分段函数的导函数应用

分段函数的导函数应用
分段函数是高中数学课程中非常重要的概念之一，反映了现实世界很多现象的本质。

在分段函数的学习中，我们不仅要掌握它的定义、性质和图像，还要深入研究分段函数的导数和导函数。

本文将从导函数的应用着手，探讨分段函数在实际中的应用，为读者提供一些有益的启示。

一、分段函数的导数
在数学中，导数是函数的一种重要性质，可以告诉我们函数变化的速率。

导数的定义是：当自变量的增量接近于零时，函数值的增量与自变量增量之比的极限，称为该函数在该点的导数。

若函数在某一点可导，则称该函数在该点可导。

而对于分段函数，我们需要注意分段点处的导数是否存在。

对于分段函数$f(x)$，其导数的计算方法如下：
1. 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可导，其导函数为$f'(x)$。

2. 若$f(x)$在$(a,b)$上连续，但在$a$和$b$处不连续，则
$f(x)$在$(a,b)$内可导，其导函数为
$$f'(x)= \begin{cases} f_1'(x) & x \in (a,c) \\ f_2'(x) & x \in (c,b) \end{cases}$$
其中$f_1'(x)$和$f_2'(x)$分别为$f(x)$在$(a,c)$和$(c,b)$内的导数，$c$为$f(x)$的间断点。

3. 若$f(x)$在$(a,b)$内有限多个间断点，则$f(x)$在$(a,b)$内可导，其导函数为
$$f'(x)= \begin{cases} f_1'(x) & x \in (a,c_1) \\ f_2'(x) & x \in (c_1,c_2) \\ \cdots \\ f_n'(x) & x \in (c_{n-1},b) \end{cases}$$
其中$f_k'(x)$为$f(x)$在$(c_{k-1},c_k)$内的导数，$c_0=a$，$c_n=b$。

二、分段函数的导函数
我们知道，求导通常称为微分运算，其逆运算就是积分运算。

而求导的结果，就是原函数的导函数。

对于分段函数$f(x)$，其导函数的计算方法可以分别在每个分
段中求导，然后再将其拼凑在一起，取符合函数值的导函数部分。

例如：
已知分段函数为
$$f(x)= \begin{cases} -x^2+3x+1 & x < 2 \\ 2x+1 & x \geq 2
\end{cases}$$
则对于$x<2$，$f(x)$的导数为
$$f'(x)=\frac{d}{dx}(-x^2+3x+1)=-2x+3$$
对于$x\geq2$，$f(x)$的导数为
$$f'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2$$
因此，$f(x)$在$x<2$和$x\geq2$时的导函数分别为$f'(x)=-
2x+3$和$f'(x)=2$，两部分取交即得到$f'(x)=\begin{cases} -2x+3 & x<2 \\ 2 & x \geq 2 \end{cases}$。

三、分段函数的应用
分段函数具有很强的实际意义，其模拟了现实世界中很多现象的变化趋势。

下面，我们通过一些例题来说明分段函数的应用。

1. 某根据时点销售额分段函数为
$$S(t)= \begin{cases} 2t & t<5 \\ 20+5t & t \geq 5 \end{cases}$$
其中，$t$表示月份，$S(t)$表示当月销售额（万元）。

设函数$C(x)$表示销售成本（万元），则有$C(x)=500+0.1S(t)$，其中500万元为固定成本，0.1为成本率。

求$C(x)$的平均变化率。

解：首先，根据公式$C(x)=500+0.1S(t)$，我们可以得到
$$C(x)= \begin{cases} 0.2t+500 & t<5 \\ 2.5t+550 & t \geq 5
\end{cases}$$
然后，我们来求其平均变化率。

对于$t<5$的部分，$C(x)$的平均变化率为
$$\frac{C(x)-500}{t}=\frac{0.2t}{t}=0.2$$
对于$t \geq 5$的部分，$C(x)$的平均变化率为
$$\frac{C(x)-C(5)}{t-5}=\frac{(2.5t+550)-(2.5 \times 5+550)}{t-5}=2.5$$
因此，$C(x)$的平均变化率为
$$\frac{\Delta C}{\Delta x}=\frac{\int_{0}^{5} 0.2
dt+\int_{5}^{12} 2.5 dt}{12-0}=0.7\text{万元/月}$$
2. 制动距离问题
某车从速度为$v_0$的起点出发，以$a$的加速度行驶，制动时
以$b$的减速度停下来，设车轮滚动半径为$r$。

求在何时刻刹车，才能使车器停下来的距离最短？
解：设$t_1$为刹车时刻，$t_2$为车子停下来的时刻，则有
$$x(t)= \begin{cases} v_0t+\frac{1}{2}at^2 & t<t_1 \\
x(t_1)+v_1t-\frac{1}{2}bt^2 & t_1 \leq t<t_2 \end{cases}$$
其中，$v_1$为刹车时的速度，满足$v_1=v_0+at_1$。

对
$x(t)$分段求导，得到
$$x'(t)= \begin{cases} v_0+at & t<t_1 \\ v_1-bt & t_1 \leq t<t_2
\end{cases}$$
显然，当$t<t_1$或$t \geq t_2$时，$x'(t)>0$；当$t_1 \leq t
<\frac{v_1}{b}$时，$x'(t)<0$；当$\frac{v_1}{b} \leq t <t_2$时，
$x'(t)>0$。

因此，$x(t)$的最小值应该出现在$t=\frac{v_1}{b}$处。

故刹车时刻$t_1=\frac{v_1}{a}$，停下车的时刻
$t_2=\frac{v_1}{b}$，停下的距离为
$$x(t_2)=x(t_1)+\frac{v_1^2-v_0^2}{2b}$$
代入$v_1=v_0+at_1$和停止时的速度$v_2=0$，得到
$$x(t_2)=\frac{v_0^2}{2a}+\frac{v_0^2}{2b}+\frac{1}{2}(at_1+ bt_2)^2 \cdot \frac{1}{b} $$
利用二项式定理，可以将$x(t_2)$化简为
$$x(t_2)=\frac{r}{a+b}[v_0^2+(a+b)^2(t_1+t_2)-2abt_1]$$
对$x(t_2)$关于$t_1$求导，得到
$$\frac{dx}{dt_1}=\frac{2ab(r-v_0t_1)}{(a+b)^3}$$
令其等于0，得到
$$t_1=\frac{r}{v_0}-\frac{a}{a+b}\cdot \frac{r}{v_0}$$
可见，刹车时刻$t_1$为一个分段函数。

当$a>b$时，
$t_1<\frac{r}{v_0}$，应该立即刹车；当$a<b$时，
$t_1>\frac{r}{v_0}$，应该尽量推迟刹车。

总结
分段函数导函数应用的问题，在数学中属于一个较为特殊和重要的领域，需要我们理解其定义、性质和运算方法。

更为重要的是，我们需要灵活运用分段函数导函数，才能在实际问题中找到最优解。

希望本文的讲解能够对广大读者有所启示，为大家的数学学习之路提供一些有益的帮助。