初三数学总复习讲义

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第1课 实数
复习教学目标:
1、理解现实世界中具有相反意义的量的含义,会借助数轴理解实数的相反数和绝对值的意义,会求实数
的相反数和绝对值,并会比较实数的大小。

2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根和立方根。

3、了解无理数与实数的概念,知道实数与数轴上的点的一一对应的关系,会用一个有理数估计一个无理
数的大致范围,了解近似数与有效数字的概念,会用计算器进行近似计算。

4、结合具体问题渗透化归思想,分类讨论的数学思想方法。

复习教学过程设计: 一、填空:
1、-1.5的相反数是 、倒数是 、绝对值是 、1- 2 错误!未指定书签。

的绝对值是 。

2、倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是 。

算术平方根等于本身的数
是 ,立方根等于本身的数是 。

3、2-1= ,-2-2= ,(-1
2 )-2= ,(3.14-∏ )0=
4、在227
,∏,-8 ,3
(-64) ,sin600,tan450中,无理数共有 个。

5、用科学记数法表示:-3700000= ,0.000312=
用科学记数法表示的数3.4×105 中有 个有效数字,它精确到 位。

6、点A 在数轴上表示实数2,在数轴上到A 点的距离是3的点表示的数是 。

7、3
260 精确到0.1 的近似值为 ,误差小于1的近似值为 。

8、比较下列各位数的大小:-23 -3
4
,0 -1, tan300 sin600
二、判断:
1、不带根号的数都是有理数。

( )
2、无理数都是无限小数。

( )
3、
23
2
是分数,也是有理数。

( )4、3-2没有平方根。

( ) 5、若3
x =x ,则x 的值是0和1。

( )6、a 2的算术平方根是a 。

( ) 三、选择:
1、和数轴上的点一一对应的数是( ) A 、整数 B 、有理数 C 、无理数 D 、实数
2、已知:xy < 0,且|x|=3 ,|y|=1,则x+y 的值等于( ) A 、2或-2 B 、4或-4 C 、4或2 D 、4或-4或2或-2
3、如果一个数的平方根与立方根相同,这个数为( ) A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、0或+1或-1 例2,计算下列各题:
1、 20-(-12 )2+2-2-3
(-64) 2、(38 -724 +1118 -59 )×(-72) 3、(1 )-2-23×0.125- 4 +|-1|
例3,已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示:
(1)你会比较实数a 、b 的大小吗? (2)你会比较|a|与|b|的大小吗?相信你能!
(3)在什么条件下b a >0? b a <0? b
a
=0?并说明此时坐标原点的大致位置。

解:(1)a <b,这是因为在数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大。

分析:解决问题的关键是数轴的原点的位置,你想按怎样的顺序去变化呢?(可自左向右,也可自右向左)
(2)当原点在点a 的左边时,|a|<|b| 当原点在点a,b 的中点偏左时,|a|<|b| 当原点在点a,b 的中点时,|a|=|b| 当原点在点a,b 的中点偏右时,|a|>|b| 当原点在点b 的右边时,|a|>|b|
(3)当a,b 同号时(且a ≠0,b ≠0),b
a
>0 此时坐标原点在a 的左侧或b 的右侧
当a,b 异号时(且a ≠0,b ≠0)b
a <0 此时坐标原点在a,
b 两点之间
当a ≠0,b=0时,b
a
=0,此时坐标原点在b 点
提炼:运用绝对值的意义,解决数形结合问题中的动点问题,渗透化归和分类讨论的数学思想方法,训练学生逆向思维。

Ⅲ[小结] 有理数 1、实数的分类
什么叫无理数
相反数: 2、实数a 的 绝对值: 倒数: (当 时)
3、实数的运算和科学记数法
4、运用绝对值的意义,解决数形结合问题中的动点问题,渗透化归和分类讨论的数学思想方法,注意逆向思维的运用。

第2课 二次根式
复习教学目标:
1、 知道平方根,算术平方根,立方根的含义,能说出二次根式的两条运算法则。

2、 会用根号表示并会求数的平方根,算术平方根,立方根,会进行简单的二次根式的四则运算,会对
简单的二次根式进行化简,能估算一个无理数的大致范围并能比较大小。

3、 在解题过程中体会数形结合思想,由特殊到一般的数学思想,并能用它们解决问题。

复习教学过程设计 Ⅰ【唤醒】 一、填空:
定义:平方根,算术平方根,立方根
a · b=a
b (a≥0,b≥0) 化简 知识结构(阅读): 运算法则
a
b
= a
b
(a≥0,b>0) 四则运算 1.4的平方根是 , 64 的算术平方根是 , 立方根是 2.化简:50 = ,
38
= , ( 5 )2
= ,18 × 8 = 3.比较大小:15 3.85, -27 -3 3 , 37-48 1
2
4.估算:44 = (误差小于0. 1), 3
90 = (误差小于1) 5.根式
1
2-1 分母有理化的结果是 。

