b
c a b c ⋅=⋅=+⋅ 可知，0a c b c ⋅=⋅=
，故()0a b c -⋅= 也成立，故选
D.
【考点】平面向量数量积.
【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
9．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 平面
ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则 （ ）
A.1θθ≥
B.1θθ≤
C.2θθ≥
D.2θθ≤
【答案】A.
【解析】试题分析：如下图所示，设D 在平面ABC 的投影为M ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ，连DN ，AM ，∴sin DM DN θ=
，1sin DM
DA
θ=，∵DA DN ≥，∴1sin sin θθ≤，∴1θθ≤，而θ与2θ的大小关系是不确定的，故选A.
【考点】线面角与二面角的求解.
【方法点睛】线面角、二面角求法，求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)，证，求(算)三步曲，也可用射影法：
设斜线段AB 在平面α内的射影为''A B ，AB 与α所成角为θ，则|''|
cos ||
A B AB θ=
；
设ABC ∆在平面α内的射影三角形为'''A B C ∆，平面ABC 与α所成角为θ，则
'''
cos A B C ABC
S S θ∆∆=
. 10．已知()f x ，()g x 都是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设函数
()()(1)()(1)F x f x g x f x g x =+----，若0a >，则（ ）
A.()()F a F a -≥且()()11F a F a +≥-
B.()()F a F a -≥且()()11F a F a +≤-
C.()()F a F a -≤且()()11F a F a +≥-
D.()()F a F a -≤且()()11F a F a +≤- 【答案】A.
【解析】试题分析：由题意得，2(1),()(1)
()2(), ()(1)
g x f x g x F x f x f x g x -≥-⎧=⎨
<-⎩，
∴
2(1),()()(1)
()2(), () ()(1)
g a f a f a g a F a f a f a f a g a +=-≥+⎧-=⎨
-=-<+⎩，
2(1),()(1)
()2(), ()(1)
g a f a g a F a f a f a g a -≥-⎧=⎨
<-⎩， ∵0a >，∴22
(1)(1)40a a a +--=>，∴|1||1|(1)(1)a a g a g a +>-⇒+>-，
∴若()(1)f a g a >+：()2(1)F a g a -=+，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a ->， 若(1)()(1)g a f a g a -≤≤+：()2()2()F a f a f a -=-=，()2(1)F a g a =-，∴
()()F a F a -≥，
若()(1)f a g a <-：()2()2()F a f a f a -=-=，()2()F a f a =，∴()()F a F a -=， 综上可知()()F a F a -≥，同理可知(1)(1)F a F a +≥-，故选A.
【考点】1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1a -与1a +大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
二、填空题
11．抛物线2
2y x =的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】1(,0)2，12
x =-
. 【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是1(,0)2
，准线方程是12x =-
，故填：1(,0)2
，1
2
x =-.
【考点】抛物线的标准方程及其性质.
12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2
cm ，体积是_____3
cm .
【答案】20+8.
【解析】试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积
21
2422422202S =⨯⨯⨯++⨯+⨯=+，
体积1
42282
V =⨯⨯⨯=
，故填：20+，8.
【考点】1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
，若a =，3
C π
=
，
3
tan 4A =
，则sin A =________，b =__________. 【答案】3
5
，4
【解析】试题分析：由33
tan sin 45
A A =⇒=，由正弦定理得，
sin 5sin sin sin a c C
c a A C A
=⇒==，
cos cos 4b c A a C =+=3
5
，4
【考点】解三角形.
14．已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若2
(1)2n
n n n T S +=，*n N ∈，
则d =_________，q =________. 【答案】2，2.
【解析】试题分析：由题意得，
11
22211
12211
()22
n n n n n b q b T q q d d S n n n a n -++--=⇒=+-，∴2q =，11111
b b q =⇒=-，12d
a =，
此时
222222
n n
d d n n =⇒=，故填：2，2. 【考点】等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和.
