(北师大版)苏州市八年级数学下册第三单元《图形的平移与旋转》测试(含答案解析)

一、选择题
1．在平面直角坐标系中，将点A （-1，2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A ′，则点A ′的坐标是（ ）
A ．（-3，-1）
B ．（1，-1）
C ．（-1，1）
D ．（-4，4） 2．如图，将矩形ABCD 绕点C 顺针旋转90°到矩形A B C D ''''的位置，若
4,2AB AD ==，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．4233π-
B ．4433π-
C ．8233π-
D ．8
433
π- 3．下列图案中，是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．如图，点A ，B 的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A ．（﹣1，3）
B ．（－1，2）
C ．（0，2）
D ．（0，3） 6．如图，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，若点D 刚好落在边AB 上，CB 与D
E 交于点
F ，120,20ACB E ∠=︒∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．55︒
D ．60︒
7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．已知菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若2OA =，45AOC ∠=︒，将菱形OABC 绕点O 逆时针旋转180︒，得到菱形OA B C '''，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）
A ．(22,2)+-
B ．(22,2)--
C ．(22,2)-+-
D ．(22,2)-- 9．如图，点D 是等腰直角三角形ABC 内一点，AB =AC ，若将△ABD 绕点A 逆时针旋转到△AC
E 的位置，则∠AED 的度数为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．45°
10．下列美丽的图案，不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图所示,如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B ,则线段A'B 与线段AC 的关系是 ( )
A ．垂直
B ．相等
C ．平分
D ．平分且垂直 12．如图，四边形ABCD 与四边形FGH
E 关于一个点成中心对称，则这个点是（ ）
A ．O 1
B ．O 2
C ．O 3
D ．O 4
二、填空题
13．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C ，若
∠A=45°．∠B′=110°，则∠ACB 的度数是______．
14．把一副三角板放置在如图的位置，若把DCE 绕点C 按逆时针方向旋转，旋转的角度为α()0180α︒<<︒若要使得DCE 中有一条边与AB 所在的直线垂直，则α=________度．
15．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为__．
16．如图在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C ，设A′C 交AB 边于D ，连结AA′，若△AA′D 是等腰三角形，则旋转角α的度数为_____．
17．如图，在Rt ABC 和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45E ∠=︒，B ，C ，E 三点共线，Rt ABC △ 不动，将Rt CDE △绕点C 逆时针旋转()0360a α︒<<︒，当DE //BC 时，α=____________．
18．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，线段,AB CD 的端点都在格点上，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为__________．
19．如图，已知ABC 中，4AB =、5AC =、6BC =，将ABC 沿直线BC 向右平移得到A B C '''，点A 、B 、C 的对应点分别是A '、B '、C '，连接AA '．如果四边形AA C B ''的周长为19，那么四边形AA C B ''的面积与ABC 的面积的比值是________．
20．如图所示，将直角三角形A B C 沿BC 方向平移得到直角三角形DEF ，如果AB ＝12cm ，BE ＝5cm ，DH ＝4cm ，则图中阴影部分面积为________________cm 2．
三、解答题
21．如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(5,0)A -,(2,3)B -,(1,0)C -．
（1）画出ABC 关于原点O 成中心对称的图形A B C '''；
（2）将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒，画出对应的A B C ''''''△，并写出点B ''的坐标_____________．
22．如图，在边长为1的小正方形网格中，ABC ∆的顶点都在格点上，建立适当的平面直角坐系xOy ，使得点A 、B 的坐标分别为()2,3、()3,2．
（1）画出平面直角坐标系；
（2）画出将ABC ∆沿y 轴翻折，再向左平移1个单位长度得到的A B C '''；
（3）点()P m n ,是ABC ∆内部一点，写出点P 经过（2）中两次变换后的对应点P 的坐标__________．
23．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AB ，AC 上，CE BC =，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90︒后得CF ，连接EF ．
（1）补充完成图形；
（2）若//EF CD ，求证：90BDC ∠=︒．
24．如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1）、B （4，2）、C （3，4）． （1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△111A B C ；