二、判断: 1.19 的平方根是1
3
( ) 2.任何数都有算术平方根 ( ) 3.任何数都有立方根 ( ) 4. -4 × -3 = 12 =2 3 ( )错误!未指定书签。

5.
49
16
= 4 ×916 =2 × 34 = 3
2
( ) 6. 5 3 +2 2 =7 5 ( ) 三、选择题:
1.下列说法中正确的是 ( )错误!未指定书签。

错误!未指定书签。

错误!未指定书签。

A 、1没有算术平方根
B 、1的平方根是1
C 、0的平方根是0
D 、-1的平方根是-1 2.下列各式中正确的是 ( )
A 、25 =+ 5
B 、 (-3)2
=-3 C 、36 = +6 D 、 -100 =-10
3.下列语句正确的个数为 ( )
(1)+4是64的立方根,(2)3x 3 = x,(3)64 的立方根是 = +4 A 、 1个 B 、 2 个 C 、 3 个 D 、4 个
4.化简(x-1)2
(x<1)正确的是 ( )
A 、 x-1
B 、(x-1) 2
C 、 1-x
D 、 无法确定
Ⅱ【尝试】 : 例1、 计算:(1)
1
5
-20 +54
-980
(2)
24-30
2
- 3 × (3- 5 ) (3) (3 2 - 26) (5 6 +4 2 ) – ( 3 –1)2
提炼:(1)对于带根号的无理数的运算,可运用公式 a · b =ab (a≥0,b≥0),
a b
=a
b
(a≥0,b>0)且这两个公式可以顺向和逆向两个方面运用。

(2)适当运用乘法公式可使运算简化。

(3)计算结果必须简化。

例2 、 是否存在这样的数,它的平方为35?如果不存在,请说明理由,如果存在,请写出来并用作图的方法在数轴上找出表示这个数的实数点。

再在数轴上作一个直角三角形,的线段即可 提炼:(1)在数轴上作这样的点时,常常通过作直角三角形来解决。

(2)本题有两解,防止漏解现象,解题时,应仔细审题,全面考虑,注意数形结合的思想。

例3、(1)判断下列各式是否成立,你认为成立的请在括号内打“√”,不成立的打“×” 2+23 =22
3
( ) 3+38 =33
8
( )
4+415
=44
15
( ) 5+524
=55
24
( ) (2)判断完以上各题后,你发现了什么规律?请用含有 n 的式子将规律表示出来,并注明n 的取值范围。

(3)请用数学知识说明你所写式子的正确性。

分析:先按运算公式计算化简后,再判断找规律。

提炼:本题是一道探索题,由特殊进行观察,归纳,建立猜想,用符号表示并给出证明,体现了数学中常用的由特殊到一般的思想方法。

第3课 代数式 整式运算
复习教学目标:
1. 了解字母表示数的意义,了解单项式、多项式、整式以及单项式的系数与次数、多项式的项与
次数、同类项的概念,并能说出单项式的系数和次数、多项式的项和次数。

知道正整数幂的运算性质,能说出去括号、添括号法则,了解两个乘法公式的几何背景。

2. 会用代数式表示简单问题中的数量关系,会求代数式的值,会把一个多项式按某个字母升(降)
幂排列,会判断同类项,并能熟练地合并同类项,会准确地进行去括号与添括号,会推导乘法公式,能运用整式的运算性质、公式以及混合运算顺序进行简单的整式的加、减、乘、除运算。

3. 通过运用幂的运算性质、整式的运算法则和公式进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,
会运用类比思想,一般到特殊、再由特殊到一般的数学思想和数形结合思想解决问题。

复习教学过程设计:
一、填空:
1.___ __ 和 _____ __ 统称为整式。

2. _____(_____(()_____(()_____(n n
n m
a a m n a a m n a m n a
b m ⋅=÷===m m m 、都是正整数) 、都是正整数,且m>n )、都是正整数) 是正整数)
0____(0)a a =≠,____(0,p
a
a p -=≠是正整数) ()______m a
b
c ++=,()()__________m n a b ++=
()_________am bm cm m ++÷= ()()__________a b a b +-=
2
()_________a b += 2
()_________a b -=
3.整式的混合运算顺序:先________、后________、再________、有括号先____________. 二、判断:
1.2
2
1
34
a b ab -和是同类项。

