福建省泉州市安溪县2022—2023学年八年级上学期期末质量监测数学试卷(含答案)

2022年秋季八年级期末质量监测数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中的无理数是（ ）
A ．0.7
B ．
17
C ．π
D 2．下列运算正确的是（ ） A ．2
2
(3)6a a =
B ．235
a a a ⋅=
C ．235
a a a +=
D ．222
()a b a b +=+
3．若1m =，则m 的取值范围正确的是（ ） A ．12m <<
B ．23m <<
C ．34m <<
D ．45m <<
4．如图，BC BD =，添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ABD △≌△的是（ ）
A ．AC AD =
B ．AB
C AB
D ∠=∠
C ．90C
D ∠=∠=︒
D ．CAB DAB ∠=∠
5．若a ，b 为等腰ABC △|2|0b -=，则ABC △的周长为（ ） A ．12
B ．9
C ．12或9
D ．12或15
6．如图，在ABC △中，90,C DE ∠=︒垂直平分AB ，分别交,AB BC 于D ，E 两点，若5,3BE CE ==，
则AC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a ，b ，c ，下列条件中，不能判断ABC △为直角三角形的是（ ）
A ．3,4,5a b c ===
B ．2
2
2
a b c =- C ．::1:1:2A B C ∠∠∠=
D ．80A B ∠+∠=︒
8．下列选项中可以用来说明命题“若2
1x >，则1x >”是假命题的反例是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．2x =
D ．2x =-
9．如图是某商品1~4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是（ ）
A ．1月
B ．2月
C ．3月
D ．4月
10．若2020202220202021,a b c =⨯-⨯==，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．9的平方根是___________．
12．已知6,2m n
a a ==，则m n
a
-=___________．
13．已知22
12,2a b a b -=+=，则a b -=___________．
14．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班在一块校园试验田种植蔬菜，青椒、西红柿、茄子三种蔬菜的株数如扇形图所示，若种植西红柿秧苗120株，则种植茄子秧苗___________株．
15．如图，AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的的中线，以AD 为边向右作等边三角形ADE ，则EAC ∠的度数为___________．
16．在四边形ABCD 中，6,30,0ABC ADC AB BC ∠=︒︒∠==，若7,5AD CD ==，则BD =___________．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（82023
2|(1)+-．
18．（8分）因式分解： （1）2am an a +-；
（2）2
21218x x -+．
19．（8分）先化简，再求值：2(2)(2)(2)2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中2,3x y ==-． 20．（8分）如图，,,AE DB AC DF AC DF ==∥，求证：BC EF =．
21．（8分）2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A ．太空“冰雪”实验：B ．“液桥”演示实验：C ．水油分离实验：D ．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图：
（1）本次参与调查的同学共有___________人； （2）请补全条形统计图；
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？ 22．（10分）如图1，是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，可以得到2
2
()()a b a b +--=___________； （2）当(8)(15)6x x --=时，求2
(223)x -的值． 23．（10分）如图，线段OA 和射线()60OP AOP ∠>︒．
