选修2-2综合综合测试题(答案)

数学选修2-2综合测试题(答案)
一、选择题
1．在复平面内，复数)21(i i z +=对应的点位于 〔B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．定积分
π2
20
sin 2
x
dx ⎰
的值等于〔 A 〕 A ．
π1
42- B ．
π1
42
+ C ．
1π
24
- D ．
π12
- 3．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x
a a S x --=，
()2
x x
a a C x -+=
，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是〔 Ｄ 〕 ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+； Ａ．①③
Ｂ．②④
Ｃ．①④
Ｄ．①②③④
4.已知32()26(f x x x m m =-+为常数〕在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为〔 A 〕
A . -37
B ．-29
C ．-5
D ．-11
5.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是(C )
A ．21<<-a
B ．63<<-a
C 3-<a 或6>a
D ．1-<a 或2>a
6．设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，，则点P 横坐标的取值范围为〔 〕 A ．112
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
，
B ．[]10-，
C ．[]01，
D ．112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
7．设曲线1
1x y x +=
-在点(32)，
处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =〔 〕 A ．2 B ．12 C ．1
2
- D ．2-
8． 已知可导函数))((R x x f ∈的导函数)('x f 满足)()('x f x f >，则当0>a 时，
)(a f 和)0(f e a 〔e 是自然对数的底数〕大小关系为 〔 A 〕
A ． )0()(f e a f a
> B ．)0()(f e a f a
≥
C ．)0()(f e a f a ≤
D ．)0()(f e a f a <
9.给出以下命题： ⑴假设
()0b a
f x dx >⎰
，则f (x )>0； ⑵20
sin 4xdx =⎰
π;
⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0
()()a a T T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
；
其中正确命题的个数为( B )
A.1
B.2
C.3
D.0
10.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为〔D 〕
2012
2011
.
2011
2010.
2010
2009.
2009
2008.
D C B A
二、填空题
11、一同学在电脑中打出如下假设干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…假
设将此假设干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 14。

12．假设函数2
4()1
x
f x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ．
答案：10m -<≤ 13．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n n
f >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 答案：
1
11
12122
2k
k k ++++
++ 14. 15.
三、解答题
16、已知复数z 满足()
i
i
i z z z +-=
++232
〔i 为虚数单位〕．求z ． 解．由已知得()
i i z z z -=++12
，
设()R y x yi x z ∈+=,,
代人上式得i xi y x -=++122
2
所以⎩⎨⎧-==+1
212
2
x y x ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±=-=2321y x
故i z 2
3
21±-
= 17. 〔1〕求证：
(1)223)a b ab a b ++≥+; 证明：〔1〕 ∵222a b ab +≥
,
23a +≥
, 23b +≥ ;
将此三式相加得
222(3)2a b ab ++≥++,
∴223)a b ab a b ++≥+.
〔2〕已知c b a ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222π
π
π
+
+=+
+=+
+=x z c z y b y x a ，
求证：c b a ,,中至少有一个大于0.
证明：〔反证法〕
假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则0≤++c b a ， 因为6
2,32,22222πx z c πz y b πy x a ++=++=+
+= 0
3)1()1()1()6
2()32()22(222222>-++++++=+++++++
+=++∴πz y x π
x z πz y πy x c b a 即0>++c b a ，与0≤++c b a 矛盾，故假设错误，原命题成立.
18、设函数3
2()33(0)3
x f x x x a a =--->〔12分〕 〔1〕如果1a =，点P 为曲线()y f x =上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程；
〔2〕假设[,3]x a a ∈时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

解：〔1〕设切线斜率为k,则'
2
()2 3.k f x x x ==--当x=1时，k 有最小值-4。

又2929
(1),491),12317033
f y x x y =-
+=--++=所以切线方程为即。

〔6分〕
[,3]()0x a a f x ∈≥若时，恒成立，则：
0330333
1(2)(3)(3)0(3)0
()0a a a a a f a f f a ⎧<<≤<<<≥⎧⎧⎨⎨⎨
≥≥≥⎩⎩⎩（）或或 〔1〕，〔2〕无解，由〔3〕解得6a ≥，综上所述。