（2）画出△ABC 沿y 轴向下平移3个单位得到△222A B C ；
（3）在y 轴上求作一点P ，使△PAC 的周长最小，并直接写出点P 的坐标．
25．在如图所示的方格纸中，
（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；
（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．
26．如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点（与A ，B 两点不重合），将BCE 绕着点C 旋转，使CB 与CD 重合，这时点E 落在点F 处，联结EF ．
（1）按照题目要求画出图形；
（2）若正方形边长为3，1BE =，求AEF 的面积；
（3）若正方形边长为m ，BE n =，比较AEF 与CEF △的面积大小，并说明理由．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标减3即可得到点A′的坐标．
【详解】
解：将点A(-1，2)向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度2得到点A′，则点A 的坐标是(-1+2，2-3)，即A′(1，-1)
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减;纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
连接CE ，由矩形的性质可知90A B C A D C ''''∠=∠=︒，在Rt EB C '中，可证4,2CE CD AB CB BC AD ''======，结合余弦定义解得60ECB '∠=︒，继而由正
弦定义解得B E '=，最后根据阴影面积=扇形DCE 面积Rt EB C '-面积解题．
【详解】
解：连接CE ，
矩形A B CD '''中，90A B C A D C ''''∠=∠=︒
在Rt EB C '中，
4,2CE CD AB CB BC AD ''======
21cos 42
B C ECB CE ''∠=== 60ECB '∴∠=︒
sin 60B E CE '∴︒==
B E '∴=22604160418
=2360236023
S B C B E πππ⨯⨯''∴-⋅=-⨯⨯=-阴影 故选：C ．
【点睛】
本题考查旋转、特殊角的三角函数值、扇形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据中心对称图形的概念解答．
【详解】
A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断结论；
【详解】
A是轴对称图形也是中心对称图形，故本项正确；
B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本项错误；
C是轴对称图形不是中心对称图形，故本项错误；
D不是轴对称图形，是中心对称图形，故本项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟记相关概念是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B'的坐标．
【详解】
解：如图，
根据图形可得：点B′坐标为（0，3），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．
6．A
解析：A
【分析】
先根据旋转的性质可得,20AC CD B E =∠=∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得40A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】
由旋转的性质得：,AC CD B E =∠=∠，
120,20ACB E ∠=︒∠=︒，
12041801800ACB B AC A B E ∠-∠=︒∠-∠∴∠==︒-=︒-︒，
又AC CD =，
40A ADC ∠∴=∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 8．A
解析：A
【分析】
过点B 作BD x ⊥与点D ，由45AOC ∠=︒可得45BCD ∠=︒，从而得到2BD CD ==，从而可得到点B 的坐标，再根据旋转的性质，可得到B '的坐标．
【详解】
如图，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，
∵45AOC ∠=︒，
∴45BCD ∠=︒，
∴2BD CD ==
， ∴点B(22，2)，
将菱形OABC 绕O 逆时针旋转180︒，则点B '与点B 关于点 O 对称，
∴点B '的坐标为(22+，2-)，
故答案为：A ．
【点睛】
本题主要考察坐标与图形变化旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
由题意可以判断△ADE 为等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】
解：如图，由旋转变换的性质知：∠EAD=∠CAB ，AE=AD ；
∵△ABC 为直角三角形，
∴∠CAB=90°，△ADE 为等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
【点睛】
该题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．
10．B
解析：B
【详解】
解：A是中心对称图形，不符合题意；B不是中心对称图形，符合题意；C是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题考查中心对称图形，正确识图是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系．【详解】
解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．
∵2，2，
∴线段A′B与线段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．
故选D．
【点睛】
本题考查了平移的性质，勾股定理，正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键．12．A
解析：A
【分析】
连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心.
