河北省唐山市开滦二中2016-2017学年高二上学期10月月考数学试卷Word版含解析

2016-2017学年河北省唐山市开滦二中高二（上）10月月考数学
试卷
一、选择题，共60分
1．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为
（）
A．B．C．D．
2．如图，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，
CD上的点，且==，则（）
A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面
C．EF与GH相交D．EH与FG相交
3．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）
A．6B．9C．12D．18
4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
5．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A．a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
B．α内有三个不共线点A、B、C到β的距离相等
C．a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．α、β都平行于直线a、b
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）
A．B．C．D．
8．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，
则下列结论中错误的是（）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与
平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A．B．C． D．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．B．8πC．9πD．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16+8πB．8+8π C．16+16πD．8+16π
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小是．
14．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长cm．
15．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为．
16．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是．
三.解答题（写出必要的文字说明和计算过程）
17．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN ⊥平面A1DC．
（1）求证：AD1⊥平面A1DC；
（2）求MN与平面ABCD所成的角．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD．
20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，M为A1B1的中点，N是AC1与A1C的交点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面ABC1．
21．如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4，AB=2，ABCD 是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面BCM；
（Ⅲ）求点F到平面BCE的距离．
22．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE 折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．
（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．
2016-2017学年河北省唐山市开滦二中高二（上）10月月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，共60分
1．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为
（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据三视图的特点，知道俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在底面上有一条对角线，对角线是由左上角都右下角的线，得到结果．
【解答】解：俯视图从图形的上边向下边看，
看到一个正方形的底面，
在度面上有一条对角线，
对角线是由左上角到右下角的线，
故选C．
2．如图，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，
CD上的点，且==，则（）
A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面
C．EF与GH相交D．EH与FG相交
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】根据比例关系和中位线证明出四边形EFHG是梯形，则两腰一定相交于一点．
【解答】解：∵==，
∴FG∥DB，且FG=BD，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，且EH=BD，
∴四边形EFGH是梯形，
∴EF、GH相交于一点．
故选：C．
3．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）
A．6B．9C．12D．18
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．
【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，
其底面底边长为3，底边上的高为：=，
故底面积S=3×=3，
又因为棱柱的高为3，
故V=3×3=9，
故选B．
4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，
①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；
③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；
④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；
故选：D．
5．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A．a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
B．α内有三个不共线点A、B、C到β的距离相等
C．a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．α、β都平行于直线a、b
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】排除法，逐一检验答案，把不能推出α∥β的答案排除掉．
【解答】解：A对，过直线b作平面γ交平面α于直线c
∵b∥平面α，∴b∥c
∵b∥平面β，c⊄平面β，∴c∥平面β
∵a，b是异面直线，∴a，c是异面直线，
在c上取一点A，过点A在平面α内作直线a′∥a，
则a′∥β，a′⊂平面α，c⊂平面α，
∴平面α∥平面β．
B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；
C错，若a∥b，则不能断定α∥β；
D错，若a∥b，则不能断定α∥β．
故选A．
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．
【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．
故选：B．
7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）
A．B．C．D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，
解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V===．
