高考数学大二轮总复习与增分策略专题四数列、推理与证明第4讲推理与证明练习理

第4讲 推理与证明
1．(2016·课标全国丙)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A ．18个
B ．16个
C ．14个
D ．12个 答案 C
解析 第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A 2
4个，其中110100；110010；110001,101100不符合题意，三个1都不在一起时有C 3
4个，共2＋8＋4＝14(个)． 2．(2016·山东)观察下列等式：
⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …
照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝
__________. 答案 4
3
n (n ＋1)
解析 观察等式右边的规律：第1个数都是4
3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.
3．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3
解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙
的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.
2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.
热点一 归纳推理
1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下：
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论
例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为
n n ＋1
2＝12n 2＋1
2
n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12
n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝3
2
n 2－12
n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n
……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (8,12)＝____________.
(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *
)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则
有______________________． 答案 (1)288 (2)f (2n
)>
n ＋2
2
(n ≥2，n ∈N *
)
解析 (1)原已知式子可化为N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋
4－4
2
n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝
5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－6
2
n ， 由归纳推理可得N (n ，k )＝
k －22
n 2＋4－k
2
n ，
故N (8,12)＝12－22×82＋4－12
2
×8＝288.
(2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n
)>n ＋22.
故填f (2n
)>
n ＋2
2
(n ≥2，n ∈N *
)．
思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．
跟踪演练1 (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )
A ．48,49
B ．62,63
C ．75,76
D ．84,85
(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．
答案 (1)D (2)503
503
603
解析 (1)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件． (2)按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖
上的概率是503
603.
热点二 类比推理
1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 2．类比推理的思维过程如下：
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论
例2 (1)已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AG GD
＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO
OM
等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x
－e －x
2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x
2与我们学过的正弦函数和
余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论______________________． 答案 (1)C (2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y 解析 (1)如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝
6
3
，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝6
12，故AO ＝AM
－MO ＝
63－612＝6
4
， 故AO ∶OM ＝
64∶6
12
＝3∶1.
(2)ch x ch y －sh x sh y ＝e x
＋e －x
2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e
－y
2
＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y
) ＝14
(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y
＋e －x －y
2
＝ch(x －y )，
故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ， 或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .
思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．
跟踪演练2 (1)公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有
T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
也成等比数列，且公比为4100
；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有一相应的S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，该等差数列的公差为________．
(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，
P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，类似
地，可以得到切点弦所在直线的方程为____________________． 答案 (1)300 (2)
x 0x a 2－y 0y
b 2
＝1 解析 (1)在等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有
T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
也成等比数列，且公比为4100
；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，我们可以类比推断出：S 20－S 10，
S 30－S 20，S 40－S 30也构成等差数列，公差为100d ＝300.
(2)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过点P 1，P 2的切线的方程分别为x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x
a
2－
y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，所以x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，
x 2x 0a 2－y 2y 0
b
2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)都在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0y
b
2＝1.
热点三 直接证明和间接证明
直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．
例3 已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1) (n ∈N *
)在函数y ＝x 2
＋1的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2n
a ，求证：
b n ·b n ＋2<b 2
n ＋1.
(1)解 由已知得a n ＋1＝a n ＋1， 则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，
所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .
(2)证明 由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n
.
b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1
＝2
n －1
＋2
n －2
＋…＋2＋1＝1－2n
1－2
＝2n
－1.
因为b n ·b n ＋2－b 2
n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2
－1)－(2
n ＋1
－1)2
＝(2
2n ＋2
－2
n ＋2
－2n ＋1)－(2
2n ＋2
－2·2n ＋1
＋1)
＝－2n
<0， 所以b n ·b n ＋2<b 2
n ＋1.
思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用．
跟踪演练3 (1)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c .
求证：
1a ＋b ＋1b ＋c ＝3
a ＋
b ＋c
； (2)已知f (x )＝a x
＋x －2
x ＋1
(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负根． 证明 (1)要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c
， 即证
a ＋
b ＋
c a ＋b ＋a ＋b ＋c
b ＋c
＝3， 也就是
c a ＋b ＋
a
b ＋c
＝1，
只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2
＋a 2
＝ac ＋b 2
，
又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， 故B ＝60°， 由余弦定理，得
b 2＝
c 2＋a 2－2ac cos 60°，
即b 2
＝c 2
＋a 2
－ac ，
故c 2
＋a 2
＝ac ＋b 2
成立． 于是原等式成立．
(2)假设x 0是f (x )＝0的负根， 则x 0<0，且x 0≠－1，0
002
,1
x x a
x -=-
+ 所以0
01x a <<⇒0<－
x 0－2
x 0＋1
<1， 解得1
2<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负根．
热点四 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤
(1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *
)时结论成立．
(2)假设n ＝k (k ∈N *
，且k ≥n 0)时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对任意n ≥n 0，且n ∈N *
时，结论都成立．
例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1
n ，f (n )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 2n ，n ＝1，
S 2n －S n －1，n ≥2.