19．设函数()(1),()x f x e x g x e =-=．〔e 是自然对数的底数〕
〔Ⅰ〕判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由； 〔Ⅱ〕设数列{}n a 满足：1(0,1)a ∈，且1()(),,n n f a g a n N *+=∈ ①求证：01n a <<；
②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．
解：〔Ⅰ〕()(1)x H x e e '=-- 令0()0,ln(1)H x x e '= =-
当0(,)x x -∞时，()0,H x '> ()H x 在0(,)x x -∞上是增函数
当0(,)x x +∞时，()0,H x '< ()H x 在0(,)x x +∞上是减函数 ……………．2分 从而0max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x
H x H e x e e e e ==-+-=---+…………．4分 注意到函数()ln 1k t t t t =-+在[)1,+∞上是增函数， 从而()(1)0,11k t k e ≥=->又 从而0()0H x >
综上可知：()H x 有两个零点． …………………………………………………．6分 〔Ⅱ〕因为1()(),n n f a g a +=即1(1)1n a
n e a e +-+= 所以11
(1)1
n a n a e e +=
-- …………………………………………………．7分 ①下面用数学归纳法证明(0,1)n a ∈．
当1n =时，1(0,1)a ∈，不等式成立． 假设n k =时，(0,1)k a ∈ 那么11
(1)1
k a k a e e +=--
1011k k a a e e e e << ∴<-<-
1
0(1)11
k a e e ∴<
-<- 即1(0,1)k a +∈
这说明1n k =+时，不等式成立． 所以对n N *
∈，(0,1)n a ∈ ②因为1(1)1n a
n n n e a a e a +--=--
考虑函数()1(01)x p x e x x =-- << ()10x p x e '=-> 从而()p x 在(0,1)上是增函数
()(0)0p x p >=
所以1(1)0n n e a a +--> 即1(1)n n e a a +->
20． 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．
〔Ⅰ〕当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
〔Ⅱ〕假设函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么
范围取值时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)]('2
[)(2
3x f m
x x x g ++=在区间)3,(t 上总存在极值？
〔Ⅲ〕当2=a 时，设函数32)2()(-+-
-=x
e
p x p x h ，假设在区间],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．
解〔Ι〕由)0()
1()('>-=
x x
x a x f 知： 当1=a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；
〔Ⅱ〕由12)('=-
=a x f 得到2-=a ，故x
x f x x x f 2
2)(',32ln 2)(-=-+-=， 2)4(3)(',2)2
2()]('2[
)(22323-++=-++=++=x m x x g x x m
x x f m x x x g 因为)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，且21≤≤t ，所以⎩⎨
⎧><0
)3('0
)2('g g ，解得：
9337-<<-
m ，故当93
37-<<-m 时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)]('2
[
)(23x f m
x x x g ++=在区间)3,(t 上总存在极值。

〔Ⅲ〕32ln 2)(--=x x x f ，令x x
e x p px x
f x h x F ln 22)()()(---
=-= ①当0≤p 时，由],1[e x ∈得到,0ln 22,0<--≤-x x
e
p px 所以在],1[e 上不存在0x ，使得)()(00x f x h >成立；
②当
0>p 时，2
222)('x e
p x px x F ++-=，因为],1[e x ∈，所以
0,0222>+≥-p px x e ，0)('>x F 在],1[e 上恒成立，故)(x F 在],1[e 上单调递增。

4)()(max --
==e p pe e F x F ，由题意可知04>--e p pe ，解得1
42->e e p ，所以p 的取植范围是),1
4(
2
+∞-e e。

21.已知0>a ，设函数a x a x a x f 22ln )(+⋅-=，2)2(2
1
)(a x x g -=
． 〔I 〕求函数)()()(x g x f x h -=的最大值；
〔II 〕假设e 是自然对数的底数，当e a =时，是否存在常数k 、b ，使得不等式
)()(x g b kx x f ≤+≤对于任意的正实数x 都成立？假设存在，求出k 、b 的值，假设不存在，
请说明理由．
解：〔I 〕∵2
2
1ln )(x x a x h -
= (0)x >， ………………〔2分〕 ∴a x a x x a x h )
)(()(-+-=-='．
∴当a x =时，函数)(x h 取最大值
2
ln a
a a -； ………………〔4分〕 〔II 〕当e a =时，)()()(x g x f x h -=的最大值是0，
即()()f x g x ≤，当且仅当x = ………………〔6分〕
函数)(x f 和)(x g 的图象在x =)2
,(e e ， ∵e
x
e
x f 2)(-=
'，函数)(x f 的图象在x e k f -=， ∵e x x g 2)(-='，函数)(x g 的图象在x e k
g -=， ∴)(x f 和)(x g 的图象在x =
2
3e x e y +
-=， ………………〔8分〕 设ln )3()()(e
x e x e e x e x f x F +-=+
--=，e x e e e x F )()(--
=-='
∴当x =)(x F 取得最大值0，∴
2
)(x e x f +
-≤恒成立； ………………〔10分〕
∵0)(21
221)23()(22≥-=+-=+
--e x e x e x e x e x g ， ∴2
3)(e
x e x g +-≥在x ∈R 时恒成立；
∴当e a =时，e k -=，2
3e
b =． ………………〔12分〕。