故选A．
8．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．
【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，
∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，
从而A，B，C正确．
∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，
故D错误．
故选：D．
9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A．B．C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】根据已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成角为90°，易判断这是一个棱长为2的正方体，设O为B1D1的中点，证明C1O⊥平面BB1D1D，得出∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角，解三角形∠C1BO即可得到直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小．
【解答】解：因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2
∴上下底面为正方形
又∵BC1∥AD1，A1D与BC1所形成的角为90°，
∴A1D与AD1所成的角为90°，
∴AA1D1D为正方形，
∴ABCD﹣A1B1C1D1为正方体
设O为B1D1的中点，则由C1O⊥B1D1，C1O⊥B1B，
得出C1O⊥平面BB1D1D
连接BO，则∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角
∵BC1=2；C1O=
∴sin∠C1BO=
∠C1BO=30°
故选B．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
【考点】异面直线的判定．
【分析】N是A1B1上的动点，O是底面正方形ABCD的中心，确定平面A1B1O，判定MA 与平面A1B1O的关系，即可判定直线NO、AM的位置关系．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，
M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，连接A1O，B1O，不难证明AM⊥平面A1B1O，所以直线NO⊥AM，因为它们不相交．
故选C．
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．B．8πC．9πD．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．
【解答】解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，
设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，
依题意，
∴球的半径，
∴该几何体外接球的表面积为．
故选：D．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16+8πB．8+8π C．16+16πD．8+16π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，
半圆柱的底面半径为2，高为4，
∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；
长方体的长宽高分别为4，2，2，
∴长方体的体积为4×2×2=16，
∴该几何体的体积为V=16+8π．
故选：A．
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成
的角的余弦值大小是．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】延长BA到D，使AD=AB，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1C就是异面直线AB1和A1C所成的角，解三角形A1DC，利用余弦定理可求得此角的余弦值．
【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1B1为平行四边形，
∴AB1∥A1D，
∴∠DA1C就是异面直线AB1和A1C所成的角，
又三角形ABC为等边三角形，设AB=AA1=1，∠CAD=120°
则CD==；A1C=A1D=，
在△A1CD中，cos∠DA1C==．
故答案是：．
14．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长9cm．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱台的结构特征．
【分析】设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．
【解答】解：如图，设圆台的母线长为y，
小圆锥底面与被截的圆锥底
面半径分别是x、4x，
根据相似三角形的性质得．
解此方程得y=9．
所以圆台的母线长为9cm．
15．在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的
距离为 a ． 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】连接A 1C 、MC ，三棱锥A 1﹣DMC 就是三棱锥C ﹣A 1MD ，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C 到平面A 1DM 的距离．
【解答】解：连接A 1C 、MC 可得：
S △CMD =S ABCD =a 2，
△A 1DM 中，A 1D=a ，A 1M=MD=a ，
∴S △A1MD =A 1M •MDsinA 1MD=
a ， 三棱锥的体积：V A1﹣MCD =V C ﹣A1DM
所以
S △MCD ×AA 1=S △AD1M ×d （设d 是点C 到平面A 1DM 的距离），
∴d=a ．
故答案为
a ．
16．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 30+6 ．
【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A ﹣BCD ，其中底面△BCD 中，CD ⊥BC ，且侧面ABC 与底面ABC 互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．
【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A ﹣BCD
底面Rt △BCD 中，BC ⊥CD ，且BC=5，CD=4
侧面△ABC 中，高AE ⊥BC 于E ，且AE=4，BE=2，CE=3
侧面△ACD 中，AC==5
∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD=BC ，AE ⊥BC
∴AE ⊥平面BCD ，结合CD ⊂平面BCD ，得AE ⊥CD
∵BC ⊥CD ，AE ∩BC=E
∴CD ⊥平面ABC ，结合AC ⊂平面ABC ，得CD ⊥AC
因此，△ADB 中，AB==2，BD==，AD==，
∴cos ∠ADB==，得sin ∠ADB==
由三角形面积公式，得S △ADB =×××=6
又∵S △ACB =×5×4=10，S △ADC =S △CBD =×4×5=10
∴三棱锥的表面积是S 表=S △ADB +S △ADC +S △CBD +S △ACB =30+6
故答案为：30+6
三.解答题（写出必要的文字说明和计算过程）
17．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】利用图形求得圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，代入圆锥的表面积公式与体积公式计算．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
由已知条件，
解得，，，
∴S=πrl+πr2=10π，
∴
18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN ⊥平面A1DC．
（1）求证：AD1⊥平面A1DC；
