中垂线和角平分线

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线
上.
定理的数学表示：如图 2，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交
于点 D，且 AD＝BD，若 AC＝BC，则点 C 在直线 m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
A
课堂笔记：
段的中垂线.
A.1 个
B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC 的周
长是（ ）
A.6 cm
B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5.已知如图，在△ABC 中，AB=AC，O 是△ABC 内一点，且 OB=OC，
j 图3
C
点 O，且 OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形
是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角
形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交
求证：AO⊥BC.
2
6.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM.
线段的垂直平分线与角平分线(2)
知识要点详解
4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图 4，已知 OE 是∠AOB 的平
图5 C A
A
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到 三边的距离相等.
定理的数学表示：如图 6，如果 AP、BQ、CR 分别 是△ABC 的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那
F R
I
Q
E
么： ① AP、BQ、CR 相交于一点 I；
B
图6 P D
A
例 4、如图 8，已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的高， 且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD. 证明：
课堂笔记：
B
图8 D
C
课堂练习：
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD
C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，
等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
1
课堂笔记：
例 2、 在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
课堂笔记：
针对性练习： 1. 在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40°， 则底角 B 的大小为________________。
那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线
两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，
过 P 作直线 MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线
（1）会作已知线段的垂直平分线；
（2）会作已知角的角平分线；
（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
课堂笔记：
经典例题：
例 1、 已知：如图，点 B、C 在∠A 的两边上，且 AB=AC，P 为∠A 内一点，
PB=PC，
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是 E、F。
求证：PE=PF
F
课堂笔记：
B P
A
CE
针对性练习： 1、已知： BE、CE 分别是△ABC∠ABC 和外角∠ACD 平分线，它们交于 E， ∠BEC=350，求∠CAE 的度数？
2、已知，如图 1，在四边形 ABCD 中， BC＞AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。
3、已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。
角的角平分线上.
定理的数学表示：如图 5，已知点 P 在∠AOB 的内 部，且 PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，若 PC＝PD，则点 P
B D
在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线
P
是一个角的角平分线
O
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
B D
E
分线，F 是 OE 上一点，若 CF⊥OA 于点 C，DF⊥OB 于
F
点 D，则 CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何 O
图4 C A
作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
课堂笔记：
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距
图1
C
m
D
B
图2
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三
A
个顶点的距离相等.
i
定理的数学表示：如图 3，若直线 i, j, k 分别是△ABC
k O
三边 AB、BC、CA 的垂直平分线，则直线 i, j, k 相交于一 B
线段的垂直平分线与角平分线
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图 1，已知直线 m 与线段 AB 垂直相
交于点 D，且 AD＝BD，若点 C 在直线 m 上，则 AC＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等
A
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
(!)求证：BF=AC； (2)求证：CE= 1 BF；
2 (3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。
4
5
C
② 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F，则 DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
3
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角
形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，
则该三角形是钝角三角形.
经典例题：
例 1 如图 1，在△ABC 中，BC＝8cm，AB 的垂直平分线交 AB
于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18cm，则 AC 的长