（1）在AOP ∠的内部求作一点B ，使得OAB △是等边三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若点C 在射线OP 上，4OA =，四边形OABC 的周长为16，2OC BC -=，求证：OBC △是直角三角形．
24．（12分）（1）请用所学的知识说明2
2
2
2
()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++的正确性；
（2）若一个直角三角形的三边长都是整数，且它的周长和面积的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，请求出它的三边长：若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图1，在ABC △中，,2AB AC BC ==，点O 为ABC △两外角,CBD BCE ∠∠的平分线的交点，连接,OB OC ．
（1）求证OB OC =；
（2）如图2，点M 在线段BC 上，点N 为射线CE 上一点，且满足2ABC MON ∠=∠． ①求CMN △的周长；
②如图3，若30A ∠=︒，且点O '为,ABC ACB ∠∠的平分线的交点，线段AC 上是否存在一点G ，使得CGM △与CMN △的周长相等？若存在，请直接写出MO G ∠'的度数；若不存在，请说明理由．
2022~2023学年第一学期期末八年级质量监测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
10．解析：
（1）由翻折可知，AD 关于直线MN 对称， ∴①直线MN 垂直平分AD 正确； （2）∵CA CB =，∴CAB B ∠=∠， 由翻折可知，MDN CAB B ∠=∠=∠，
∵,NDC NDM CDM NDC BND B ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∴②CDM BND ∠=∠正确；
（3）当40C ∠=︒，M 是AC 中点时，AD BC ⊥．显然AD CD ≠， ∴③AD CD =不一定正确；
（4）当M 是AC 中点时，由翻折可知，AM DM CM ==， ∴,MDC C MAD MDA ∠=∠∠=∠ ∵180MDC C MAD MDA ∠+∠+∠+∠=︒ ∴90MDC MDA ∠+∠=︒
∴④当M 是AC 中点时，AD BC ⊥正确．
二、填空题：本大题共6个小题；每小题4分，共24分．把答案写在答题卡横线上． 11．(2)(2)m m +- 12．360（或360︒） 13．32 14．2- 15．81︒ 16．12,05⎛⎫ ⎪⎝⎭
16．解析：
如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，
∵45BAC ∠=︒，∴ABD △是等腰直角三角形， 过点D 分别作两个坐标轴的垂线，垂足为E ，F ， 则易证BED AFD △≌△，∴,AF BE DF DE ==， 设DF DE x ==，则4AF BE x ==- 由(4)1OB BE OE x x =-=--=，解得：32
x =
设点(,0)(0)C m m >，则由AOC ADF OCDF S S S =+△△梯形， 得：
1133133442222222
m m ⎛⎫⎛⎫⨯⋅=⋅-⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：125m =
，即点C 坐标为12,05⎛⎫
⎪⎝⎭
三、解答题：本大题共9小题：共86分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（8分）计算： 解：（1）原式2
2
x x x =-+
x =
（2）原式(
)
2
2
2
442a ab b b ab =++--
222442a ab b b ab =++-+ 246a ab =+
18．（8分） 解：原式2211
x x x
x x --=
⨯- 1(1)(1)
x x
x x x -=
⨯+-
11
x =
+ 当3x =-时，原式131=-+1
2
=-
19．（8分） 证明：∵AB CD ∥ ∴A C ∠=∠
在ABE △和CDF △中AB CD A C AE CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ABE CDF SAS △≌△ ∴B D ∠=∠
20．（8分）
证明：法一：∵CA CD =， ∴()1
1802
A ADC ACD ∠=∠=
︒-∠ 1
902
ACD =︒-∠
∵ABC △中，90ACB ∠=︒ ∴90B A ∠=︒-∠
11
909022
ACD ACD ⎛⎫=--∠=∠ ⎪⎝⎭︒︒
法二：过点C 作CE AB ⊥于E ， ∵CA CD =，1
2
ACE DCE ACD ∠=∠=∠ ∵90,ACB CE AB ∠=︒⊥
∴90,90ACE A B A ∠+∠=︒∠+∠=︒ ∴1
2