15．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 ____________（用数字作答）.
【答案】10.
【解析】试题分析：如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1，2，3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走），4，5，故不
同取法的种数是5
5
3232
10A A A =，故填：10.
【考点】计数原理.
16．已知直线:(0)l y kx k =>，圆221:(1)1C x y -+=与222:(3)1C x y -+=.若直线
l 被圆1C ，2C 所截得两弦的长度之比是3，则实数k =____________.
【答案】
13
. 【解析】
=13k =，故填：1
3. 【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.
【思路点睛】计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构
成的直角三角形.
当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式12|||AB x x =-，
11(,)A x y ，22(,)B x y 为弦的两个端点)也应重视.
17．已知函数2
()(,)f x x ax b a b R =++∈在区间(0,1)内有两个零点，是3a b +的取值范围是________. 【答案】(5,0)-.
【解析】试题分析：由题意得，22(0)00(1)010*********f b f a b a
a b a a b >>⎧⎧⎪⎪>++>⎪⎪⎪⎪
⇔⎨⎨-<<<-<⎪⎪⎪⎪<->⎪⎪⎩⎩，如下图所示，易知直线10a b ++=与抛物线2
14
b a =相切于点(2,1)-，画出不等式组所表示的区域，作直
线l ：30a b +=，平移l ，从而可知
3(5,0)a b +∈-，故填：(5,0)-.
【考点】1.三角恒等变形；2.平面向量数量积；3.函数的值域.
【思路点睛】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：1.根的个数问题，由判别式判断；2.正负根问题，由判别式及韦达定理判断；3.根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解
三、解答题
18．已知函数()sin sin()6
f x x x π
=+.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,
]2
x π
∈时，求()f x 的取值范围.
【答案】（1）π；（2）1[0,
2+. 【解析】试题分析：（1）对()f x 的表达式化成形如sin()y A x ωϕ=+的形式，即可求解；（2）利用正弦函数的性质即可求解.
试题解析：（1）由题意得211()sin cos sin(2)223f x x x x x π=
+=-+
∴函数()f x 的最小正周期T π=；（2）由02
x π
≤≤
知，sin(2)123
x π
-
≤-≤，
∴函数()f x 的取值范围为1[0,
24
+. 【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.
19．如图，已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，M 是AC 的中点，120BAD ∠=
，1AA AB =.
（1）证明：1//MD 平面11A BC ；
（2）求直线1MA 与平面11A BC 所成的角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2
）
35
【解析】试题分析：（1）连接11B D 交11AC 于点
E ，连接BE ，BD ，可证明四边形1ED MB 是平行四边形，从而1//MD BE ，再由线面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂线，即可作出线面角，求出相关线段的长度即可求解.
试题解析：（1）连接11B D 交11AC 于点
E ，连接BE ，BD ，∵ABCD 为菱形，∴点M 在BD 上，
且1//ED BM ，又∵1ED BM =，故四边形1ED MB 是平行四边形，则1//MD BE ， ∴1//MD 平面11BC A ；（2）由于1111A B C D 为菱形，∴1111AC B D ⊥， 又∵1111ABCD A BC D -是直四棱柱，∴111AC BB ⊥，11AC ⊥平面11BB D D ， ∴平面11BB D D ⊥平面11BC A ，过点M 作平面11BB D D 和平面11BC A 交线BE 的垂线，垂足为H ，得MH ⊥平面11BC A ，连接1HA ，则1M AH ∠是直线1MA 平面11BC A 所成的角，
设11AA =，∵ABCD 是菱形且120BAD ∠=
，则1
2AM =
，MB =， 在1Rt MAA ∆中，由1
2AM =
，11AA =
，得12MA =， 在Rt EMB ∆
中，由2MB =
，1ME =
，得7
MH =，
∴11sin MH MA H MA ∠=
=
【考点】1.线面平行的判定；2.线面角的求解. 20．设函数2
()
f x x =，[0,1]x ∈.证明：（1）2
1()12f x x x ≥-+；（2）
152()162
f x +<≤. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）构造函数2
()()11
22x x
g x f x x =--+
=-+，对()g x 求导，利用导数证明min ()0g x ≥即可得证；（2）求导，判断出函数()f x 的单调性，求出函数()f x 的极值与最值后即可得证.