【详解】
如图，连接HC和DE交于O1，
故选A．
【点睛】
此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大．
二、填空题
13．25°【分析】由旋转的性质和三角形内角和定理即可解决问题【详解】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C∴∠B＝∠B′＝110°在
△ABC中∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°
解析：25°
【分析】
由旋转的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】
解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C，
∴∠B＝∠B′＝110°，
在△ABC中，∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−45°−110°＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟记旋转变换的对应的角相等是解题的关键．
14．15或60或105【分析】分①CD⊥AB时根据同位角相等两直线平行可得DE∥AB再解答即可；②CE⊥AB时根据直角三角形两锐角互余列式求解即可；
③DE⊥AB时先根据直角三角形两锐角互余求出∠1再根据
解析：15或60或105．
【分析】
分①CD⊥AB时，根据同位角相等两直线平行可得DE∥AB，再解答即可；②CE⊥AB时，根据直角三角形两锐角互余列式求解即可；③DE⊥AB时，先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形内角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】
①CD⊥AB时，则DE∥AB，
∴∠BFE＝∠E＝45°，
∴∠α＝∠BFE−∠B＝45°−30°＝15°；
②CE⊥AB时，α＝90°−∠B＝90°−30°＝60°；
③DE⊥AB时，∠1＝90°−∠E＝90°−45°＝45°，
所以，α＝180°−∠1−∠B＝180°−45°−30°＝105°，
所以，α＝15或60或105．
故答案为：15或60或105．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟悉三角板的度数是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
15．24°【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠CAB＝AB由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB∠B＝∠ABB由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解【详解】解：∵AB＝CB∴∠C＝∠CAB∴∠ABB＝∠C
解析：24°
【分析】
由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】
解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故答案为：24°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
16．20°或40°【分析】根据旋转的性质可得AC＝CA根据等腰三角形的两底角相等求出∠AAC＝∠CAA再表示出∠DAA根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADA然后分①∠AAC＝∠D
解析：20°或40°
【分析】
根据旋转的性质可得AC＝CA'，根据等腰三角形的两底角相等求出∠AA'C＝∠CAA'，再表示出∠DAA'，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADA'，然后分①∠AA'C＝∠DAA'，②∠AA'C＝∠ADA'，③∠DAA'＝∠ADA'三种情况讨论求解．
【详解】
解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝CA'，
∴∠AA'C＝∠CAA'＝1
2
（180°﹣α），
∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC＝1
2
（180°﹣α）﹣30°，