( ) 2.2
44,33
3
x y -
-
单项式的系数是次数是。



3.3523x xy -+多项式的次数是五次三项式。

( ) 4.
()33a b c a b c -
+=-+ ( )
5.2
2
3
3
3
3
2
2
245524x y xy x y x x y x y xy -+--+-多项式按的降幂排列为。

( ) 三、选择:
1.某商场实行7.5折优惠销售,现售价为y 元的商品的原价为 ( ) A. 75%y 元 B. (175-%)y 元 C .
75y %
元 D.
175y -%

2.4
1
23
1
3,2
m n
a b a b m n --若与是同类项则和的值为 ( )
A. 4和3
B. 2和3 C . 4 和2 D. 无法确定 3.下列各式计算过程正确的是 ( )
A. 32325x x x x ++==
B. 32326x x x x ⨯⋅==
C. 62623x x x x ÷÷==
D. ()3
2235x x x x +⋅-=-=- 4.下列各式中,不能用平方差公式计算的是 ( )
A . ()()3223a b b a +-
B . ()()2
2
4343a bc a bc -+C . ()()2323a b b a +- D . ()()3553m m +-
5. 22
16,x kxy y k ++是完全平方式则的值为 ( )
A. 4
B. 8
C. 4 或-4
D. 8或-8 Ⅱ. 【尝试】
例1.先化简,再求值:()()2
2
23,2,1x x y x y x y --+-+=-=-其中。

(答案:11)
例2.计算:()()3
2
2
7
4
2
233
a b ab
a b
-⋅-÷⎛⎫ ⎪⎝

分析:按整式混合运算的顺序:先乘方,同级运算从左往右依次进行。

(答案:36b )
提炼:在熟练掌握整式的运算法则和幂的运算性质基础上必须严格按照混合运算顺序逐步运算。

例3.计算:(1)()()()()2
2
23234235x y x y x y x y ---+---; (2)()()432432a b c a b c -++-
分析:第(1)题根据混合运算法则先合理使用乘法公式,后进行整式的加减运算。

第(2)题先将原式转化为()[]()[]432432a b c a b c --+-的形式,后运用平方差公式将其化为
()2
2
1632a b c --的形式,最后利用完全平方公式计算即可。

根据乘法公式的特点将原题中的代数式变形为符合公式特点的形式是解此类题的关键。

第4课时 因式分解 分式
复习教学目标
1、 知道因式分解、分式的概念;能说出分式的基本性质。

2、 会灵活应用四种方法进行因式分解;会利用分式基本性质进行约分和通分;会进行简单的分式加、
减、乘、除运算。

3、会逆用乘法公式、乘法法则验证因式分解;会用类比的方法得出分式的性质和运算法则;会用作差法
比较两个代数式值的大小。

复习教学过程设计 一、1、填空题 (1)
(2)因式分解中的公式有 , , (3)分式的乘(除)法法则是 ,
分式的加(减)法法则是 , 2、判断题
(1)等式4)2(34632
22+-=+-x x x x 从左到右的变形是分解因式( × ) (2)只要分式的分子为零,则分式的值就为零 ( × )
(3)分式1
122+-a a 有意义,则a ≠±1 ( × ) 3、选择题 (1)若7,
10,a b ab +==则22ab b a +的值应是 ( )
A .7
B .10
C .70
D .17
(2)下列各式分解不正确的是
A 、2
()x xy xz x x y z -+-=--+ B 、()2
322
693a a b ab a a b -+=-
C 、()()2
4162424a a a -=+-
D 、()
()()22222222x y yz z x y yz z x y z x y z -+-=--+=-++-
(3)分解因式:2
412x x --的结果是 A 、()()34x x -+ B 、()()34x x +- C 、()()26x x +- D 、()()26x x -+ (4)下列等式成立的是
A b a b a b a -=-+2
2 B )0(≠++=a a m a n m n C 22y y x y x y =++ D )0(≠=a ma na m n 二、【尝试】
例1有这样的一道题:“计算:222211
1x x x x x x x
-+-÷--+的值,其中x =2006。

”甲同学把“2006x =”
错抄成“2060x =”,但他的计算结果也是正确的。

你说这是怎么回事?
例2 化简
因式分解 因式分解的概念
分组分解法 十字相乘法 因式分解的方法 (因式分解方法的选择:一提、二用、三叉、四分组) 分式 分式的运算 分式的概念 分式的基本性质
(1)221211221x x x x x x ++--÷++- (2)(2
2+--x x x x )42x x ÷+ 例3 已知:
()()341212
x A B
x x x x -=+----,求整式A 、B 。

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