(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；
(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)由题意知f (1)＝S 2＝1＋12＝3
2
，
f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝13
12
， f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920
.
(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1； 下面用数学归纳法证明： 当n ≥3时，f (n )<1.
①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；
②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *
)时，f (k )<1， 即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋1
2k <1，
那么当n ＝k ＋1时，
f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1＋12k ＋2－1
k
<1＋(12k ＋1－12k )＋(12k ＋2－1
2k )
＝1＋2k －2k ＋12k 2k ＋1＋2k －2k ＋22k 2k ＋2
＝1－1
2k
2k ＋1－
1
k
2k ＋2
<1，
所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立． 由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1. 所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1； 当n ≥3时，f (n )<1.
思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．难点在于寻求等式在n ＝k 和n ＝k ＋1时的联系． 跟踪演练4 设a >0，f (x )＝
ax a ＋x
，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *
. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．
(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a
1＋a
；
a 3＝f (a 2)＝
a 2＋a
；a 4＝f (a 3)＝
a
3＋a
. 猜想a n ＝
a
n －1＋a
(n ∈N *
)．
(2)证明 ①由(1)易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝
a
k －1＋a
，
则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k
a ＋a k ＝a ·
a
k －1＋a a ＋
a
k －1＋a
＝
a k －1＋a ＋1＝
a
[
k ＋1－1]＋a
.
这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *
， 都有a n ＝
a
n －1＋a
.
1．将正整数作如下分组：
(1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)， (16,17,18,19,20,21)， (22,23,24,25,26,27,28)，
…
分别计算各组包含的正整数的和，如下所示：
S 1＝1， S 2＝2＋3＝5， S 3＝4＋5＋6＝15， S 4＝7＋8＋9＋10＝34， S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，
…
试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝________.
押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度． 答案 1 0084
解析 由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14
； 当n ＝2时，S 1＋S 3＝16＝24
； 当n ＝3时，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34
； 当n ＝4时，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝256＝44
； ……
猜想：S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4
. ∴S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝1 0084.
2．已知下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27
x
3≥4，…，则第n 个不等式为________________．
押题依据 根据n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．
答案 x ＋n n
x
n ≥n ＋1
解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是x ，不同之处在于第二个式子，当n ＝1时，为1
x
；当n ＝2时，为4x 2；当n ＝3时，为27
x
3；……
显然式子中的分子与分母是对应的，分母为x n ，分子是n n
，
所以不等式左边的式子为x ＋n n
x
n ，
显然不等式右边的式子为n ＋1，
所以第n 个不等式为x ＋n n
x
n ≥n ＋1.
3．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，证明：数列{S n }不是等比数列． 押题依据 反证法是一种重要的证明方法，对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及．
证明 假设{S n }是等比数列，则S 2
2＝S 1S 3，即a 2
1(1＋q )2
＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2
)．因为a 1≠0，所以(1＋q )2
＝1＋q ＋q 2
，即q ＝0，这与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列．
A 组 专题通关
1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2
＋b 2
＝3，a 3
＋b 3
＝4，a 4
＋b 4
＝7，a 5
＋b 5
＝11，…，则a 10
＋b 10
等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199
答案 C
解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第10项．
继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…， 第10项为123，即a 10
＋b 10
＝123.
2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
( )
A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2 答案 C
解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a 都大于－2，
即a ＋1b >－2，b ＋1c
>－2，c ＋1
a
>－2，
将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
>－6，
又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1
c
≤－2，
所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
≤－6，
所以假设不成立，故选C.
3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2
＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2
＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确
答案 C
解析 因为f (x )＝sin(x 2
＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
4．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 答案 A
解析 假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A. 5．设a ，b ∈R ，定义：M (a ，b )＝a ＋b ＋|a －b |
2
，m (a ，b )＝
a ＋
b －|a －b |
2
，则下列式子错误
的是( )
A ．M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋b
B ．m (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |－|b |
C ．M (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |＋|b |
D ．m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b ) 答案 B
解析 ∵M (a ，b )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≥
b ，
b ，a <b ，m (a ，b )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ，a ≥b ，
a ，a <
b ，
∴m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b )，D 正确；
M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋b ，A 正确；
m (|a ＋b |，|a －b |)＝min{|a ＋b |2，|a －b |2}
＝⎩⎪⎨⎪⎧
|a ＋b |， ab <0，|a －b |， ab ≥0，
B 错误；
M (|a ＋b |，|a －b |)＝max{|a ＋b |2，|a －b |2}
＝⎩⎪⎨⎪⎧
|a ＋b |＝|a |＋|b |，ab ≥0，|a －b |＝|a |＋|b |，ab <0，
C 正确．故选B.
