天津市第四中学2025届高三上学期统练(二)数学试题

天津市第四中学2025届高三上学期统练（二）数学试题
一、单选题
1
．已知集合{A x y =，{}
21,x
B y y x ==+∈R ，则A B ⋂=R ð（ ）
A ．{}1x x ≥
B ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭
C ．112x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
D ．102x x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩
⎭
2．函数()()
()2sin ππln 2
x x
f x x x =
-≤≤+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4
．已知πsin cos 6αα⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12
-
B ．12
C ．3
4- D ．34
5．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||1b =r ，若a r
在b r
上的投影向量为，则,a b =r r （ ）
A ．
5π6
B ．
3π4
C ．
2π3
D ．
7π12
6．设0.2 1.1 1.21.2,log 1.2,log 0.2a b c ===，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
7．已知数列{}n a 的通项公式为271717
,2
8
42,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩
，且对任意的两个正整数m ，()n m n ≠都有()()0m n m n a a -->，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．9,5∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
C ．()2,+∞
D ．9,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
8．已知函数()sin f x x =，将函数()f x 图象向右平移π
6
个单位长度，再把所有点的横坐标
缩短为原来的1
2倍，得到函数y =g x 的图象，则下列关于函数y =g x 的说法正确的是（ ）
A ．周期为π4
B ．函数在2π5π,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
C ．函数图象的一条对称轴是直线π
3
x =
D ．函数是偶函数
9．已知函数()2e e 122x x x f x -+=+-，若对任意[]1,2x ∈，有()()2
1f x f mx ≤+成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A ．(],0-∞
B ．[]2,0-
C ．53,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题 10
=．
11
．在6
的展开式中，含2x -的项的二项式系数为.
12．设1a >，若
913
1log log 27
a a -=，则a =． 13．两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为．
14．如图，在ABC V 中，2AB =，1AC =，D ，E 分别是直线AB ，AC 上的点，2AE BE =uu u r uur
，
4CD AC =uu u r uu u r ，且2BD CE ⋅=-uu u r uu r
，则BAC ∠=．若P 是线段DE 上的一个动点，则BP CP ⋅u u u r u u u r 的取
值范围是．
15．已知函数()2
22f x x x a a a =--++，若函数()f x 有三个不同的零点123
,,x x x （123x x x <<）则实数a 的取值范围为；
11
23
x x x x +的取值范围为.
三、解答题
16
．已知2cos a x ⎛= ⎝⎭r ，πsin ,13b x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，设()f x a b =⋅r
r ． (1)2ππ,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数
()f x 的值域．
(2)若05π2π,123x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，且
0425
x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求05πtan 212x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的值．
17．在ABC V 中，角,,A B C 对应边,,a b c ，外接圆半径为1，已知()()22
2sin sin sin A C a b B -=-.
(1)证明：222a b c ab +-=； (2)求角C 和边c ； (3)若3
2
b =
，求()sin 245A B C ++. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱,,AB AD AP 两两垂直，长度分别为1，2，2，若
DC AB λ=u u u r u u u r ，且向量PC u u u r 与BD u u u r
(1)求实数λ值；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； (3)求平面PBD 与平面PCD 夹角的余弦值
.
19．已知等比数列 a n 的前n 项和为n S ，且()*
122N n n a S n +=+∈．
(1)求数列 a n 的通项公式；
(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列． （i ）求数列{}n d 的通项及21
1(1)n k k k d -=+∑；
（ii ）在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 20．已知函数()2ln f x a x x x
=-+
. (1)若1a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程； (2)若()2
1f x x
≤
-恒成立，求a 的值； (3)求证：对任意正整数n （2n ≥），都有222211*********e n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。