根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC＋∠ACA'＝30°＋α，
△ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠AA'C＝∠DAA'时，1
2
（180°﹣α）＝
1
2
（180°﹣α）﹣30°，无解，
②∠AA'C＝∠ADA'时，1
2
（180°﹣α）＝30°＋α，
解得α＝40°，
③∠DAA'＝∠ADA'时，1
2
（180°﹣α）﹣30°＝30°＋α，
解得α＝20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
【点睛】
考核知识点：旋转性质．理解旋转的性质是解题关键．
17．45º或225º【分析】根据旋转方向与旋转角的度数范围可得当DE∥BC时画出两种符合条件的图形分别利用平行线的性质与三角形内角得定理即可求得相应的旋转角的度数【详解】解：此题可分两种情况：如图1：∵
解析：45º或225º
【分析】
根据旋转方向与旋转角的度数范围，可得当DE∥BC时，画出两种符合条件的图形，分别利用平行线的性质与三角形内角得定理即可求得相应的旋转角的度数．
【详解】
解：此题可分两种情况：如图1：
∵90DCE ∠=︒，45E ∠=︒，
∴45D ∠=︒．
∵DE ∥BC ，
∴45BCD D ∠=∠=︒．
∵90ACB ∠=︒．
∴45ACD ACB BCD ∠=∠-∠=︒．
即旋转角α的度数为45º．
如图2：
∵DE ∥BC ，
∴45BCE E ∠=∠=︒．
∴225?ACD ACB BCE DCE ∠=∠+∠+∠=．
即旋转角α的度数为225º．
综上所述，旋转角α的度数为45º或225º．
故答案为：45º或225º．
【点睛】
此题考查了旋转角的计算，掌握旋转角的定义并能运用平行线的性质正确求出旋转角的度数是解题的关键．
18．【分析】连结对称点AC 取AC 中点G 过G 作AC 的垂直平分线连结对称点BD 取BD 中点H 过H 作BD 的垂直平分线与AC 的垂直平分线交于P 点点P 在y 轴（02）上即可【详解】解：连结对称点AC 点A 与点C 在同一竖
解析：()0,2
【分析】
连结对称点 AC ， 取AC 中点G ，过G 作AC 的垂直平分线，连结对称点BD ，取BD 中点H ，过H 作BD 的垂直平分线与AC 的垂直平分线交于P 点，点P 在y 轴（0，2）上即可．
【详解】
解：连结对称点 AC ，点A 与点C 在同一竖格上，AC=6，
取AC 中点G ，过G 作AC 的垂直平分线，
连结对称点BD ，取BD 中点H ，
过H 作BD 的垂直平分线与AC 的垂直平分线交于P 点，
点P 在y 轴（0，2）上．
故答案为：（0，2）．
【点睛】
本题考查旋转中心问题，掌握旋转对称的性质，关键是作两对对称点的连线的中垂线的交点．
19．【分析】过点A 作BC 上的高根据平移的性质可得=且然后根据已知周长可得=2从而求出然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论【详解】解：过点A 作BC 上的高由平移的性质可得=且∴四边形为梯形∵ 解析：53
【分析】
过点A 作BC 上的高h ，根据平移的性质可得AA '=CC '，且//AA CC ''，5A C AC ''==，然后根据已知周长可得AA '=2，从而求出BC '，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】
解：过点A 作BC 上的高h
由平移的性质可得AA '=CC '，且//AA CC ''，5A C AC ''==
∴四边形AA C B ''为梯形
∵四边形AA C B ''的周长为19，
∴AA '＋A C ''＋BC '＋AB=19
∴AA '＋5＋6＋CC '＋4=19
∴2AA '=4
∴AA '=2
∴CC '=2
∴BC '=BC ＋CC '=8
∴四边形AA C B ''的面积与ABC 的面积的比为()128521632
h AA BC hBC ''++== 故答案为：
53
． 【点睛】 此题考查的是图形的平移问题，掌握平移的性质是解题关键．
20．50【解析】由题意可知△ABC ≌△DEF ∴DE=AB=12∠DEC=∠B=90°∴四边形ABEH 是直角梯形∵DH=4∴EH=DE-DH=12-4=8∴S 梯形ABEH==50∴S 阴影=S 梯形ABEH=
解析：50
【解析】
由题意可知△ABC ≌△DEF ，∴DE=AB=12，∠DEC=∠B=90°，∴四边形ABEH 是直角梯形， ∵DH=4，∴EH=DE-DH=12-4=8，
∴S 梯形ABEH =()()·128522
AB EH BE ++⨯==50， ∴S 阴影= S 梯形ABEH =50，
故答案为50.
