四种命题及其关系

对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
解： 命题A =0， 全都为0 命题A是:若x2+y2=0，则x，y全都为0； 此命题为真 此命题为真 命题A的逆命题是： 全都为0 =0； 命题A的逆命题是：若x，y全都为0，则x2+y2=0； 此命题为真 此命题为真 命题A的逆否命题是： 至少有一个不为0, 0,则 ≠0。 命题A的逆否命题是：若x，y至少有一个不为0,则x2+y2≠0。 此命题为真 此命题为真
f(x)不是周期函数 不是周期函数， f(x)不是正弦函数 不是正弦函数。 逆否命题 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。真
探 究
原命题：若两个角相等， 原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角 逆命题: 若两个角是对顶角 则这两个角相等. 对顶角， 逆命题: 若两个角是对顶角，则这两个角相等. 否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角. 否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角 逆否命题: 两个角不是对顶角，则两个角不相等. 逆否命题: 若两个角不是对顶角，则两个角不相等.
原命题: 对顶角相等, 原命题: 对顶角相等, 否命题: 否命题: 不成对顶关系的两个角不相等 命题的否定: 命题的否定: 对顶角不相等
否命题与命题的否定
下面是一些常见的数学词语的否定形式
原结论 是 都是 大于 小于 否定 不是 不都是 原结论 至少有一个 否定 一个也没有
至少有两个 至多有一个 至少有n 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有（ 不大于 个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 至多有n 至少有（ 个 存在某x， 存在某 ， 成立
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 是正弦函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
逆否命题 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 f(x)不是周期函数 不是周期函数， f(x)不是正弦函数 不是正弦函数。
四种命题形式: 四种命题形式: 原命题: 原命题: 若 逆命题: 逆命题: 若 否命题: 否命题: 若 逆否命题: 逆否命题: 若
p, 则 q q, 则 p ┐p, 则┐q ┐q, 则┐p
判断正误,并说明理由: 判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等” (1)若原命题是“对顶角相等”, 若原命题是 它的否命题是“对顶角不相等” 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, (2)若原命题是“对顶角相等” 若原命题是 它的否命题是“ 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等” 两个角不相等”。
四种命题间的相互关系
原命题 若p 则q 互 互 逆 逆命题 若q 则p 互
否命题 若 ¬p 则 ¬q
互逆Βιβλιοθήκη 逆否命题 若 ¬q 则 ¬p
四种命题的真假性之间的关系： 四种命题的真假性之间的关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系. 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.
假 真 真 假
原命题 (假) 否命题 (真)
逆命题 (真) 逆否命题 (假)
假 假 假 假
原命题： a>b,则 原命题：若 a>b,则 ac>bc . 逆命题: 逆命题 若 ac>bc,则 a>b. 则 否命题: 否命题: 若 a≤b,则 ac≤bc . 则 . 逆否命题: 逆否命题: 若 ac≤bc,则 a≤b . 则
否命题是既否定条件也否定结论的方式 否命题是既否定条件也否定结论的方式 既否定条件也否定结论 构成新命题。 构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“ 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件 不否定条件。 判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
原命题 (假) 否命题 (假)
逆命题 (假) 逆否命题 (假)
一般地，四种命题的真假性，有且仅有以下 一般地，四种命题的真假性，有且仅有以下 四种情况： 四种情况：
原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假
四种命题的真假性之间的关系： 四种命题的真假性之间的关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系. 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
互否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个命题 互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题 条件和 条件的否定和结论的否定， 的条件的否定和结论的否定， 互否命题。 这两个命题叫做互否命题 这两个命题叫做互否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的否命题。 否 命 题：另一个命题叫做原命题的否命题。 否命题:若 则 否命题 若┐p,则┐q 原命题: p,则 原命题:若p,则q
f(x)不是周期函数 不是周期函数， f(x)不是正弦函数 不是正弦函数。 逆否命题 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
命题
原命题 若p 则q 互 否 否命题 p 若 ¬ 则 ¬q 逆 逆 逆命题 若q 则p 互 否 逆否命题 若 ¬q 则 ¬ p
四种命题间的相互关系
原命题 若p 则q 互 否 否命题 p 若 ¬ 则 ¬q 互 逆 互 逆 逆命题 若q 则p 互 否 逆否命题 若 ¬q 则 ¬p
四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？ 四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？
探 究:
原命题 逆命题 否命题
条
件
结论
两直线平行 同位角相等
真 假
真 真 真 真 真 假
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 原命题 逆命题 否命题
条
原命题 逆命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
互逆命题：一个命题的条件 结论分别是另一个命题 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题 条件和 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题 互逆命题。 的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。 原命题: p,则 原命题:若p,则q 逆命题: q,则 逆命题:若q,则p