洛必达法则

0 ( 型) 0 0 ln x 1 1 ( 型) x 1 0 ln x
x
练习
3.03： （2）
作业
3.01： （8） 3.02： （2） 3.03： （3） （ 4）
3.2函数曲线的切线与法线
函数y f ( x) 在其上一点 M ( x0 , y0 ) 处， 切线方程： y y0 f ( x0 )( x x0 )
或能断定 的极限，
f ( x ) g ( x )
无极限，
则洛必达法则失效.
此时需用别的办法判断未定式
f ( x) g( x )
例7
1 x sin x 求 lim x 0 sin x
2
0 型未定式，但分子分母分别 解 这个问题是属于 0
求导后得
1 1 2 x sin cos x x cos x
例5 求
tan x lim x tan 3 x

2

2 2
2
解:
tan x sec2 x 1 cos2 3 x lim lim lim 2 x tan 3 x x 3 sec 3 x 3 x cos2 x
1 2 cos3 x( 3 sin x ) lim 3 x 2 cos x( sin x )
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是 型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
极值
驻点： 若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 叫函数 y f ( x) 的驻点。 结论一：极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值 点。（前提是 f ( x0 ) 存在） 结论二： x0 是驻点（或导数不存在的点），x 的取 值从 x0 的左边变化到右边时，若 （1）f ( x)变号，先正后负，x0 是极大值点。 （2）f ( x)变号，先负后正，x0 是极小值点。
例8
3

3 lim x ln x 求 x 0
ln x 解 lim x ln x lim ( 型) x 0 x 0 1 3 x 1 3 4 x x lim lim x lim x 0 3 x 0 x 0 3 x 3 4 x 0




型:
0 通分相减变为 0
2
sin 6 x lim 3 x sin 2 x

2
例6 解
求
1 ln x 1 x lim n x lim x lim 0 n 1 n x x nx nx
ln x lim n x x
如果反复使用洛必达法则也无法确定
f ( x) g( x )
1
(1 x) 1 a(1 x) lim lim x 0 x 0 x 1
求
ln( 1 x) lim x 0 x2

例2
解
1 ln( 1 x ) 1 x lim lim x 0 x 0 2 x x2
1 lim x 0 2 x (1 x )
e e 2 例3 求 lim x 0 x2
x x
解
e x ex 2 e x ex e x ex lim lim lim 1 2 x 0 x 0 x 0 x 2x 2

例4 求
x
lim

2
arctan x 1 x
解
1 arctan x 2 2 x lim 2 lim 1 x lim 1 2 x x x 1 x 1 1 2 x x
型 型）
例9 解
求
x 1 lim( ) x 1 x 1 ln x
（

x 1 x ln x x 1 lim( ) lim x 1 x 1 x 1 ( x 1) ln x ln x
ln x lim lim x 1 x 1 1 1 ln x 1x 1 lim x x 1 1 1 2 2 x x
1 ( x x0 ) 法线方程： y y0 f ( x0 )
（1）若 f ( x0 ) 0： 切线：y y0 法线： x x0
（2）若f ( x0 ) ： 切线：x x0 法线： y y0
例1 求过曲线 y x 2 2 x 4 上一点 M (k ,2k ) 处该 曲线的切线和法线。 解：点 M (k ,2k )是曲线上的点，所以 2k k 2 2k 4 ， 解得 k 2 ，点M坐标为（2，4）， 又因为 y x2 (2 x 2) x 2 2 ， 所以切线方程为 即

(2)
(3)
f ( x) 和 g ( x) 都可导，且g ( x) 0 ；
f ( x) lim 存在 g ( x) （ 或为 ）
一般分为三种类型讨论：
0 1． 型不定式 0
2． 型不定式．
3．其它型不定式
(1 x ) 1 例1 求 lim x 0 x
解

（
为任意实数）
3.1 洛必达法则
在某极限过程下,函数f ( x)与g(x)同时趋于零或者同
时趋于无穷大，通常把
f ( x) g( x )
的极限称为未定式的极限。
洛必达法则：
f ( x) f ( x) lim lim g ( x) g ( x)
只需要满足以下条件：
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0 /
y 4 2( x 2) y 2x
1 所以法线方程为 y 4 ( x 2) 2 即 2 y x 10 0
3.3函数的单调区间与极值
单调性
函数 y f ( x) 在开区间 J内可导，
f ( x) 0
f ( x)
f ( x) 0
f ( x)
此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。 但原极限是存在的，可用下法求得
1 1 x sin sin x x x 0 lim lim x 0 x 0 sin x 1 sin x x
2
练习
3.01： （1） （ 3）
型：
1 1 0 变为 型或者 0 型 0 0