北师大版数学高一-【2016成才之路】数学必修1练习 综合测试题2

综合测试题(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1] D ．[1,2)
[答案] A
[解析] A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩B ＝[－2，－1]，所以选A. 2．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2]
[答案] D
[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．
所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．
3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1
x
C ．y ＝2x ＋12x
D ．y ＝1＋x 2
[答案] A
[解析] 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e
－1
即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，
所以 y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A.
4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f [f (1
2)]＝( )
A.1
2 B.41
3 C ．－95
D.2541
[答案] B
[解析] 由于|12|<1，所以f (12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f (－32)＝11＋(－32)2
＝1
13
4＝
413，所以f [f (12)]＝4
13
，选B. 5．log 43、log 34、log 43 3
4的大小顺序是( )
A ．log 34<log 43<log 43 3
4
B ．log 34>log 43>log 43 3
4
C ．log 34>log 43 3
4>log 43
D ．log 43 3
4>log 34>log 43
[答案] B
[解析] 将各式与0,1比较．∵log 34>log 33＝1， log 43<log 44＝1，又0<34<1，4
3>1，
∴log 43
3
4<0.
故有log 43
3
4<log 43<log 34.所以选B.
6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )
A ．a ＝1，b ＝0
B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3
C ．a ＝－1，b ＝3
D ．以上答案均不正确 [答案] B
[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
当a <0时，在[2,3]上递减，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
故选B.
7．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4
[答案] B
[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，
即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝1
2
.
8．(2015·安徽高考)函数f (x )＝ax ＋b
(x ＋c )2
的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．a >0，b >0，c <0
B ．a <0，b >0，c >0
C ．a <0，b >0，c <0
D ．a <0，b <0，c <0 [答案] C
[解析] 由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图像可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0；当x ＝0时，f (0)＝b
c 2>0，所以b >0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－b
a
>0，所以a <0.故a <0，b >0，c <0，选C.
9．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124 B.1
12 C.18 D.38
[答案] A
[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23
＝⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×13＝124，选A.
10．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[答案] D
[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x |＝
1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1
的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．
11．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞)
[答案] C
[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x <log a 3.
12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
[答案] C
[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋
1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1
≈21.8，
∴n ≥21.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －
4≤1a ，则实数x 的取值范围为________．
[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由log a 1
2>0得0<a <1.
由a x
2＋2x －4
≤1a
得a x 2＋2x －4≤a －
1， ∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1.
14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ . [答案] 1<a <5
4
[解析] y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x ＋a ，x ≥0
x 2＋x ＋a ，x <0
作出图像，如图所示．
此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －1
4<1<a ，
∴1<a <5
4
.
15．若函数y ＝m ·3x －
1－1
m ·3x －
1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． [答案] [0，＋∞)
[解析] 要使函数y ＝m ·3x －
1－1
m ·3x －
1＋1的定义域为R ， 则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0， 即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1
>0，∴m ≥0.
故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)．
16．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为
________．
[答案] －3
4
[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，
所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.
因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－3
4
.
当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )
所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－3
2(舍去)
综上，满足条件的a ＝－3
4
.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤)
17．(本小题满分10分)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．
[分析] A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ①若0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；
当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ⊆A .
②若－4∈B ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B ⃘A .
③若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，a <－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .
∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B . 由(1)知a ＝1.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12 [(1
2)x －1]，
(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性． [解析] (1)(1
2)x －1>0，即x <0，
所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．
(2)∵y ＝(1
2)x －1是减函数，f (x )＝log 12 x 是减函数，
∴f (x )＝log 12
[(1
2)x －1]在(－∞，0)上是增函数．
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －1
x ＋1
，其中a ∈R .
(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；
(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数． [解析] f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1
，
设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝
a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)
(x 1＋1)(x 2＋1)
. (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2
x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，
则f (x 1)－f (x 2)＝
2(x 1－x 2)
(x 1＋1)(x 2＋1)
，
又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[0,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝1
2，
f (x )min ＝f (0)＝1－2
1
＝－1.
(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝
(a ＋1)(x 1－x 2)
(x 1＋1)(x 2＋1)
，
∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．
∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．
(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．
[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2－1)．
又∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，
解得1<a < 2.
(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数， 则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)． 又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到
⎩⎪⎨⎪
⎧
|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，(1－m )2>m 2，
解之得－1≤m <12
.
21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件： ①f (x )在D 上单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a ，b ]∈D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ]．那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．
(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) [解析] (1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也
是[a ，b ]，则⎩⎪⎨⎪
⎧
－a 3＝b －b 3＝a
，解得a ＝－1，b ＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．
(2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足②，
即⎩⎨⎧
k ＋a ＋2＝a
k ＋b ＋2＝b
即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根，且a ≥k ，b >k .
令f (x )＝x 2
－(2k ＋1)x ＋k 2
－2，得⎩⎪⎨
⎪⎧
f (k )≥0Δ>0
2k ＋12>k
解得－9
4
<k ≤－2，
所以实数k 的取值范围为(－9
4
，－2]．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12
(x 2－mx －m .)
(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；
(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． [解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12
(x 2－x －1)，
由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－5
2
，
∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－5
2
)．
(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.
即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2≥1－3
(1－3)2－m (1－3)－m >0
⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。