【点睛】本题主要考查平移的性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，通过观察图形得出阴影部分的面积与梯形ABEH 在面积一样是解题的关键．
三、解答题
21．（1）图见解析；（2）图见解析，（3，2）．
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A '、B '、C '点的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A ''、B ''、C ''，根据图象可得点B ''的坐标．
【详解】
解：（1）如图，A B C '''为所作；
（2）如图，A B C ''''''△为所作，点B ''的坐标为（3，2）．
故答案为（3，2）．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）()1,m n --
【分析】
（1）根据A 、B 两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
（2）分别作出A 、B 、C 三点沿y 轴翻折，再向左平移1个单位长度得到A B C '''、、，顺次连接A B C '''、、，即可得到A B C '''；
（3）根据点的坐标沿着y 轴翻折以及点的坐标平移规律，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：该平面直角坐标系为所求作；
（2）如图所示： A B C '''为所求作；
（3）点()P m n ,是ABC ∆内部一点，写出点P 经过（2）中两次变换后的对应点P 的坐标为：()1,m n --，
故答案为：()1,m n --．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形变换是解题的关键．
23．（1）图形见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据题意，利用旋转性质将图形补全，并按要求标清相应的字母即可；
（2）由旋转的性质得到∠DCF 为直角，由EF 与CD 平行，得到∠F 为直角，利用SAS 得到△BDC 与△EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【详解】
（1）解：所补图形如图所示：
（2）证明：由旋转的性质得：DC FC =，90DCF ∠=︒，
∴90DCE ECF ∠+∠=︒．
90ACB ∠=︒，
∴90BCD DCE ∠+∠=︒．
BCD ECF ∴∠=∠．
//EF DC ，
180DCF F ∴∠+∠=︒．
90F ∴∠=︒．
在BCD ∆和ECF ∆中，
BC EC BCD ECF DC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BCD ECF SAS ∴∆≅∆．
90BDC F ∴∠=∠=︒．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；P （0，
74
）． 【分析】
（1）保持纵坐标不变，横坐标取相反数，确定对应的对称点，顺次连接三个对称点即得对称图形；
（2）按照上加下减原理，在各点的纵坐标上实施这一运算，得到平移变换后的各点，依次连接三个点即得到平移后的三角形；
（3）连接A 1C 或C 1A ，与y 轴的交点就是点P ，利用一次函数的解析式与y 轴的交点即可求得点P 的坐标.
【详解】
（1）∵A （1，1）、B （4，2）、C （3，4），
∴关于y 轴的对称点分别为1A （-1,1），1B （-4,2）, 1C (-3,4),
顺次连接1A ，1B ，1C ，得到△111A B C ，如图示；
（2）∵A （1，1）、B （4，2）、C （3，4），
∴向下平移3个单位后的坐标分别为2A （1,-2），2B （4,-1）, 2C (3,1),
顺次连接2A ，2B ，2C ，得到△2A 2B 2C ，如图示；
（3）连接A 1C ，交y 轴于点P ，此时△PAC 的周长最小，如图；
设直线A 1C 的解析式为y=kx+b, 根据题意，得134k b k b +=⎧⎨-+=⎩
， 解得 3474k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线的解析式为y=34-x+74
,
当x=0时，y=74， ∴P 的坐标为（0，
74）， 故P 7
(0)4
，．
【点睛】
本题考查了坐标系中的点对称，点的平移，动点到两个定点距离之和最小，一次函数解析式的确定，一次函数与y 轴的交点，熟记对称点确定的基本原则，平移的基本规律和线段之和最小原理是解题的关键.
25．（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16
【分析】
（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △，
111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分， 16242124162
S =⨯+⨯⨯=+=． 【点睛】
本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法． 26．（1）见解析；（2）4；（3）CEF AEF S S >△△，见解析
【分析】
（1）根据题意去旋转BCE ，画出图象；
（2）由旋转的性质得1DF BE ==，求出AE 和AF 的长，即可求出AEF 的面积； （3）用（2）的方法表示出AEF 的面积，再用四边形AECF 的面积减去AEF 的面积得到CEF △的面积，比较它们的大小．
【详解】
（1）如图所示：
（2）根据旋转的性质得1DF BE ==，
∴312AE =-=，314AF =+=，
∴142
AEF S AE AF ∆=
⨯⨯=； （3）根据旋转的性质得DF BE n ==，
221111()()2222
AEF AE AF m S n m n m n =⨯⨯=-+=-△， ∵CBE CDF S S =△△，
∴AECF ABCD S S =四边形四边形， ∴2222211112222CEF AEF AECF S S S m m n m n ⎛⎫
=-=⎪⎝--=+⎭四边形△△， ∵0n >， ∴222211112222
m n m n +>-， ∴CEF AEF S S >△△．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质，以及利用割补法求三角形面积的方法．。