（2）求MN与平面ABCD所成的角．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）利用正方体中的棱与面的关系可得CD⊥平面ADD1A1，进一步得到CD⊥AD1，再结合AD1⊥A1D，运用线面垂直的判定得答案；
（2）由已知MN⊥平面A1DC结合（1）的结论可得AD1与平面ABCD所成的角，就是MN 与平面ABCD所成的角，进一步可得∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，则答案可求．
【解答】（1）证明：由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，
AD1⊂平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1，
又AD1⊥A1D，且A1D∩CD=D，
∴AD1⊥平面A1DC；
（2）解：∵MN⊥平面A1DC，
又由（1）知AD1⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1，
∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，
由正方体可知，
∴MN与平面ABCD所成的角为．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD．
【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）平面PAD⊥底面ABCD，由此能证明PA⊥底面ABCD．
（2）由已知得ABCD是平行四边形，从而AD∥BE，由三角形中位线定理得EF∥PD，由此能证明平面BEF∥平面PAD．
（3）由BE⊥CD，AD⊥CD，得PA⊥CD，从而CD⊥PD，再推导出PD∥EF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
∴PA⊥底面ABCD．
（2）∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB=DE，
∴ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵BF∩BE=B，AD∩PD=D，
∴平面BEF∥平面PAD．
（3）∵AB⊥AD，ABED是平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由（1）知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，
∴CD⊥EF，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，M为A1B1的中点，N是AC1与A1C的交点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面ABC1．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明线面平行，只需证明MN平行于平面BCC1B1内的一条直线，利用三角形的中位线可证；
（Ⅱ）由B1C⊥BC1．则AB⊥平面BCC1B1，B1C⊥AB，则B1C⊥平面ABC1，则MN∥B1C，即可证明MN⊥平面ABC1．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C，由M，N分别为A1B1，A1C的中点，
∴MN∥B1C，
由MN⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
∴MN∥平面BCC1B1，
（Ⅱ）证明：∵在直三棱柱中BC=BB1，
∴侧面BCC1B1为正方形，则B1C⊥BC1．
∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1=B，
BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥平面BCC1B1．
∵B1C⊂平面BCC1B1，
∴B1C⊥AB，
∵AB∩BC1=B，
∴B1C⊥平面ABC1，
∵MN∥B1C，
∴MN⊥平面ABC1．
21．如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4，AB=2，ABCD 是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面BCM；
（Ⅲ）求点F到平面BCE的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）根据AB∥EM，且AB=EM，推断出四边形ABEM为平行四边形，连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，进而可推断PQ是的中位线，可知PQ ∥CE．最后根据线面平行的判定定理推断出PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）AD⊥平面ABEF，推断出BC⊥平面ABEF，进而可知BC⊥AM，等腰梯形ABEF中
由AF=BE=2，，
可求得∠BEF，BM，进而可知AB2=AM2+BM2推断出AM⊥BM进而根据BC∩BM=B，推断出AM⊥平面BCM．
（Ⅲ）根据EM2=BE2+BM2，推断出MB⊥BE，又MB⊥BC，BC∩BE=B，根据线面垂直的判定定理推断出MB⊥平面BCE，进而根据d=2MB求得答案．．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥EM，且AB=EM，
∴四边形ABEM为平行四边形，
连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，
∴PQ是的中位线，于是PQ∥CE．
∵CE⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）∵AD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AM
等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，，
可得∠BEF=45°，BM=AM=2，
∴AB2=AM2+BM2
∴AM⊥BM
又BC∩BM=B，∴AM⊥平面BCM．
（Ⅲ）点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，
∵EM2=BE2+BM2，
∴MB⊥BE，
又MB⊥BC，BC∩BE=B
∴MB⊥平面BCE，
∴d=2MB=4．
22．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE 折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．
（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．
【考点】平面与平面垂直的判定；空间图形的公理；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；
（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件．
（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可．
【解答】（1）证明：由条件有PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，
∴PQ∥DE，MN∥DE，
∴PQ∥MN
∴M、N、P、Q四点共面．…
（2）证明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC
又AD∩CD=D，
∴DE⊥面ACD，
又DE∥BC
∴BC⊥平面ACD，
∵BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD…
（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，
延长ED到R，使DR=ED，连结RC …
则ER=BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形…
∴RC∥EB，又AC∥QM
∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ的补角）…
∵DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得AC=AR=RC=，…
∵△ACR为正三角形，
∴∠ACR=60°，
∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°．…
2017年1月8日。