6．对于任意的两个实数对(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，规定：(x 1，y 1)＝(x 2，y 2)，当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＝x 2，y 1＝y 2；
运算“⊗”为(x 1，y 1)⊗(x 2，y 2)＝(x 1x 2－y 1y 2，y 1x 2＋x 1y 2)；运算“”为(x 1，y 1)
(x 2，y 2)＝
(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．设k ，n ∈R ，若(1,2)⊗(k ，n )＝(3,1)，则(1,2)(k ，n )＝________. 答案 (2,1)
解析 由(1,2)⊗(k ，n )＝(3,1)，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k －2n ＝3，2k ＋n ＝1， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，
n ＝－1.
所以(1,2)(k ，n )＝(1,2)(1，－1)＝(2,1)．
7．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之．问底子(每层三角形边茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．
答案 120
解析 由题意，第n 层茭草束数为 1＋2＋…＋n ＝
n n ＋1
2， ∴1＋3＋6＋…＋
n n ＋1
2
＝680，
即为12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋1
2n (n ＋1)]
＝1
6
n (n ＋1)(n ＋2)＝680， 即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，
∴n ＝15，∴
n n ＋1
2
＝120.
8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有
f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n
n
)．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函
数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案
332
解析 由题意知，凸函数满足
f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n
n
)，
又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin
A ＋
B ＋C
3＝3sin π3＝33
2
.
9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2
13°＋cos 2
17°－sin 13°cos 17°； ②sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2
18°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°； ④sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2
(－25°)＋cos 2
55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 方法一 (1)选择②式，计算如下： sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝3
4.
(2)三角恒等式为
sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2
α＋
34
cos 2
α＝34
.
方法二 (1)同方法一．
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝
1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α
2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2
α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34
.
10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2
＋2－m ＝0，1a 2＋4b
2＋1－2m ＝0.
(1)求证：1a 2＋4
b
2≥
9
a 2
＋b 2
； (2)求证：m ≥7
2
.
证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4
b
2≥
9
a 2
＋b 2
成立， 只需证(1a 2＋4b
2)(a 2＋b 2
)≥9，
即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2
b 2≥9，
即证b 2a 2＋4a 2
b
2≥4.
根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2
b
2≥2
b 2a 2·4a 2
b 2
＝4成立， 所以原不等式成立．
(2)(综合法)因为a 2＋b 2
＝m －2，1a 2＋4b
2＝2m －1，
由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2
－5m －7≥0， 解得m ≤－1或m ≥72.又因为a 2＋b 2
＝m －2>0.
所以m >2，故m ≤－1舍去，所以m ≥7
2
.
B 组 能力提高
11．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段长度的平方和是(
)
A.1 0232 048a 2
B.1 023768a 2
C.
5111 024
a 2
D.2 0474 096
a 2
答案 A
解析 由题意可知，这只小虫爬行的第一条线段长度的平方为a 2
1＝(12a )2＝14a 2，第二条线段
长度的平方为a 2
2＝(
24a )2＝18a 2，第三条线段长度的平方为a 23＝(14a )2＝116
a 2
，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 2
1＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以该数列的
前10项和为S 10＝
14a 2[1－1
2
10
]
1－12
＝1 023a 2
2 048
.故选A. 12．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩
⎪⎨
⎪
⎧
35，33
⎩⎪⎨⎪⎧
79
11
，
43
⎩⎪⎨⎪⎧
13
151719
，….仿此，若m 3
的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．
答案 8
解析 由已知可观察出m 3
可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8.
13．如图(1)，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边分别于点A ′，B ′，
C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋
OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC
＝1.请运用类比思想，如图(2)所示，在空间四面体V —BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于点E ，F ，G ，H ，用“体
积法”可得的类似结论为________________．
答案
OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH
＝1 解析 利用类比推理，面积类比体积．
14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．
(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)； (2)证明：
1f 1＋1f 2＋1f 3＋…＋1f n <4
3
. (1)解 f (4)＝37，f (5)＝61. 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，
f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， f (4)－f (3)＝37－19＝3×6， f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，
所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n ＋2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2
－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12
－3×1＋1，
所以f (n )＝3n 2
－3n ＋1. (2)证明 当k ≥2时，
1
f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13(1k －1－1
k )． 所以
1f 1＋1f 2＋1f 3＋…＋1f n <1＋13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1
n )] ＝1＋13(1－1n )<1＋13＝43
.。