微分几何曲面论的概念讲义与教案

若 [B(u,v)]2 A(u,v)C(u,v) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
设 A 0 , 则 A( du)2 2B( du)dudv C 0
dv
dv
得
du B dv
B2 A
AC
F1(u, v)或F2 (u, v)
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面
上的曲线网。 特别有
点 P ，两族曲线中各有一条经过它。 （例题）
1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数
有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 ck 类曲面。
表示曲面上的一簇曲线——曲线簇，设 A 0 则有
du B(u, v) F(u, v) dv A(u, v) 解之得 u (v, c)
特别 当 A = 0 或 B = 0 时，有 d u = 0 或 d v = 0 此时为坐标曲线 u = c 或 v = c 。
2、二阶微分方程 A(u,v)du2 2B(u,v)dudv C(u,v)dv2 0
其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)∈G
称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作
x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G
设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) ,
或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向 或方向，它平行于
r(t) ru
du dt
rv
dv dt
或
r(t)
dv dt
(ru
du dv
rv )
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y(u0 , v0 ) Z z(u0 , v0 )
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z(x, y)}
4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示，
即有
z = z ( x , y ),
事实上，由3 ，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点 的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，故的坐标中
的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，
即
(x, y)
x u
y u
二、简单曲面
如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上 的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简 单曲面。
今后我们所用的都是简单曲面或曲面。
如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如它 是橡皮膜，还可变成园环面。
三、曲面的方程
初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S，
A C 0 时, dudv 0 ,
它们表示坐标曲线。
如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面
的正常点。
3、正规坐标网
由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总 存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切， 构成一正规坐标网。
例：园柱面；球面；旋转面。
四、坐标曲线；曲纹坐标网。
曲面上一点 P 的直角坐标为（x , y ,z），它的曲纹坐标为
（u ,v）。现在取
v u
= =
常数而 常数而
u v
变化时的曲线叫 变化时的曲线叫
u v
-曲线 ( u线）
-曲线（v线）
两族坐标曲线在曲
面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一
p
q
1
四、参数变换
如果曲纹坐标 (u,v) 变为新的曲纹坐标 (u,v) ：
u u(u,v) , v v(u,v) r r(u(u,v),v(u,v))
则得到曲面关于新曲纹坐标 (u,v) 的方程 r r(u , v)
对 u,v 因此
求导： ru
ru
u u
N ru rv ru
rv rv (
命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标
曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。
这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
3、切平面的方程 设面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为平面上任一点， 则有
(R r(u0, v0 ),ru (u0, v0 ),rv (u0, v0 )) 0
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
第一节 曲面的概念
1、1 简单曲面及其参数表示
一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成
两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。
其中 ru , rv 分别是在( u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。 以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r(t) 。
由
r(t) ru
du dt
rv
dv dt
可以看出，切向量 r(t) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点
有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有
内 容 提 要
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、
正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）
3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的
曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）
4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
v u u u
,
v v
rv
ru
u v
rv
v v
u v (u, v)
)N
v u
(u , v)
（1）
(u, v) 0 (u, v)
， 则两个法向量平行。
（2）
(u, v) 0 (u, v)
，所有参数法向量的正向保持不变，
称这个方向为曲面的正向。
（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
1、3 曲面上的曲线簇和曲线网
(u, v)
x y v v
由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯
一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得
z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。
二、曲面的切平面 1、切平面的定义
rx
{1,0, xz} {1,0, p} ,
ry
{0,1,
z y
}
{0,1,
q}
X x0 1 0
Y y0 0 1
Z z0 p0 0 q0
三、法方向与法线
1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方
由定向义，，曲过面单该的位点法法平方向行向量于为为法方N向n的ru直rru线v 称rv 作曲面在该点的法线。
2、法线的方程
ru rv
0
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
则法线的方程为 R r(u,v) (ru rv )
用坐标表示为 X x(u, v) Y y(u, v) Z z(u, v)
yu zu
zu xu
xu yu
yv zv
zv xv
xv yv
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有 X x Y y Z z(x, y)
c1 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0)
和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量
为
r
r
ru (u0 , v0 ) u (u0 , v0 ) , rv (u0 , v0 ) v (u0 , v0 )
设光滑曲面上的曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或者 r = r [ u ( t ) , v ( t ) ] = r ( t ) , 消去 t ，可得曲面上
曲线的方程为 u (v) ,或 v (u) ,或 f (u,v) 0
1、一阶线性微分方程 A(u, v)du B(u, v)dv 0