试题解析：（1）记
2()()1
22x x g x f x x =--+
=-+，则
1
()02
g x '=>， (0,1)x ∈，∴()g x 在区间[0,1上单调递增，又∵g(0)0=，∴2
()()10
2
x
g x f x x =
--+≥，从而
2
1
()12f x x x ≥-+；（2）()2f x x '=，
记
()2h x x =，由1
(0
)02h =-<，(1)20h =>，知存在0(0,1)x ∈，使得0()0h x =，∵()h x 在[0,1]上是增函数，∴()f x 在区间0(0,)x 上是单调递减，在
区间0(,1)x 上单调递增，又∵(0)1f =，2(1)2f =，从而2()2
f x +≤，另一方面，由（1）得当14x ≠
时，2
211515()1()241616x f x x x ≥-+=-+>，且115()416
f >，
故
152()162
f x <≤. 【考点】导数的综合运用.
21．如图，已知椭圆2
212
x y +=的左、右顶点分别是A ，B
，设点)(0)P t t >，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点是O .
（1）证明：OP BC ⊥； （2）若四边形OBPC
的面积是
5
，求t 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）1t =. 【解析】试题分析：（1）设出直线PA 的方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，说明两直线斜率乘积为-1即可求解；（2）将四边形的面积转化为关于t 的表达式，建立关于t 的方程即可求解.
试题解析：（1）设直线PA
的方程为y x =，
由22
12x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，整理
得
2222(4)280t x x t +++-=
，解得1x =
，22
4x t
=
+，则点C 的坐标
是24)4t t +，故直线BC 的斜
率BC
k =，由于直线OP 的斜
率OP k =
，故1B C O P k k =- ，∴O P B C ⊥
；（2）
由5
OBPC S =四边形
，324OBPC
S t +=+四边形
，得3245
t +=+，
整理得2
(1)(5212)0t t t -++=，∵252120t t ++≠，∴1t =.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.
22．已知数列{}n a 满足11a =，12
1n n n
a a a +=
+，*
n N ∈，记n S ，n T 分别是数列{}n a ，
{}2n
a 的前n 项和，证明：当*
n N
∈时，（1）1n n a a +<；（2）2
1
1
21n n T n a +=
--；（3
）1n S <<
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】试题分析：（1）作差，证明{}n a 单调递减即可得证；（2）将递推公式变形，
2
22
1112n n n
a a a +=++，再求和，即可得证；（2）对{}n a 作出适当放缩，再求和，即可得证..
试题解析：（1）由
11a =及12
1n
n n
a a a -=
+知
0n a >，故
3
122
011n n
n n n n n
a a a a a a a +--=-=<++， ∴1n n a a +<，*
n N ∈；（2）由
111n n n a a a +=+，得2
221112n n n
a a a +=++，从而 222222
1122222
111
11112222n n n n n n n a a a a a a n a a a a -+-=++=+++⨯==+++++ ， 又∵11a =，∴2
1
121n n T n a +=
--，*
n N ∈；（3）由（2
）知，1n a +=，由
211n T a ≥=，
得
1n a +≤
，∴当
2
n ≥时
，
2
1)n a n ≤
--
， 由
此
1
(
n S a ⎤<
++
++
=<⎦ ， 又∵11a =，
∴n S ，另一方面，由111
n n n
a a a +=
-，
得11
11
11n n S a a +=
-≥>，
1n S <<
【考点】数列与不等式综合.
【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2.重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3.数学归纳法.。