B ACE ACD ∠=∠=∠ 21．（8分）
解：上面的过程不正确 错在第一步
（只写“错在第一步”给2分，回答“正确”本题不给分） 证明：∵AB AC = ∴ABC ACB ∠=∠ ∵ABP ACP ∠=∠
∴ABC ABP ACB ACP ∠+∠=∠+∠即PBC PCB ∠=∠ ∴PB PC =
在PAB △和PAC △中AB AC ABP ACP PB PC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
（或PA PA =）
∴PAB PAC △≌△ ∴BAP CAP ∠=∠
22．（10分）
解：（1）如图所示，DE AB ⊥即为所求（如其它作法合理，酌情给分）
（2）证明：∵BDC A ABD ∠=∠+∠，BDC A CBD ∠=∠+∠ ∴ABD CBD ∠=∠即BD 是ABC ∠的角平分线 ∵90C ∠=︒， ∴DC BC ⊥ 又∵DE AB ⊥ ∴DC DE =． 23．（10分）
解：李师傅在行驶过程中已经超速．
设王师傅的平均车速为x 千米/时，则李师傅的平均车速为1.2x 千米/时， 依题意，得：
2702701
1.22
x x =+， 解方程得，90x =
经检验，90x =是原分式方程的解 ∴李师傅的平均车速为1.2108x =千米/时
李师傅在行驶过程中的最快车速为108(115%)124.2⨯+=千米/时 ∵124.2120>，∴李师傅在行驶过程中已经超速 24．（12分）
解：（1）填空：1
4162,3327
⊗=⊗
=- （2）解：依题意：31
1x x -=
分三种情况：
①当310x -=时，有13x =，此时0
31113x x -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
；
②当1x =时，有312x -=，此时，31
211x x
-==；
③当1x =-时，有314x -=-，此时，31
4(1)1x x --=-=．
∴满足条件的实数x 的值是1，1-和
1
3
． （3）证明：设12,p m k p n k ⊗=⊗=，则12p m p n k k ⊗-⊗=- 依题意有，12
,k
k p m p
n ==，
∴
1212k k k k m
p p p n
-=÷=，
根据规定，即有12m p k k n ⎛⎫
⊗=-
⎪⎝⎭ ∴m p m p n p n ⎛⎫
⊗-⊗=⊗ ⎪⎝⎭
25．（14分）
解：（1）∵AB AC =，ACE △是等边三角形， ∴,60AB AC AE CAE ==∠=︒， 又∵80BAC ∠=︒，∴140BAE ∠=︒， ∴()1
180202
ABE BAE ∠=
︒-∠=︒ （2）证明：∵AB AC =，AD 是中线，
∴AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥
设BAD CAD x ∠=∠=，则602BAE x ∠=︒+
ABE △中，AB AE =， ()()11
1801806026022
ABE BAE x x ∠=
︒-∠=︒-︒-=︒- ()6060BFD ABF BAD x x ∠=∠+∠=︒-+=︒，
在Rt BDF △中，30FBD ∠=︒，∴2BF DF =． （3）证明一：过点E 作EH AC ⊥于H ，
∵ACE △是等边三角形，
∴AE AC =，30AEH ∠=︒，
ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=︒，
∴30ABC ACB ∠=∠=︒即AEH ACB ∠=∠，
由（2）AD BC ⊥，
∴90ADC AHE ∠=∠=︒，
∴ADC AHE △≌△，
∴EH CD =，
∵DCG △是等边三角形，
∴,60CD CG DCG =∠=︒，
∴90ACG DCG ACB ∠=∠+∠=︒，
又∵EH AC ⊥，∴90ACG EHP ∠=∠=︒，
∵,EH CD CG CD ==，
∴EH CG =．
又∵CPG EPH ∠=∠，
∴GPC EPH △≌△，
∴PE GP =，即点P 是EG 中点．
证明二：过点G 作GM BC ⊥交AC 于M ，
∵DCG △是等边三角形，∴,60CD CG DCG =∠=︒，
ABC △中，,120AB AC BAC =∠=︒，
∴30ABC ACB ∠=∠=︒，
∴90ACG ACB DCG ∠=∠+∠=︒，
由（2）AD BC ⊥，
∴90ADC ACG ∠=∠=︒，
又∵GM BC ⊥，DCG △是等边三角形，
∴30CGM ACB ∠=∠=︒．
∴ADC MCG △≌△，
∴GM AC =，
∵ACE △是等边三角形，∴,60CE AC GM ACE ==∠=︒， ∴90BCG ACE ACB ∠=∠+∠=︒，即EC BC ⊥ 又∵GM BC ⊥，
∴GM EC ∥，
∴MGP CEP ∠=∠，
又∵GPM EPC ∠=∠，
∴GPM EPC △≌△，
∴PE GP =，即点P 是EG 中点．。